“經(jīng)典好題”的改造與使用
——以“周長的認(rèn)識”一課練習(xí)題為例

□ 陳國權(quán)

在教學(xué)“周長的認(rèn)識”一課時，很多教師會選擇與下面類似的習(xí)題來進(jìn)行練習(xí)。

這道練習(xí)題的精妙之處在于將周長置于圖形的背景之中，利用形狀、面積對周長產(chǎn)生干擾后準(zhǔn)確找出周長并進(jìn)行比較，以考查學(xué)生對周長意義的真正理解。在實際教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生第一眼看到這幅圖時，從心理學(xué)角度來看，面積大小、形狀是屬于強(qiáng)刺激，而周長則屬于弱刺激，所以最先反應(yīng)在學(xué)生頭腦中的是甲、乙兩個圖形的形狀和面積的差異，而周長在學(xué)生頭腦中的反應(yīng)是滯后的。本題在設(shè)計時就是借助這個原理，使學(xué)生對周長辨別造成干擾甚至誤導(dǎo)，如果學(xué)生對周長內(nèi)涵的理解不透徹就很容易填錯，因此從習(xí)題設(shè)計意圖以及長期受教師青睞這個角度來講，這堪稱是一道經(jīng)典好題！如果作為一道檢測題，同樣也是一道可以有效檢測學(xué)生對周長概念理解程度的好題。

但是即便是經(jīng)典好題，如果使用不當(dāng)或使用不到位，好題也很難發(fā)揮出原有的功效。就以這題為例，在實際教學(xué)時經(jīng)常會出現(xiàn)學(xué)生看到題目后，個別學(xué)生就已知道正確答案的情況，于是教師便會請這些學(xué)生來講解，而其他對答案不是很清楚的學(xué)生一旦知道結(jié)果，就失去了深入思考圖形的周長、面積和形狀三者之間關(guān)系的機(jī)會。而這道練習(xí)題的核心價值就在于對這三者之間關(guān)系的理解與周長內(nèi)涵的進(jìn)一步鞏固。

那如何才能用好這道經(jīng)典好題呢？我們對它進(jìn)行了改造，并進(jìn)行了教學(xué)嘗試。

一、改造原題，變封閉為開放

原題是一道思維含量較高的題，解答結(jié)果也是唯一的，這類題在課內(nèi)進(jìn)行集中練習(xí)、反饋時經(jīng)常會遭遇個別學(xué)生的搶答，從而造成其他學(xué)生參與度下降，練習(xí)效果大打折扣的情況，如何改變這種現(xiàn)狀，讓全體學(xué)生都參與進(jìn)來呢？方法之一就是把它改成開放性的習(xí)題，讓每個學(xué)生都有參與，而且讓不同的學(xué)生表現(xiàn)出不同的學(xué)習(xí)水平。本題我們是這樣改造的。

學(xué)生在練習(xí)紙上，按要求畫出符合題意的圖形，由于按習(xí)題要求，只需分成兩個周長相等的圖形即可，所以方法是多樣的，結(jié)果也是多樣的，比如下面這些不同的畫法：

這些方法對于全體學(xué)生來說，并不是一個難題，此時他們的參與度相當(dāng)高。

教師就把這些不同的方法統(tǒng)一展示出來，并提問：“這些分法都符合要求嗎？為什么？”

生（齊）：都符合！

師：那我們來看第一種分法，誰來介紹一下方法？

生：在兩條對邊的正中間點上一個點，然后畫一條線段。

師：也就是說這兩個點是長方形寬的中點，把這兩個中點連起來。

生：是的，分開后兩個圖形，每個都有兩個半條寬。

師：好的，還有嗎？

生：長方形的對邊相等，上下兩條邊的長度也是一樣。

生：畫上去的那條是公共的線。

師：公共是什么意思？

生：大家都可以用的，它們倆都可以用。

師：聽明白她的意思了嗎？（聽明白了）分開后的兩個圖形，它們每條邊都對應(yīng)相等，那么這兩個圖形的周長一樣。

學(xué)生的回答均是肯定的，思維也非常清晰，他們從分成的兩個圖形根據(jù)長方形兩組對邊相等的特征，確定每組對應(yīng)邊相等，再運用一一對應(yīng)以及推理、證明兩個新圖形的周長相等。在這個解答過程中，不僅僅是對周長概念的進(jìn)一步鞏固，同時還借助已學(xué)知識，體現(xiàn)了學(xué)以致用的效果，而且在這個過程中學(xué)生慢慢地接觸并運用一些數(shù)學(xué)思想、方法來解答問題。

二、順?biāo)浦?，變結(jié)果為結(jié)論

學(xué)生經(jīng)過獨立思考與操作，找到了一個或多個結(jié)果，這些結(jié)果經(jīng)推理與證明都是正確的。這時從教學(xué)的角度來看，到底有幾種解答結(jié)果意義已經(jīng)不大，最有價值的是思考這些方法的共性是什么。借助不同的解答方法追求思維方式和解答方法本質(zhì)的相同，這樣的求同思維正是學(xué)生在學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)起來的。

于是，教師提問：這些分法有什么共同特點？你得到了什么結(jié)論？

生：這些分法都把長方形分成了兩個一樣的圖形。

生：我補(bǔ)充一下，是分成了兩個完全一樣的圖形。

師：是的，這意味著我們可以得到怎樣的結(jié)論呢？

生思考后回答。

生：兩個完全一樣的圖形，它們的周長相等。

可見第二個問題，經(jīng)過學(xué)生自己的觀察與思考后，不難發(fā)現(xiàn)這些經(jīng)一條線段分開得到的兩個圖形，形狀和大小完全一樣，于是水到渠成地得到了結(jié)論：完全相等的兩個圖形，它們的周長也相等。

為了鞏固學(xué)生對這個結(jié)論的認(rèn)識與理解，繼續(xù)追問：如果這條線往上或往下移一下（課件演示），這兩個圖形發(fā)生什么變化了？周長呢？

學(xué)生經(jīng)過觀察與思考后，一致認(rèn)為如果往上移，上面的長方形就小了，周長就變小了，也就是認(rèn)同了圖形面積小了，周長自然就跟著變小了，圖形面積變大，周長也變大的結(jié)論。

應(yīng)該說這是一種非常合乎情理的推理，是一種常規(guī)思維。從多種結(jié)果的觀察與比較中總結(jié)出規(guī)律，并形成結(jié)論。再通過中間這條線的變化，從側(cè)面的例子進(jìn)一步來說明這個結(jié)論的正確性，結(jié)論似乎已非常完美，這也達(dá)到了題目事先設(shè)計的要求，即本題解答過程的第二個階段讓學(xué)生形成一個統(tǒng)一的結(jié)論。

三、打破結(jié)論，變直觀為抽象

學(xué)生在這之前解答此題時，畫線是直觀的，思考也是借助圖形的直觀思維，雖然也有推理，但這里推理圖形的直觀成分比較大，所以他們的解答還是離不開形象和直觀的。此時，當(dāng)學(xué)生滿足于剛才得到的結(jié)論時，教師再次提問：你們能不能畫一條線，把長方形分成兩個大小、形狀都不同，但周長還是一樣的圖形呢？

這個問題將給學(xué)生強(qiáng)烈的刺激，因為剛才總結(jié)的結(jié)論是“完全一樣的兩個圖形周長相等”，教師現(xiàn)在的問題與這個結(jié)論是不是背道而馳了呢？這個問題足以讓學(xué)生陷入深深的思考中，之前這種直觀的圖形無法提供幫助，思考的方向開始逐漸走向周長概念的內(nèi)涵：一周的長度。學(xué)生也開始想到一些分法。

生：先看長方形的四條邊，分成的兩個圖形都分到了兩條，它們是一條長和一條寬。

師：然后呢？

生：然后我思考曲線的長度，因為這曲線既是這個圖形的一條邊，又是另一個圖形的一條邊。把每個圖形的邊都加起來，也就等于這個圖形的周長，它們的周長也是相等的

師：同學(xué)們看明白也聽明白了嗎？

生：明白了！

生：就是原來用直線分，現(xiàn)在用曲線分，這條曲線是公共線，所以這兩個不一樣的圖形的周長是相等的。

師：如果老師這么分呢，這兩個圖形的周長還相等嗎？

生（齊）：相等！

師：為什么？看上去一個圖形比另一個圖形大得多了。

生：周長都是一條長加一條寬再加一條中間的曲線，跟圖形大小沒有關(guān)系。

在解答這道習(xí)題的初始階段，學(xué)生認(rèn)為圖形的形狀、大小相等周長也相等，形狀、大小不相等周長也不相等，這在一定的時間內(nèi)給了他們比較強(qiáng)的刺激，因此他們一度認(rèn)為這個結(jié)論是完美的。但當(dāng)教師兩次追問后，學(xué)生對于兩個圖形的周長相等的結(jié)論，已經(jīng)從圖形的直觀漸漸地轉(zhuǎn)向了周長概念的內(nèi)涵上，求一個圖形的周長，直接就關(guān)注它一共有幾條線的長度組成，這幾條線的長度的和就是這個圖形的周長，而形狀、大小與周長沒有必然的聯(lián)系。

我們思考，在這道練習(xí)題的改造與使用中，因為考慮到了學(xué)生對事物認(rèn)識的一般規(guī)律，并給了他們這種表達(dá)的時間和空間，因此便有了原有認(rèn)識與知識本質(zhì)之間的矛盾沖突。教師則要充分并合理利用這種認(rèn)知上的沖突，再結(jié)合自己的組織與引導(dǎo)，讓學(xué)生真正進(jìn)入課堂學(xué)習(xí)狀態(tài)，促使學(xué)生會運用所學(xué)知識進(jìn)行抽象與推理，最終形成數(shù)學(xué)模型并加以應(yīng)用。