導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點存在區(qū)間取點探析*

☉甘肅省白銀市第九中學 張永兵

對于函數(shù)零點的問題，不管正向還是逆向，思路都是一致的，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，然后找到極值，再根據(jù)函數(shù)的零點存在定理，找到符合題目條件的情況進行分析.下面通過例題來舉例說明.

（1）若a=3，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：f（x）只有一個零點.

（2）由于x2+x+1＞0，所以f（x）=0等價于

綜上，f（x）只有一個零點.

探析：計算f（3a+1），f（3a-1），這一步非常巧妙，你是怎么想到的？

例2（2017年全國卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解：（1）易知，若a≤0，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；若a＞0，f（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減，在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增.（過程略）

（2）（i）若a≤0，由（1）知，f（x）至多有一個零點.

（ii）若a＞0，由（1）知，當x=-lna時，f（x）取得最小值，最小值為（f-lna）=1-+lna.

①當a=1時，由于（f-lna）=0，故（fx）只有一個零點；

綜上，a的取值范圍為（0，1）.

例3（2016年全國卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解：（1）易知，當a≥0，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）①設(shè)a＞0，則由（1）知，（fx）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

又（f1）=-e，（f2）=a，取b滿足b＜0且b＜ln，則（fb）＞，所以f（x）有兩個零點.

②設(shè)a=0，則（fx）=（x-2）ex，（fx）只有一個零點.

綜上，a的取值范圍是（0，+∞）.

例4（2015年全國卷Ⅰ）設(shè)函數(shù)（fx）=e2x-alnx.

（1）討論（fx）的導(dǎo)函數(shù)f（′x）的零點的個數(shù)；

解：（1）（fx）的定義域為（0，+∞），f（′x）=2e2x-（x＞0）.當a≤0時，f（′x）＞0，f（′x）沒有零點；

當a＞0時，因為y1=e2x單調(diào)遞增單調(diào)遞增，所以f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又f′（a）=2e2a-1＞0，當b滿足時，f′（b）＜0，故當a＞0時，f′（x）存在唯一零點.

因為f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.f′（a）＞0，所以選取的b應(yīng)小于a，并且越遠離a，滿足f′（b）＜0的可能性越大，取以當a＞0時至少有一個成立.其實b也可以取得0＜a＜4ln4.當a≥4ln4，可以利用a范圍采用參數(shù)放縮法不含參數(shù)并且遞增