依托數(shù)學思想 構建教學主線
——以“勾股定理的簡單應用”教學設計為例

吳小兵

（江蘇省南通市崇川區(qū)教師發(fā)展中心）

一、問題的提出

教學主線是教師整節(jié)課或整個單元、章節(jié)謀篇布局的某種思路，是師生的言語和實踐活動與一系列相關因素互動交融后所歷經的一條軌跡.作為課堂教學中各個教學點連續(xù)互動、有效交融后構建起來的教學形態(tài)，教學主線應能夠體現(xiàn)出課堂整體結構的清晰程度.其中，有的可以依據(jù)明確的核心知識架構，有的需要按照學生的能力發(fā)展層次建立，還有的則可能是要兼顧多種因素生成，等等.從性質上看，教學主線必然是一個有目的、有計劃的，師生之間、生生之間、師生與各類教學資源之間的多邊對話的過程，富有綜合性與實踐性，決定著課堂教學活動的方向和有效性.

初中數(shù)學教材體系一般具有兩條基本線索：一條是數(shù)學知識，這是明線；另一條是數(shù)學思想方法，這是蘊含在教材編排中的暗線.在教材中，從數(shù)學概念的引入、應用，到例、習題的設計和解答，隨處可見數(shù)學知識這條明線，也時刻能體會到數(shù)學思想方法這條暗線.因而在教學設計中，除了要設計好知識教學，更要注意挖掘其中蘊涵的數(shù)學思想與方法，使其能成為貫穿教學的主線.

二、依托數(shù)學思想，構建教學主線

筆者以蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊“勾股定理的簡單應用”為例，談談如何基于數(shù)學思想方法來構建教學主線.

1.教學目標明晰定位

（1）通過“直接使用、找、構、證”直角三角形這一知識方法主線，經歷運用勾股定理及其逆定理解決簡單實際問題的過程.

（2）在運用勾股定理及其逆定理解決實際問題的過程中，感悟數(shù)學的建模思想、方程思想、轉化思想等，體會課堂的整體結構和層次，增強應用模型意識.

教學重點：能運用勾股定理及其逆定理解決一些簡單的實際問題.

教學難點：通過“直接使用、找、構、證”直角三角形，感受數(shù)學的轉化思想，體會明晰的課堂主線.

2.教學進程流暢展開

（1）新課引入.

從南通來到美麗的常熟，途中經過長江上一座大橋——蘇通大橋.如圖1，蘇通大橋是一座斜拉橋，從遠處看，斜拉橋的索塔、橋面與拉索組成許多直角三角形.

圖1

問題：如圖2，若已知橋面上索塔的高AB，橋面上的各段距離均可測量，想計算拉索AC的長，怎么解決呢？

圖2

【設計意圖】筆者由南通趕往常熟，正好經過學生熟悉的蘇通大橋，以此作為新課引入點，既與本節(jié)課的關鍵基本圖形——直角三角形相契合，又揭示了本節(jié)課將重點研究的是勾股定理的簡單應用，為開啟后續(xù)流程做了比較好的鋪墊.

（2）溫故探新.

在直角三角形中，利用勾股定理，已知任意兩邊的長均可以求出第三邊.

利用勾股定理的逆定理，知道三角形三邊的長度可以判定其是否為直角三角形.

溫故練習：

① 在△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=24，則AB=_____.

② 在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=17，則BC=______.

③在△ABC中，AC=24，BC=26，AB=10，則△ABC是直角三角形嗎？

④在△ABC中，AC=6，BC=12，AB=13，則△ABC是直角三角形嗎？

此環(huán)節(jié)要求學生直接說出答案.

【設計意圖】引入新課后，教師直接指出勾股定理及其逆定理的主要作用，并以四道題予以強化.其中第①②題是針對定理的直接應用，設置了已知直角三角形的兩邊求第三邊的題目，潛移默化中培養(yǎng)了學生建立“知二求一”（即已知直角三角形的兩邊長，直接求第三邊長）模型的意識，而第③④題則配合前面兩道題鞏固勾股定理逆定理.這一環(huán)節(jié)是建立課堂教學主線的第一步，即讓學生做好知識上的儲備，為之后在直角三角形中利用勾股定理解決問題做鋪墊.

（3）問題引申.

引申1：在直角三角形中，已知一直角邊長為3，另一直角邊與斜邊之和為9，求另一直角邊的長.

此題是否也可以“知二求一”呢？學生可以借助方程解決問題.

【設計意圖】通過引申1，既概括出勾股定理的最基本應用，即顯性的“知二求一”，又引發(fā)隱性的“知二求一”（即已知直角三角形一邊長及另外兩邊之和，求另外兩邊長）；既讓學生初步形成解題模型意識，又自然產生借助方程解決問題的內在需求，為方程思想的運用做好鋪墊，也為接下來例1的研究做好思想和技術上的準備.

例1《九章算術》中有一道“折竹”問題：如圖3，今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？

圖3

題意是：有一根豎直生長的竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？

師生共同分析并解決此題.

【設計意圖】例1的解決基本思路是由實際情境抽象、提煉出幾何圖形，即“尋找”到直角三角形（如圖4），然后運用類似于解決引申1的方法來解決，體現(xiàn)模型意識，滲透方程思想.而對于原題中的文言文敘述，既讓學生感受到傳統(tǒng)數(shù)學文化的魅力，又可以很快給出題意解釋，不給學生設置語言障礙，還其數(shù)學思維的本位要求.這一環(huán)節(jié)是建立課堂教學主線的第二步，即需要“尋找”直角三角形，再借助勾股定理解決問題.

圖4

圖5

探討1：如圖5，在△ABD中，∠D=90°，C為邊BD上一點，AB=15，AC=13，BC=4，求CD的長.

此題讓學生先獨立思考，再在小組內討論、解惑.請兩個小組各推選一位代表展示他們的交流成果.

【設計意圖】圖形中出現(xiàn)不只一個直角三角形，又該如何利用它們之間的相互聯(lián)系解決問題呢？顯然，這是“尋找”直角三角形的一種拓展，仍需利用勾股定理，借助方程來解決.這一環(huán)節(jié)也可以看作是進一步鞏固教學主線中的“尋找”直角三角形.

探討2：如圖6，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積.

圖6

【設計意圖】此題中既沒有出現(xiàn)直角三角形，又沒有直接給出直角，但是由已知三角形的三邊長，可考慮作出相關垂線段來構造直角三角形，再利用方程思想求解，即“化斜為直”，將斜三角形問題轉化為直接三角形問題來求解，從而讓學生自然體會到轉化思想運用的必要性.顯然，這一環(huán)節(jié)是建立教學主線的第三步，即構造直角三角形來解決問題.

引申2：在剛才的一系列問題中，一類是直接利用“尋找”到的直角三角形求解；一類是通過作輔助線構造直角三角形求解.而若給了三角形有關邊的大小，但未明確其形狀，我們又該怎么辦呢？

溫故練習第③④題是利用勾股定理的逆定理，通過三邊的長度來判定三角形是不是直角三角形，這里的“邊”也可以是三角形中的某些特殊線段，如三角形的高線、中線、角平分線等.

例2 如圖7，在△ABC中，AB=26，BC=20，BC邊上的中線AD=24，求AC的長.

圖7

【設計意圖】例2是應用勾股定理的逆定理來求解，題目中雖沒有直接給出直角三角形，但可以根據(jù)相關邊長證明有關三角形是直角三角形，即通過推理論證獲得直角三角形.這一環(huán)節(jié)是建立教學主線的第四步，即通過證明直角三角形來解決問題.

探討3：在一些比較特殊的多邊形問題中，是否也可通過勾股定理及其逆定理求解呢？

某學校有一塊如圖8所示的四邊形草坪，AB=3 m，BC=4 m，CD=12 m，AD=13 m，且AB⊥BC.你能求出草坪ABCD的面積嗎？

圖8

【設計意圖】此題是勾股定理及其逆定理的雙重應用，通過作輔助線構造直角三角形，再推理證論出直角三角形，將四邊形問題轉化為直角三角形問題來求解，體現(xiàn)轉化思想.

（4）鞏固練習.

練習1：在如圖9所示的一塊四邊形空地ABCD中，AD=12 m，CD=9 m，AB=39 m，BC=36 m，且∠ADC=90°.求這塊空地ABCD的面積.

圖9

圖10

練習2：如圖10，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=25，BC=15，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E.求AE，EC的長.

【設計意圖】鞏固練習既是對前述教學內容的延續(xù)，又是對本節(jié)課重、難點的集中再現(xiàn)，同時也可以以此獲取一定的教學效果的反饋.

（5）反思提升.

①勾股定理僅適用于直角三角形中.

②運用勾股定理時要分清斜邊和直角邊，并注意公式的變形，因而在直角三角形中，已知兩邊可以求出第三邊.

③勾股定理應用的三個層次：給出直角三角形，運用勾股定理并借助方程等方式解決問題；沒有直接出現(xiàn)直角三角形，可根據(jù)需要通過添加輔助線設法構造直角三角形；根據(jù)給出的條件，借助勾股定理的逆定理判定所給三角形為直角三角形.

【設計意圖】師生共同回顧交流本節(jié)課的主要內容，有利于學生進一步領會本節(jié)課的知識和能力要求，理清本節(jié)課的研究重點與關鍵點，進一步凸顯方程、轉化、歸納等數(shù)學思想方法的應用價值，積累數(shù)學活動經驗．

板書設計：略.

【設計意圖】板書的設計與呈現(xiàn)可以使課堂教學主線進一步明晰化，其逐步完備過程也就是本節(jié)課知識與能力要求體現(xiàn)的可視化過程.

三、教學反思

1.從整合教材的高度定位一節(jié)課的主要數(shù)學思想和教學主線

在教學設計中，筆者試圖從數(shù)與形兩個角度把握本節(jié)課的核心和主線，數(shù)即“知二求一”，包括顯性和隱性兩個層次，隱性的“知二求一”主要借助方程這一工具來輔助解決；形即緊緊抓住直角三角形這一基本圖形，直角三角形可以直接給出，可以通過作輔助線來構造，還可以利用勾股定理逆定理推理論證判斷出來.這樣本節(jié)課的知識脈絡和能力要求一目了然，教學主線逐步明晰.

而在平時教學中，教師要對教材進行深度解讀、體悟和重組，深刻挖掘知識間的內在聯(lián)系，理解蘊涵其中的數(shù)學思想方法，巧妙構思，高屋建瓴.預設課堂主線是以核心知識為紐帶，還是以能力立意為出發(fā)點.當然，更多的情況下是兩種思路的有機結合.

2.讓學生能從課堂進程中真切感受到數(shù)學思想和教學主線

數(shù)學是抽象的科學，但學生從數(shù)學課堂得到的感受卻應該是真切的、實實在在的.在本節(jié)課中，筆者認為學生應該從以下三個方面得到真切的感受：（1）感受數(shù)學文化，不設置語言障礙，特別是《九章算術》中的“折竹”問題；（2）感受數(shù)學模型，突出思想方法，主要是在解決問題過程中借助方程思想、轉化思想和建模思想等；（3）感受建構圖形，回歸基本策略，即通過“直接使用、找、構、證”這樣一條主線，回歸到最基本的直角三角形中，運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題.

一般而言，教師要成功構建課堂教學主線，應在領會數(shù)學知識本身、熟悉學生最近發(fā)展區(qū)的基礎上預設好課堂教學環(huán)節(jié)和教學線索，設置具有邏輯關聯(lián)性的問題鏈.在具體課堂進程中，要特別重視依托結構化的板書、層次化的練習題組、板塊化的活動體驗、條理化的課堂小結等，讓學生逐步感受到主線的建構過程.

3.數(shù)學課堂教學進程與教學主線過渡點的銜接應自然流暢、渾然一體

數(shù)學課堂教學不應是生硬的、割裂的，而應是有條不紊、過渡自然、環(huán)環(huán)相扣的，如此才更有利于學生漸入佳境，將課堂內容串成知識鏈，形成思維網，內化為認知結構.教師要注重教學環(huán)節(jié)過渡點的抓準、關鍵詞的點撥，盡可能做到語言精煉，引領得當，讓學生體會到各環(huán)節(jié)之間的梯度和提升度，同時放手給學生獨立思考的時間、小組探討的空間和在全班交流匯報的機會.數(shù)學本身具有較高的抽象性，很多情況下學生對主線的把握并不是一蹴而就的.因而，教師還應通過多種激勵手段，強化學生對主線的整體認識和把握.