運用幾何直觀方法 類比解答同類問題

□許 蕓

在解決問題當中，我們經常發(fā)現面對復雜多變的問題情境，學生無從下手胡亂解答的情況。

比如人教版五上“出租車中的分段計費問題”，有這樣一道題：

下面是某市出租車的收費標準。（不足1小時按1小時計算）

行駛里程收費不超過3km（行駛里程≤3km）11元3-10km（3km＜行駛里程≤10km）3.5元/km超過10km行駛里程＞10km 4.5元/km

李叔叔打車從家到單位一共行駛11.2km，算算李叔叔一共要付多少錢？

這道題跟課本例題一樣，都是出租車情境，只是由二段計費拓展到三段計費。學生的錯誤率就非常高，常見錯誤如下圖：

錯誤原因是第二段的行駛路程弄錯，本質是缺乏幾何直觀的抓手，對每段的分段數量不清楚。

還比如在學習用公因數和公倍數解決問題當中，很多學生容易弄混這兩種不同的類型，比如在人教版數學書81頁練習十二中的這道習題：

題目應該是求最大公因數，學生卻求了最小公倍數，說明學生沒有理解這類問題的本質。

因此在教學中，如果能夠運用一定的手段對此類問題進行溝通，如建構直觀形象的幾何模型，使學生有解決問題的方法，就能提高學生解決問題的能力。

一、引入方法，幫助審題

幾何直觀有利于把復雜的數學問題變得簡單、形象，特別在問題的數學化表征中有著很大的作用。在常規(guī)的教學中我們應鼓勵學生進行多樣化的信息表征，然后進行優(yōu)化，最后凸顯幾何直觀表達信息的優(yōu)越性。建立幾何直觀模型，是為審題搭建腳手架。

比如這道分段計費問題：

某市按以下規(guī)定收取水費：用水量不超過3噸的，每噸收費2.5元；超過3噸不超過10噸的部分，每噸收費3.5元，超過10噸的部分，每噸收費4元。小強家9月份的用水量是12.5噸，應付水費多少錢？

學生用文字、畫表格和畫線段圖等不同方式表征信息。如圖：

在確定線段圖是最簡單、形象的表征方式后，教師再追問一句：畫表格和畫線段這兩種方法有什么共同的地方？然后將兩幅圖疊在一起（如下圖），學生發(fā)現兩者都清晰地表示出了每段的數量和對應的單價，由此學生初步感知了分段計費問題的幾何模型。

還比如“用最大公因數解決問題”中的例題，在信息呈現方式中這種畫圖的方式特別優(yōu)化，在分析解答中，學生明確問題的本質就是求長和寬的公因數后，再在原先的直觀圖中抽象出平面數軸圖（如下圖）。三幅圖層層遞進，幫助學生對題意本質的理解。

二、妙用方法，明了算理

妙用幾何直觀，使學生在類比溝通中明了算理。如設計鞏固練習題，讓學生運用建立的幾何直觀，掌握同類問題的解題方法。

在“分段計費問題”中可設計一道選擇題，如：

某停車場的收費標準是：前3h內收費5元，超過3h不超過10h的部分每小時收費2.5元，超過10h的部分每小時收費4元。李叔叔的車在該停車場停了12.5h，他一共要付多少錢？（不足1h按1h算）

A.12.5×4

B.5+（12.5-3）×4

C.5+（10-3）×2.5+（12.5-10）×4

D.3×5+（10-3）×2.5+（12.5-10）×4

此題的正確答案是C，但教師不僅要求學生能找準正確答案，還要求學生能根據錯誤的選項改編題目，達到一題多練和逆向運用方法的效果。如果答案是A，題目應該這樣改編（劃去題目中的條件）：

同時出示線段圖，讓學生明確其實它是一段計費問題。

如果答案是B，應該這樣改：

配合線段圖理解，它是兩段計費問題。

如果答案是D，在條件中添加“每小時”。

配合線段圖，可直觀理解它是三段計費問題。如此可鍛煉學生仔細審題的品質。

最后將3個線段圖合成一幅圖，明確不管是一段計費、二段計費還是三段計費問題，都要明確每段的數量和對應的單價，然后將每段的總價加起來。這是解答這類問題的幾何模型和方法。

三、活用方法，提升能力

任何模型的建構都是為了靈活廣泛地運用。因此教師可以引導學生從深度和廣度上靈活運用幾何直觀方法，進行深層次和多維度的類比溝通，提升學生解決問題的能力。

比如在分段計費問題的提高練習中，可根據這個幾何直觀模型結構讓學生自己嘗試著編一道分段計費問題。在課堂中很多學生還突破模型結構，創(chuàng)造出四段、五段的計費問題和逆向思維的題目（如下圖），深刻體現出對幾何直觀模型方法不是僵化地理解，而是靈活地運用。

同樣在用公因數解決問題后，教師讓學生探討可以放棱長最大是幾分米的正方體紙箱疊滿房間的問題。最后通過直觀操作，抽象出空間數軸圖，并對比之前的平面數軸圖，明確這類問題的本質就是求多個數的公因數。

兩次課堂實踐驗證了運用幾何直觀方法類比溝通解答同類問題的可行性和有效性。在平常的教學中如果能夠善用幾何直觀方法，建立與同類問題的聯系，相信會帶來更多的驚喜。比如在低段教學中我們經常遇到的里程問題、水電表問題、經過時間問題、看書頁數問題等，其實都屬于累計計數問題。教師同樣可以引導學生運用數軸圖幾何直觀的方法建立聯系，提升學生解決同類問題的能力。

小紅看一本書，星期一看到43頁，星期二看到78頁，星期三看到120頁，小紅星期三一共看了多少頁？

運用幾何直觀方法類比解答同類問題是非常有效的教學方法，它不僅能幫助學生理解分析題目，還能為學生找到同類問題的本質聯系建立直觀的形象支撐，有助于學生掌握同類問題解答的基本方法。