高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的統(tǒng)一性分析

劉啟明 王寰

【摘要】數(shù)學(xué)的兩個(gè)基本特征是統(tǒng)一性和簡(jiǎn)潔性.本文從高等數(shù)學(xué)基本內(nèi)容出發(fā)，分析了高等數(shù)學(xué)內(nèi)容中距離、極限、積分計(jì)算與表達(dá)式等方面的統(tǒng)一性，對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)給予啟示.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);統(tǒng)一性;數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)是研究客觀世界空間形式和量的關(guān)系的學(xué)科，它的兩個(gè)基本特征是統(tǒng)一性和簡(jiǎn)潔性.數(shù)學(xué)的抽象性決定了數(shù)學(xué)是客觀世界的統(tǒng)一性的體現(xiàn).數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是通過(guò)建立統(tǒng)一的描述或溝通分支學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系，深入揭示問(wèn)題的本質(zhì).

數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的特征滲透在數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用與數(shù)學(xué)本身的理論之中.從數(shù)學(xué)應(yīng)用來(lái)看，數(shù)學(xué)模型與公式是對(duì)客觀世界的高度概括，反映著世界的客觀規(guī)律.同時(shí)，從數(shù)學(xué)理論本身來(lái)看，數(shù)學(xué)統(tǒng)一美還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)內(nèi)容本身在結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一，表現(xiàn)在各分支間、分支內(nèi)部、分支與整體之間的互相貫通與和諧.

高等數(shù)學(xué)是工科院校開(kāi)設(shè)的主要基礎(chǔ)課程之一.主要包括極限引論、一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)等內(nèi)容.本文主要分析高等數(shù)學(xué)理論內(nèi)部典型內(nèi)容的統(tǒng)一性，目的是對(duì)我們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有啟示作用.

一、距離概念的統(tǒng)一性

距離是高等數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的概念之一.高等數(shù)學(xué)中兩點(diǎn)間距離公式都統(tǒng)一到n維空間中兩點(diǎn)間距離公式

對(duì)該距離公式，當(dāng)n=1，2，3時(shí)分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸、平面與空間的兩點(diǎn)間距離公式.相應(yīng)地，通過(guò)該公式統(tǒng)一了高等數(shù)學(xué)在不同維數(shù)空間中的領(lǐng)域概念，進(jìn)一步為極限概念及其后續(xù)概念的建立奠定基礎(chǔ).

二、微積分學(xué)中概念的統(tǒng)一性

微積分學(xué)的概念幾乎都是用極限進(jìn)行定義的.

類似地，多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)與各類積分定義都是用極限形式給出的.這就使極限思想貫穿微積分學(xué)始終，體現(xiàn)了微積分概念的統(tǒng)一性.

相應(yīng)地，從極限形式的統(tǒng)一性學(xué)習(xí)微分學(xué)與積分學(xué)性質(zhì)就比較容易記憶，如由函數(shù)極限滿足線性性質(zhì)就知道上述概念都滿足線性性質(zhì)，積分都滿足對(duì)積分區(qū)域（定積分積分區(qū)間、曲線積分的積分路徑、重積分的積分區(qū)域、曲面積分的積分曲面）的可加性，這也是積分的本質(zhì)性質(zhì)，也容易知道，當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，定積分、重積分、第一形曲線、曲面積分都是積分區(qū)域的度量等.

三、微分中值定理的統(tǒng)一性

微分中值定理主要指羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.其中羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例，三個(gè)中值定理統(tǒng)一到柯西中值定理上.當(dāng)然在具體使用上我們還是分別稱呼各自名稱.但是定理內(nèi)容的統(tǒng)一性非常有助于我們對(duì)三個(gè)定理的理解.

四、函數(shù)值近似計(jì)算的統(tǒng)一性

五、多元函數(shù)無(wú)條件極值判定的統(tǒng)一性

六、微分學(xué)與積分學(xué)的計(jì)算理論統(tǒng)一性

我們?cè)趯W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中，會(huì)發(fā)現(xiàn)微積分能夠作為一個(gè)整體，其巨大成功正是在于發(fā)現(xiàn)了計(jì)算積分的一種十分有效的方法——牛頓-萊布尼茨公式：

這里F′（x）=f（x）.該公式表明，定積分等于被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量，其價(jià)值是非常巨大的.可以說(shuō)沒(méi)有該公式，高等數(shù)學(xué)內(nèi)容就少了積分學(xué)這一半內(nèi)容.牛頓-萊布尼茨公式不僅溝通了定積分與不定積分的聯(lián)系，而且溝通了微分學(xué)與積分學(xué)的聯(lián)系，使函數(shù)導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分與定積分得到了完美的內(nèi)在的高度統(tǒng)一，因此，牛頓-萊布尼茨公式也稱為微積分基本公式.該方面是高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵而重要的內(nèi)容.

牛頓-萊布尼茨公式不僅將微分學(xué)與積分學(xué)聯(lián)系為一個(gè)整體，而且使得重積分、空間曲線積分與空間曲面積分都可以轉(zhuǎn)化為定積分得以計(jì)算，這是積分計(jì)算的完美統(tǒng)一.

七、函數(shù)積分轉(zhuǎn)化公式的統(tǒng)一性

微積分基本公式表示函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的積分等于被積函數(shù)的原函數(shù)在區(qū)間上增量;格林公式表達(dá)的是二元函數(shù)在平面區(qū)域上的二重積分與其區(qū)域邊界上的第二型曲線積分間的關(guān)系;而高斯公式則表達(dá)的是函數(shù)在三維區(qū)域上的三重積分與其區(qū)域邊界上的第二型曲面積分的關(guān)系.

這三個(gè)公式分別是一維、二維與三維空間上的公式，似乎相互之間沒(méi)有關(guān)系，但從統(tǒng)一性的角度來(lái)看，共同揭示了一個(gè)深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律：使內(nèi)部問(wèn)題化歸為邊界問(wèn)題.正是基于這種理解，促使外微分概念的建立及外微分形式的一般斯托克斯公式的形成，上面公式都是其特例.

八、梯度、散度與旋度的形式統(tǒng)一性

高等數(shù)學(xué)中類似例子還有很多.筆者這里僅舉出一些典型的反映統(tǒng)一性的例子.希爾伯特曾指出：“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)不可分割的有機(jī)整體，它的生命力正是在于各個(gè)部分之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)的有機(jī)統(tǒng)一是這門學(xué)科固有的特點(diǎn)，因?yàn)樗且磺芯_自然科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)”.高等數(shù)學(xué)亦如此，當(dāng)我們用心結(jié)合統(tǒng)一性來(lái)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，對(duì)內(nèi)容融會(huì)貫通，綱舉目張，就抓住了高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系與系統(tǒng)性.這樣，我們不僅對(duì)其內(nèi)容理解得更為深刻，而且在學(xué)習(xí)效率上達(dá)到了事半功倍的效果.

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