利用柯西不等式的變形解題

☉河南省駐馬店高級(jí)中學(xué) 耿杉杉

文1把課本上的一類條件不等式的證明利用函數(shù)思想，先從不等式中抽象出一個(gè)函數(shù)，然后，利用該函數(shù)圖像總是在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的上方或下方構(gòu)造出新的不等式，最后對(duì)這些新不等式進(jìn)行累加，從而使原不等式得證.這樣證明不等式確實(shí)很巧妙.文2利用重要不等式的變形再次對(duì)這些不等式進(jìn)行了證明，讀后也讓人耳目一新.通過這兩篇文章的學(xué)習(xí)研究，本人深受啟發(fā)，本文運(yùn)用柯西不等式，特別是柯西不等式的變形形式，對(duì)文1和文2中給出的一些課本上的習(xí)題、高考題、競賽題進(jìn)行證明，以供大家探討.

柯西不等式：若a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是實(shí)數(shù)，則（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，當(dāng)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不全為零時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）.

柯西不等式的變形形式：若a1，a2，…，an為實(shí)數(shù)，b1，b2，…，bn為正數(shù)，則a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不全為零時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）.

例1 （選修4-5第41頁第1題）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證≥9.你能否把這一結(jié)論推廣，并寫出證明.

證明：因?yàn)閍，b，c∈R+，且a+b+c=1，由柯西不等式的變形公式，得

推廣：x1，x2，…，xn，∈R+，且x1+x2+…+xn=1，則

證明：因?yàn)閤1，x2，…，xn，∈R+，且x1+x2+…+xn=1，

由柯西不等式的變形公式，得

例2 （選修4-5第41頁第4題）已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，求證

證明：因?yàn)閍，b，c是正數(shù)，由柯西不等式的變形公式，得

又因?yàn)閍，b，c是互不相等的正數(shù)，

例3 （選修4-5第41頁第6題）設(shè)x1，x2，…，xn，∈R+，且x1+x2+…+xn=1，求證

證明：因?yàn)閤1，x2，…，xn，∈R+，且x1+x2+…+xn=1，

又a＞0，b＞0，由柯西不等式的變形公式，得

=1，即a=2，b=4時(shí)，等號(hào)成立.

所以2a+b的最小值為8.

例5 （2008年陜西卷第22題（3））已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)，n=1，2，….證明

所以原不等式成立.

例6（2012年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅預(yù)賽第11題）設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求證

證明：因?yàn)閍，b，c為正實(shí)數(shù)，所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

又a+b+c=1，由柯西不等式的變形公式，得

拓展：設(shè)ai，bi（i=1，2，…，n）同號(hào)且不為0，則，當(dāng)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn不全為零時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)實(shí)數(shù)k，使得ai=kbi（i=1，2，…，n）.