微分概念的微課程教學(xué)設(shè)計(jì)

秦丹丹 黃文竹

【摘要】本文探討了如何設(shè)計(jì)適合本科生教育的微分概念的微課程，主旨是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；提高學(xué)習(xí)效率；引導(dǎo)學(xué)生深入理解微分的本質(zhì)；運(yùn)用信息技術(shù)，提升學(xué)生自主學(xué)；解決學(xué)生時(shí)間碎片化的問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】微分 高等數(shù)學(xué) 微課程 教學(xué)設(shè)計(jì)

【基金項(xiàng)目】貴州醫(yī)科大學(xué)教學(xué)工程項(xiàng)目。

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）47-0124-02

高等數(shù)學(xué)具有知識(shí)點(diǎn)多、內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)且邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)；是后續(xù)課程學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)；對(duì)培養(yǎng)學(xué)生提出、分析，解決問(wèn)題的能力和邏輯思維鍛煉有重要作用。因此，教育工作者一直致力于研究高等數(shù)學(xué)的教學(xué)模式改革與教學(xué)方法創(chuàng)新。目前，越來(lái)越多的教師參與到了微課程的設(shè)計(jì)與研究中，積極推動(dòng)了高等數(shù)學(xué)的教學(xué)模式改革，高校也興起了微課程設(shè)計(jì)熱潮。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)微分的微課程時(shí)，筆者采取了下面的思路：

一、情景設(shè)計(jì)，趣味引入

引例：擺鐘的鐘擺受溫度變化會(huì)發(fā)生熱脹冷縮現(xiàn)象，從而影響擺鐘的精確程度。問(wèn)鐘擺的擺長(zhǎng)在冬季縮短0.01cm，這樣將使擺鐘產(chǎn)生多大的誤差？

以熱脹冷縮現(xiàn)象為背景，提出一個(gè)日常生活中的問(wèn)題，這樣的引入方式能夠吸引學(xué)生的注意力，增加趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并深入探索，更能體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中很多概念來(lái)源于實(shí)際的本質(zhì)，糾正高等數(shù)學(xué)脫離實(shí)際的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。熱脹冷縮現(xiàn)象是常識(shí)性知識(shí)，隨著氣溫的變化，計(jì)算結(jié)果會(huì)受到影響，內(nèi)容相對(duì)容易理解。

二、概念剖析，嚴(yán)謹(jǐn)解讀

微分是微積分學(xué)中的概念之一，該知識(shí)點(diǎn)與前后內(nèi)容有重要聯(lián)系。目前，筆者使用的教材為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《高等數(shù)學(xué)（第七版）》。該教材已經(jīng)經(jīng)歷多次修訂，內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)，但學(xué)生自學(xué)時(shí)受知識(shí)面的限制，難以從本質(zhì)上理解微分的概念。如果按照正常順序陳述的方式，學(xué)生經(jīng)常死記硬背定義，甚至不知道如何應(yīng)用。

考慮以上原因，筆者在講授時(shí)，以定義式Δy=AΔx+ο（Δx）為出發(fā)點(diǎn)，即函數(shù)值增量等于自變量增量的線性形式加上自變量的高階無(wú)窮小。由定義式可知，f（x0）和f（x0+Δx）需都有意義。所以，微分的定義要求函數(shù)y=f（x）要在x0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。還要強(qiáng)調(diào)：線性主部中的常數(shù)A與自變量增量無(wú)關(guān)，否則就不是線性形式。

本微課程旨在教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)概念性知識(shí)點(diǎn)的方法——先記憶定義式，再分析前提條件。定義式的記憶難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于直接背誦教材上的定義。由定義式分析出所有條件，可以實(shí)現(xiàn)理解記憶的目的。此外，只有熟記定義式，學(xué)生才能夠分析明確微分與其它概念之間的聯(lián)系。

三、引導(dǎo)思考，詳細(xì)推理

問(wèn)題：在一元函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)與微分是什么關(guān)系？

方法：?jiǎn)栴}式教學(xué)法。

提示： 從導(dǎo)數(shù)和微分的本質(zhì)出發(fā)，在PPT中呈現(xiàn)導(dǎo)數(shù)定義式與微分定義式。

結(jié)論：對(duì)于一元函數(shù)，可導(dǎo)與可微等價(jià)，且dy=f′（x0）dx，導(dǎo)數(shù) =f′（x0）稱為微商。

四、概念回歸，注重應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際，反過(guò)來(lái)又應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)生活。將概念回歸到引例，可以幫助學(xué)生深化對(duì)概念的理解。同時(shí)，用微分解決實(shí)際問(wèn)題，也體現(xiàn)了微分在生產(chǎn)實(shí)際與科學(xué)研究方面的重要應(yīng)用，例如近似計(jì)算Δy≈f′（x0）Δx。

由于時(shí)鐘擺動(dòng)的周期是1秒鐘，一個(gè)周期的誤差為

ΔT≈dT=T′（l0）·Δl= ·Δl= ×（-0.0001）≈-0.0002（s）

那么，一天的誤差就是60×60×24×0.0002=17.28（s）

微課程具有時(shí)間短、內(nèi)容精煉的特點(diǎn)。受時(shí)間限制，課堂僅介紹函數(shù)值增量的近似計(jì)算，提醒學(xué)生微分還可以用來(lái)近似計(jì)算x0點(diǎn)附近的函數(shù)值。

最后需要指出微分近似計(jì)算的優(yōu)缺點(diǎn)，微分的應(yīng)用是線性近似計(jì)算，也就是用一次函數(shù)近似代替函數(shù)值或者函數(shù)值的增量，而線性近似的程度有時(shí)并不能夠滿足問(wèn)題的精確度要求，所以學(xué)生后續(xù)還會(huì)學(xué)習(xí)用高次多項(xiàng)式做近似計(jì)算的問(wèn)題——泰勒公式，以此激發(fā)學(xué)生對(duì)后續(xù)內(nèi)容的探索興趣。

五、梳理內(nèi)容，歸納小結(jié)

在微課程的設(shè)計(jì)中，小結(jié)部分可以起到進(jìn)一步鞏固知識(shí)點(diǎn)、總結(jié)規(guī)律的作用。這部分以板書(shū)形式給出，通過(guò)粉筆字突出重難點(diǎn)，讓學(xué)生一目了然。布置微分這節(jié)課的典型題目，包括微分計(jì)算、近似計(jì)算，所有題目在PPT上給出。

思考題：導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義的區(qū)別是什么？

結(jié)語(yǔ)

本次微課程設(shè)計(jì)，借助信息技術(shù)手段錄制內(nèi)容豐富、節(jié)奏緊湊的短視頻。視頻中用到了PPT與板書(shū)，沒(méi)有完全拋棄傳統(tǒng)的教學(xué)手段。多媒體教學(xué)能夠節(jié)省教學(xué)時(shí)間，加大信息量；板書(shū)呈現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)可以給學(xué)生更加直觀的感受，容易記住重難點(diǎn)。該微課程涉及到“情境引入，概念講解，嚴(yán)謹(jǐn)推演，現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，內(nèi)容歸納”五個(gè)環(huán)節(jié)，內(nèi)容承上啟下；能夠?qū)崿F(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生思考，提升自主學(xué)習(xí)能力的目標(biāo)。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 高等教育出版社，2007年4月.

作者簡(jiǎn)介：

秦丹丹（1982—），女，漢族，黑龍江省齊齊哈爾人，空軍航空大學(xué)，講師，碩士，主要從事微分方程數(shù)值解研究。

黃文竹（1983—），女，漢族，黑龍江省哈爾濱人，貴州醫(yī)科大學(xué)，副教授，博士，主要從事微分方程數(shù)值解研究。