分析題干思變換，構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)

☉江蘇省石莊高級(jí)中學(xué) 周亞軍

通項(xiàng)公式是數(shù)列的本質(zhì)，而遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式則是數(shù)列的靈魂.求由遞推關(guān)系所確定的數(shù)列的通項(xiàng)，通?？赏ㄟ^(guò)遞推關(guān)系的一系列恒等變換，構(gòu)造出一個(gè)輔助數(shù)列，化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后求出這個(gè)輔助數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而求得所要求數(shù)列的通項(xiàng).對(duì)于不同的遞推公式，可以采取不同的方法構(gòu)造不同的輔助數(shù)列.下面就談?wù)劤Ｒ姷臉?gòu)造新數(shù)列的方法，希望對(duì)讀者有所幫助.

一、分析題目特征，探求系數(shù)輔助求通項(xiàng)

用待定系數(shù)法求通項(xiàng)的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個(gè)遞推式可變成為何種等比數(shù)列.其變換的基本形式如下：

（1）an+2=Aan+1+Ban（A，B為常數(shù)，下同）型，可化為an+2+λan+1=（A+λ）·（an+1+λan）的形式；

（2）an+1=Aan+B（A，B為常數(shù)）型，可化為an+1+λ=A（an+λ）的形式；

（3）an+1=Aan+B·Cn（A，B，C為常數(shù)）型，可化為an+1+λCn+1=A（an+λCn）的形式；

（4）an+1=Aan+Bn+C（A，B，C為常數(shù)）型，可化為an+1+λ1n+λ2=A［an+λ1（n-1）+λ2］的形式.

例1 已知數(shù)列{an}中求an的表達(dá)式.

分析：根據(jù)題目特征考慮用待定系數(shù)法來(lái)求解，可設(shè)an+2-αan+1=β（an+1-αan），就是an+2=（α+β）an+1-αβan，則可從解得α，β，從而構(gòu)造出一個(gè)公比為β的等比數(shù)列{an+1-αan}.當(dāng)有兩組α，β值時(shí)，只需要取一組求解即可.

解：設(shè)an+2-αan+1=β（an+1-αan），則α+β=得

.分兩種情況求an.

例2 已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3·5n，a1=6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析：設(shè)an+1+x·5n+1=2（an+x·5n）， ①

將an+1=2an+3·5n代入①式，得2an+3·5n+x·5n+1=2an+2x·5n，等式兩邊消去2an，得3·5n+x·5n+1=2x·5n，兩邊除以5n，得3+x·5=2x，則x=-1，代入①式，得an+1-5n+1=2（an-5n）.②

由a1-51=6-5=1≠0及②式，得an-5n≠0，則2，則數(shù)列{an-5n}是以a1-51=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an-5n=1·2n-1，故an=2n-1+5n.

評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an+1=2an+3·5n轉(zhuǎn)化為an+1-5n+1=2（an-5n），從而可知數(shù)列{an-5n}是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列{an-5n}的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

二、構(gòu)造倒數(shù)式輔助求通項(xiàng)

例3 已知數(shù)列{an}中，（n≥2），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.

分析：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)遞推公式是分式型的，可以考慮在兩邊取倒數(shù)進(jìn)行求解比較方便.

三、構(gòu)造對(duì)數(shù)式輔助求通項(xiàng)

對(duì)形如an+1=panm（p為非零常數(shù)，m∈N*且m＞1）的遞推數(shù)列，可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，將積、商、冪的形式轉(zhuǎn)化成和、差、倍的形式，從而構(gòu)造出新的等差或等比數(shù)列，再利用等差或等比數(shù)列的定義去求解.

例3 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，有an=2an-12，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an.

分析：觀察題目結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可考慮利用兩邊取對(duì)數(shù)，將高階遞推公式變?yōu)橐浑A遞推式，然后再進(jìn)行求解.

解：兩邊取對(duì)數(shù)得log2an=1+2log2an-1，

即log2an+1=2（log2an-1+1）.

設(shè)bn=log2an+1，則bn=2bn-1，

所以{bn}是以2為公比的等比數(shù)列，b1=log21+1=1.

所以bn=1×2n-1=2n-1，所以log2an+1=2n-1，即log2an=2n-1-1，所以an=22n-1-1.

求通項(xiàng)公式是數(shù)列學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，滲透了多種數(shù)學(xué)思想方法，很好地體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)理念.在求解的過(guò)程中，往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng)，因此是培養(yǎng)同學(xué)們思維深刻性的極好范例，有必要好好去領(lǐng)悟.W