數(shù)形結(jié)合，有效轉(zhuǎn)化
——以2018年江蘇卷第12題為例

☉浙江省杭州第二中學(xué)錢(qián)江學(xué)校 楊冬梅

☉浙江省杭州高級(jí)中學(xué)錢(qián)江校區(qū) 鄧 成

2018年的江蘇卷整體難度不大，試卷設(shè)計(jì)平穩(wěn)，比有些模考試卷更基礎(chǔ)，整張?jiān)嚲碇谢A(chǔ)題送分很到位，考生只要正確地掌握相關(guān)公式與定理，準(zhǔn)確地計(jì)算即可得分，試卷中的中檔題，有許多涉及的是經(jīng)典題型、經(jīng)典方法，多為歷年高考的熱點(diǎn)，如果考生在平時(shí)復(fù)習(xí)的時(shí)候多注重這類典型問(wèn)題，多注重歷年的?？贾R(shí)點(diǎn)，掌握此類問(wèn)題的通性通法，對(duì)付試卷中的中檔題也是易如反掌.試卷中某些問(wèn)題，如果考生選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法還可以極大地提高運(yùn)算的速度與準(zhǔn)確性.本文以江蘇卷第12題為例，談?wù)劥祟}的解題策略，與讀者共勉.

一、身臨其境，再見(jiàn)真題

題目 （2018年江蘇卷第12題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D，若=0，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____.

分析：由于題目中沒(méi)有給出符合題意的相關(guān)圖形，所以考生首先要根據(jù)題意作出大致圖形，結(jié)論中要求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，所以猜想解答過(guò)程中可能少不了坐標(biāo)運(yùn)算，縱觀題目，應(yīng)該是將題設(shè)條件中的=0進(jìn)行相關(guān)轉(zhuǎn)化，可以直接進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，也可以轉(zhuǎn)化成線段AB與CD的垂直關(guān)系，或者進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成相關(guān)線段的長(zhǎng)度關(guān)系來(lái)解決，解題思路一下子明朗起來(lái).

二、條件轉(zhuǎn)化，各顯神通

題設(shè)條件中有提及“以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D，且=0”，都與點(diǎn)D關(guān)聯(lián)，而點(diǎn)B已知，點(diǎn)A又為已知直線l：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，故點(diǎn)D的求解是關(guān)鍵.

1.曲線交點(diǎn)法

解法1：作出大致圖像，如圖1所示，因?yàn)锳為直線l：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，所以可設(shè)點(diǎn)A（x1，2x1），所以以AB為直徑的圓C的圓心所以圓C的方程為

圖1

因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限內(nèi)，所以x1=3，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

點(diǎn)評(píng)：本解法為純代數(shù)解法，解法中運(yùn)算量較大，直接根據(jù)題意，求出直線l與圓C的交點(diǎn)D，再將條件A■→B·C■→D=0進(jìn)行坐標(biāo)化后運(yùn)算，沒(méi)有過(guò)多的技巧性的東西，但對(duì)考生的計(jì)算能力有過(guò)硬的要求.

既然想到了要求點(diǎn)D的坐標(biāo)，上述解法又太過(guò)煩瑣，計(jì)算量又大，那么能否換個(gè)角度求點(diǎn)D的坐標(biāo)呢？不難發(fā)現(xiàn)，圓C是以AB為直徑的，所以AD⊥BD，這樣就可以求出點(diǎn)D了.

解法2：因?yàn)锳B為圓C的直徑，所以AD⊥BD.因?yàn)橹本€l：y=2x，所以，所以直線BD的表達(dá)式為.聯(lián)立直線l：y=2x，有解得所以D（1，2）.再設(shè)點(diǎn)A（x1，2x1），所以=（5-x1，又因?yàn)?0，所以（5-x1，-2x1）·=0，整理得（x1+1）（x1-3）=0，即x1=-1或x1=3.因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限內(nèi)，所以x1=3，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

解法3：因?yàn)锳B為圓C的直徑，所以AD⊥BD，因?yàn)橹本€l：y=2x，所以kAD=2，kBD=-.設(shè)點(diǎn)D（x2，2x2），所以kBD=，解得x2=1，所以D（1，2）.再設(shè)點(diǎn)A（x，2x），因?yàn)?0，所以AB⊥CD，而C為圓心，所以直線CD為線段AB的垂直平分線，所以AD=BD，即，解得x=-1或x=3.因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限內(nèi)，所以x=3，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

點(diǎn)評(píng)：解法2與解法3都簡(jiǎn)化了D點(diǎn)坐標(biāo)的求法，解法2中求的是直線l與直線BD的交點(diǎn)，解法3中利用“兩直線垂直時(shí)斜率乘積為-1”的結(jié)論，都快速地求出了D點(diǎn)坐標(biāo)，解法3中有效地將=0轉(zhuǎn)化為線段AD與線段BD的相等關(guān)系，減少了計(jì)算量.

2.幾何意義法

題設(shè)條件中，直線l與圓C相交，且直線l的表達(dá)式已知，C又是AB的中點(diǎn)，不妨考慮將點(diǎn)C到直線l的垂線段與其他線段關(guān)聯(lián)起來(lái)，運(yùn)用幾何意義解決問(wèn)題.

解法4：如圖2所示，連接CD，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AD.

圖2

因?yàn)锳為直線l：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，所以可設(shè)點(diǎn)A（x1，2x1）.因?yàn)?0，所以AB⊥CD.因?yàn)锳C=CD，CH⊥AD，所以CH=AC，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即·，整理有（x1+1）（x1-3）=0，所以x1=-1或x1=3.因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限內(nèi)，所以x=3，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

點(diǎn)評(píng)：解法4巧妙地利用線段之間的垂直關(guān)系，在直角三角形中，數(shù)形結(jié)合，找到等量關(guān)系CH=AC這一關(guān)鍵點(diǎn)，借助點(diǎn)到直線的距離公式、平面上兩點(diǎn)之間的距離公式，直接解出了A點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3.三角函數(shù)法

觀察到A為直線l與直線AB的交點(diǎn)，直線l的表達(dá)式已知，若能求出直線AB的解析式，問(wèn)題就解決了，而直線AB上的點(diǎn)B（5，0）又是已知，故只要求直線AB的斜率.

圖3

點(diǎn)評(píng)：從所求結(jié)論直接入手，求出直線AB的解析式，傾斜角θ的設(shè)出及兩角和的正切公式的運(yùn)用是本解法的出彩之處.

4.構(gòu)造相似法

要求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，只要求出點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離即可，作出垂線段，構(gòu)造相似三角形，求出點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離.

圖4

解法6：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸，所以AH∥x軸，所以∠HAD=∠DOB，連接BD.因?yàn)锳B為圓C的直徑，所以AD⊥BD，所以∠AHO=∠ODB=90°，所以△AHO∽△ODB，所以.因?yàn)锳為直線l：y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，所以可設(shè)點(diǎn)A（x，2x），所以0，所以AB⊥CD.而C為圓心，所以CD直線為線段AB的垂直平分線，所以AD=BD，所以AO=AD+DO=BD+OD=，即x=3，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用初中的數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的相似比的性質(zhì)來(lái)解答，沒(méi)有高中數(shù)學(xué)中高大上的感覺(jué)，但過(guò)程顯得通俗、易懂.

三、解后小結(jié)，能力升華

本題屬中檔題，主要考查平面向量數(shù)量積、直線與圓的位置關(guān)系等，對(duì)考生而言，準(zhǔn)確理解題意，并正確畫(huà)出符合題意的圖形非常關(guān)鍵，只要能準(zhǔn)確理解題設(shè)條件“A■→B·C■→D=0”，并實(shí)施有效的轉(zhuǎn)化，本題還是易解的，在本文中，我們從不同的角度、不同的層面對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行相關(guān)轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)此題解答方法如此眾多，但是要考生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，能夠運(yùn)用最合適的解題方法快速地解決問(wèn)題，這對(duì)考生的個(gè)人數(shù)學(xué)能力有較高的要求，另外，這些解法主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常用的兩大數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想.W