影響初中生解決立體圖形展開(kāi)圖問(wèn)題因素的分析

朱靜珍

（北京市密云區(qū)第三中學(xué)）

一、概述

1.空間能力在初中幾何教學(xué)中的現(xiàn)狀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中有關(guān)“圖形與幾何”的內(nèi)容指出：進(jìn)行“圖形與幾何”的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，空間觀念應(yīng)當(dāng)予以建立.進(jìn)一步來(lái)說(shuō)，培養(yǎng)學(xué)生的空間能力是建立空間觀念的重要方面.

然而，在我國(guó)目前的初中幾何教學(xué)中，針對(duì)學(xué)生空間能力的培養(yǎng)情況并不十分樂(lè)觀.究其原因，或許與歐幾里得在幾何學(xué)中運(yùn)用了大量的演繹推理，并取得成功不無(wú)關(guān)系，又或許與笛卡兒在處理幾何問(wèn)題時(shí)通過(guò)巧妙地建立坐標(biāo)系，從而使得應(yīng)用解析幾何的方法取得成功不無(wú)關(guān)系.由于上述原因，初中階段的幾何教學(xué)就更多地將精力傾注在演繹推理與幾何的“代數(shù)化”方面了，反而使得幾何本身應(yīng)具有的那部分發(fā)展學(xué)生空間能力的功能減弱了.

2.問(wèn)題的提出

基于我國(guó)在初中階段的幾何教學(xué)中對(duì)學(xué)生空間能力培養(yǎng)不夠充分的現(xiàn)狀，在現(xiàn)有的幾何教學(xué)安排下，如何充分利用好與空間能力直接相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的空間能力就成為一個(gè)十分重要的問(wèn)題.查閱我國(guó)現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)教材，可以發(fā)現(xiàn)與空間能力直接相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容主要有兩個(gè)：一個(gè)是關(guān)于立體圖形的平面展開(kāi)圖；另一個(gè)是關(guān)于立體圖形的三視圖.本文從“立體圖形的平面展開(kāi)圖”這一教學(xué)內(nèi)容出發(fā)，選取“某些立體圖形的展開(kāi)圖”這一更為具體也極具代表性的教學(xué)內(nèi)容，通過(guò)查閱相關(guān)研究文獻(xiàn)、對(duì)學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，以及進(jìn)行統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)等方式，對(duì)影響學(xué)生解決立體圖形展開(kāi)圖問(wèn)題的能力因素進(jìn)行探討，并提出有針對(duì)性的教學(xué)方案，從而為教學(xué)實(shí)踐提供一些參考.

3.研究意義

本文選取“某些立體圖形的展開(kāi)圖”這一教學(xué)內(nèi)容為研究對(duì)象，通過(guò)實(shí)驗(yàn)與分析，研究在操作（動(dòng)手）能力、觀察能力、記憶能力、想象能力、推理能力和表達(dá)（理解）能力這五種能力中，哪些能力是影響學(xué)生解決立體圖形展開(kāi)圖問(wèn)題的主要因素，方便以后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì)，為教師進(jìn)行有關(guān)立體圖形的展開(kāi)圖相關(guān)的教學(xué)提供參考與建議，從而也為與發(fā)展學(xué)生空間能力相關(guān)的教學(xué)活動(dòng)提供一些建議與參考.

二、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及實(shí)施

1.被試對(duì)象

我們選取北京市郊區(qū)某中學(xué)七年級(jí)兩個(gè)班的70名學(xué)生作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象.此中學(xué)采取平行分班的方式，故這兩個(gè)班的學(xué)生與其他班級(jí)的學(xué)生不存在差異性.所選70名學(xué)生中男女生各半，且年齡均為13周歲左右.參與測(cè)試的學(xué)生使用的教材均為北京版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》，且所有學(xué)生在參與測(cè)試前并未進(jìn)行對(duì)七年級(jí)上冊(cè)第三章第2節(jié)“某些立體圖形的展開(kāi)圖”這一教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí).

2.試卷與調(diào)查問(wèn)卷設(shè)計(jì)

本文所采用的“立體圖形的展開(kāi)圖相關(guān)能力測(cè)試”是筆者在從事多年一線教學(xué)的基礎(chǔ)上，歸納整理了一些有關(guān)立方體展開(kāi)圖的試題后，再結(jié)合本文的研究目的與被試對(duì)象的學(xué)習(xí)情況下形成的.

試卷中分別用某些立體圖形的展開(kāi)圖相關(guān)能力測(cè)試成績(jī)、操作分值、表達(dá)分值、觀察分值、推理分值、想象分值和記憶分值，代表學(xué)生解決立體圖形展開(kāi)圖問(wèn)題的能力，以及學(xué)生的操作能力、空間表達(dá)能力、空間觀察能力、空間推理能力、空間想象能力和空間記憶能力.

3.測(cè)試試卷

親愛(ài)的同學(xué)們，歡迎參加此次有關(guān)立體圖形展開(kāi)圖相關(guān)能力的測(cè)驗(yàn).本測(cè)驗(yàn)包含兩類(lèi)題目：第一類(lèi)題目是數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)試，共8道題；第二類(lèi)題目是選擇一個(gè)與自己的做題感受最為接近的答案，并根據(jù)自己實(shí)際想法據(jù)實(shí)作答.

認(rèn)真回答可以加深對(duì)你學(xué)習(xí)狀況的了解，有利于你今后的學(xué)習(xí)，如果不按自己的實(shí)際情況回答，那么這項(xiàng)調(diào)查對(duì)你是沒(méi)有意義的.你的回答不會(huì)被記入任何檔案，同時(shí)，我們會(huì)為你保密，感謝你的合作！

立體圖形展開(kāi)圖相關(guān)能力測(cè)試

年級(jí)：______性別：_____成績(jī)：______

1.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是______．

下列幾種能力中，你運(yùn)用哪種方法解決此題的（可以多選）（ ）？

（A）動(dòng)手操作方法 （B）空間表達(dá)方法

（C）空間觀察方法 （D）空間推理方法

（E）空間想象方法 （F）空間記憶方法

2.三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是______．

下列幾種能力中，你運(yùn)用哪種方法解決此題的（可以多選）（ ）？

（A）動(dòng)手操作方法 （B）空間表達(dá)方法

（C）空間觀察方法 （D）空間推理方法

（E）空間想象方法 （F）空間記憶方法

3.下列圖形中，不是正方體的展開(kāi)圖的是（ ）.

下列幾種能力中，你運(yùn)用哪種方法解決此題的（可以多選）（ ）？

（A）動(dòng)手操作方法 （B）空間表達(dá)方法

（C）空間觀察方法 （D）空間推理方法

（E）空間想象方法 （F）空間記憶方法

4.如圖1是一個(gè)正方體紙盒的平面展開(kāi)圖，六個(gè)面上分別寫(xiě)有“空袋難以直立”，則寫(xiě)有“難”字的對(duì)面是什么字（ ）.

圖1

（A）立 （B）空

（C）直 （D）以

下列幾種能力中，你運(yùn)用哪種方法解決此題的（可以多選）（ ）？

（A）動(dòng)手操作方法 （B）空間表達(dá)方法

（C）空間觀察方法 （D）空間推理方法

（E）空間想象方法 （F）空間記憶方法

5.如圖2是正方體的一種平面展開(kāi)圖，各面都標(biāo)有數(shù)字，則數(shù)字為-4的面與它對(duì)面的數(shù)字之積是_____.

圖2

下列幾種能力中，你運(yùn)用哪種方法解決此題的（可以多選）（ ）？

（A）動(dòng)手操作方法 （B）空間表達(dá)方法

（C）空間觀察方法 （D）空間推理方法

（E）空間想象方法 （F）空間記憶方法

6.有一個(gè)正方體，A，B，C的對(duì)面分別是x，y，z三個(gè)字母，如圖3所示，將這個(gè)正方體從現(xiàn)有位置依次翻到第1，2，3，4，5，6格，當(dāng)正方體翻到第6格時(shí)正方體向上一面的字母是（ ）.

圖3

（A）x（B）A（C）B（D）C

下列幾種能力中，你運(yùn)用哪種方法解決此題的（可以多選）（ ）？

（A）動(dòng)手操作方法 （B）空間表達(dá)方法

（C）空間觀察方法 （D）空間推理方法

（E）空間想象方法 （F）空間記憶方法

7.如圖4所示的立方體，如果把它展開(kāi)，可以是下列圖形中的（ ）.

圖4

下列幾種能力中，你是運(yùn)用哪種方法解決此題的（可以多選）（ ）？

（A）動(dòng)手操作方法 （B）空間表達(dá)方法

（C）空間觀察方法 （D）空間推理方法

（E）空間想象方法 （F）空間記憶方法

8.美術(shù)課上，老師要求同學(xué)們將如圖5所示的白紙只沿虛線剪開(kāi)，用裁開(kāi)的紙片和白紙上的陰影部份圍成一個(gè)立體模型，然后放在桌面上，下面四個(gè)示意圖中，只有一個(gè)符合上述要求，那么這個(gè)示意圖是（ ）.

圖5

下列幾種能力中，你運(yùn)用哪種方法解決此題的（可以多選）（ ）？

（A）動(dòng)手操作方法 （B）空間表達(dá)方法

（C）空間觀察方法 （D）空間推理方法

（E）空間想象方法 （F）空間記憶方法

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

1.實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)設(shè)計(jì)需要，筆者運(yùn)用柱狀統(tǒng)計(jì)圖分題統(tǒng)計(jì)本次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果.第1題正確人數(shù)為69人，第2題正確人數(shù)為70人，第3題正確人數(shù)為67人，第4題正確人數(shù)為70人，第5題正確人數(shù)為65人，第6題正確人數(shù)為54人，第7題正確人數(shù)為60人，第8題正確人數(shù)為41人.第1題～第8題柱狀統(tǒng)計(jì)如圖6～圖13所示，其中動(dòng)手操作能力、空間表達(dá)能力、空間觀察能力、空間推理能力、空間想象能力、空間記憶能力分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)表示.

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

2.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

（1）學(xué)生有一定的動(dòng)手操作能力.

參與測(cè)試的大部分學(xué)生均具有一定的立體圖形展開(kāi)圖的動(dòng)手操作能力、想象能力、記憶能力、推理能力、表達(dá)能力和觀察能力，這可能是由于學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過(guò)程中（包含幼兒園及小學(xué)）已經(jīng)形成了一定的相關(guān)技能水平，特別是之前學(xué)習(xí)的一些內(nèi)容與某些能力密切相關(guān).例如，在北京版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》第三冊(cè)中就有從不同方向觀察物體（正面、前面、左面、右面、上面，包括從不同方向觀察立方體）這一教學(xué)內(nèi)容，而這一教學(xué)內(nèi)容就與學(xué)生的觀察能力密切相關(guān).

（2）題目由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，空間能力表現(xiàn)有較大差異.

從結(jié)果可以看出學(xué)生在各種能力上也是存在差異的.通過(guò)選擇第1，2題可以看出，對(duì)于展開(kāi)后較為簡(jiǎn)單的立體圖形學(xué)生都認(rèn)為與動(dòng)手操作能力和空間想象能力直接相關(guān)；通過(guò)第3，4題可以看出正方體的展開(kāi)類(lèi)型比較豐富，當(dāng)題目為中等難度時(shí)，學(xué)生感覺(jué)動(dòng)手操作能力、空間觀察能力、空間想象能力、空間記憶能力表現(xiàn)較為突出；通過(guò)第5，6題可以看出，題目達(dá)到中等難度時(shí)，學(xué)生都認(rèn)為空間推理能力、空間想象能力、空間記憶能力在解決題目時(shí)很重要；通過(guò)第7、8題可以看出，當(dāng)題目更為復(fù)雜時(shí)，學(xué)生就認(rèn)為6種能力中動(dòng)手操作能力、空間推理能力、空間想象能力、空間記憶能力都很重要，并且通過(guò)與學(xué)生交流知道，在完成第7，8題時(shí)有個(gè)別學(xué)生用橡皮制作一個(gè)正方體，通過(guò)操作演示完成此題.

總體而言，可以看出動(dòng)手操作能力、空間表達(dá)能力、空間觀察能力、空間推理能力、空間想象能力、空間記憶能力對(duì)于立體圖形展開(kāi)圖而言都是很重要的能力，只是在不同情況下，不同能力體現(xiàn)的程度有些差異，但都是必不可少的.

（3）從不同方面培養(yǎng)學(xué)生的能力.

基于以上分析，教師在教學(xué)中要側(cè)重對(duì)學(xué)生各方面能力的培養(yǎng).為了培養(yǎng)學(xué)生的空間觀察能力，教師要培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中細(xì)致觀察題目中的立體圖形，總結(jié)它們的特點(diǎn).同時(shí)，還要善于與生活中的立體圖形相聯(lián)系，并敢于提出問(wèn)題，善于利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行剖析和解決.其次，教師還要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作，自己制作立體圖形.例如，在講解展開(kāi)圖一課之前，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在家里利用廢舊紙殼，制作正方體、長(zhǎng)方體、圓錐、圓柱等立體模型，并反復(fù)折疊其展開(kāi)圖，進(jìn)行感性認(rèn)識(shí)的積累，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和空間記憶能力.最后，教師還可以鼓勵(lì)學(xué)生在紙上畫(huà)立體圖形，嘗試著根據(jù)立體圖形的特點(diǎn)進(jìn)行推理，學(xué)會(huì)用圖形描述問(wèn)題，并嘗試解決，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和推理能力.

3.實(shí)驗(yàn)反思

回顧上述的實(shí)驗(yàn)過(guò)程及所得結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)中有一些做法是值得肯定的，但還有一些是尚待提高的，特別是那些尚待提高的地方正是以后再做類(lèi)似的實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)當(dāng)注意和改進(jìn)的地方.因此，筆者將自己對(duì)本次實(shí)驗(yàn)的反思記錄如下.

（1）值得肯定的地方.

測(cè)試題目的設(shè)計(jì)較為合理.這種合理性主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面，是在測(cè)試的實(shí)施過(guò)程中學(xué)生較順利地完成了測(cè)試，即在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)（15分鐘）所有參與測(cè)試的學(xué)生均完成了測(cè)試，同時(shí)也未出現(xiàn)大量學(xué)生較早完成測(cè)試的情形，即試題數(shù)量與難度較為合理.另一方面，教師能較為合理地設(shè)計(jì)測(cè)試題目，原因有兩點(diǎn)：第一，教師對(duì)參與測(cè)試的學(xué)生有較為深入的了解，對(duì)學(xué)生做題時(shí)容易在哪里出錯(cuò)，思考時(shí)容易在哪里遇到困難都較為了解，以上這些都為合理地選擇題目、編制問(wèn)題、安排題序等奠定了基礎(chǔ)；第二，由于常常要為學(xué)生編制試卷，因此教師在編制試卷方面積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，這也為本次題目設(shè)計(jì)提供了幫助.因此，充分了解參與測(cè)試的對(duì)象是設(shè)計(jì)好測(cè)試卷的基礎(chǔ)，積累編制測(cè)試卷的經(jīng)驗(yàn)是設(shè)計(jì)好測(cè)試的保障.

通過(guò)統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)測(cè)試得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，并且得到了一些結(jié)果，而且能夠根據(jù)參與測(cè)試的學(xué)生情況，以及試題情況做出一定的分析.注重對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析，并進(jìn)行了更為充分的討論，同時(shí)進(jìn)行了直方圖分析.

（2）值得反思的地方.

對(duì)被試對(duì)象的基本情況缺少進(jìn)一步的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì).雖然對(duì)參與測(cè)試的學(xué)生有一定的了解，諸如性別、年齡等，但沒(méi)有做進(jìn)一步更多、更具體的相關(guān)情況統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)在想來(lái)諸如參與測(cè)試學(xué)生的性別比例、在前一次考試中各成績(jī)段的人數(shù)比等都是可以做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的.教師對(duì)被試對(duì)象的情況了解得越深入、越具體，就越有助于實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展與結(jié)果的分析，后續(xù)還可進(jìn)行其他方面的研究.例如，影響初中生解決立體圖形展開(kāi)圖問(wèn)題因素是否與年齡和性別有關(guān).

試卷設(shè)計(jì)題目較少.本次實(shí)驗(yàn)只設(shè)計(jì)了8道題目，雖然已經(jīng)讓大家對(duì)于“影響初中生解決立體圖形展開(kāi)圖問(wèn)題因素”有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，但是如果題目更豐富一些，角度更多一些，應(yīng)該會(huì)更具說(shuō)服力.由于受到地域的限制，學(xué)生數(shù)量較少，調(diào)查樣本比較集中.如果樣本數(shù)據(jù)再多些，那么數(shù)據(jù)就更有說(shuō)服力了.