數(shù)學(xué)思維及其培養(yǎng)

吳桂星

【摘要】數(shù)學(xué)思維是分析與解決數(shù)學(xué)問題的重要思維品質(zhì)，其內(nèi)涵豐富且形式靈活.幾種常見的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)途徑為：提供聯(lián)想訓(xùn)練，促進學(xué)生的聯(lián)想思維；引導(dǎo)類化分析，啟迪學(xué)生的類化思維；滲透數(shù)形方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)形思維；引導(dǎo)概括描述，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維；聯(lián)想思維；類化思維；數(shù)形思維；抽象思維

數(shù)學(xué)思維，指人們依據(jù)數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)方法去認知數(shù)學(xué)事物或解決數(shù)學(xué)問題的心理活動.如對于“2，4，6，…”等偶數(shù)的認知，如果能抓住“能被2整除”這個特征，那么人們的思維活動就是由形式到本質(zhì)的抽象過程，如果又能用“2n”來表示偶數(shù)的通用形式，那么就體現(xiàn)了人們由特殊到一般的概括過程.再如，對于分數(shù)的除法，如果轉(zhuǎn)化為分數(shù)的乘法來進行運算，那么就體現(xiàn)了人們解決問題中的逆向思維.數(shù)學(xué)思維是分析與解決數(shù)學(xué)問題的重要思維品質(zhì)，其內(nèi)涵豐富且形式靈活，難以勝數(shù).本文就幾種常見的數(shù)學(xué)思維，從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的角度，談?wù)勂渑囵B(yǎng)途徑或方法.

一、提供聯(lián)想訓(xùn)練，促進學(xué)生的聯(lián)想思維

教學(xué)中要促進學(xué)生的聯(lián)想思維，關(guān)鍵在于教師提供讓學(xué)生開展豐富聯(lián)想的教學(xué)平臺.如，“比”課題，教材是以國旗的長寬特征和“神舟五號”的軌道長度和運行周期這兩個問題來引導(dǎo)學(xué)生建立“比”的概念.當然，這種教學(xué)簡明扼要，有助于學(xué)生對“比”這種數(shù)學(xué)問題的認識，但對于促進學(xué)生充分感知“比是反映生活事物在數(shù)量比值方面具有某種特征”的內(nèi)涵，還是有所不足.為此，教師就可以提出如下問題來引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：“在你所觀察到的事物中，你發(fā)現(xiàn)哪些事物在數(shù)量比值方面有著特定的關(guān)系？”如果學(xué)生能說出“人越高腿越長”“田畝越大秧苗越多”“樓層越多房子就越高”等生活事物，那么他對“比”的內(nèi)涵就有著一定的深刻性：“比”是反映生活事物在數(shù)量方面遵循著某種規(guī)律.對于不遵循某種規(guī)律的事物，就不能用“比”的形式來描述.

聯(lián)想是一種最基本但又是最重要的思維形式，其思維活躍度和深刻度，不僅影響著人們對事物的認知，更影響著人們的創(chuàng)造或發(fā)明.

二、引導(dǎo)類化分析，啟迪學(xué)生的類化思維

類化思維，指分析或概括當前問題與原有知識的共同本質(zhì)特征，將所要解決的問題納入原有的同類知識結(jié)構(gòu)中去，對問題加以解決的思維活動.如探究任意三角形面積計算問題，它可以用兩個相同的三角形拼接為一個平行四邊形，然后依據(jù)平行四邊形的面積公式來推出三角形面積公式.也可以把一個任意三角形分割后拼接為一個長方形，然后依據(jù)長方形的面積公式來推出三角形面積.可見，類化思維活動的重要環(huán)節(jié)在于把新問題或新情境轉(zhuǎn)化為已知問題或已知情境來處理的思維過程.類化思維，從其實質(zhì)來說，它是一種化繁為簡或化難為易的思維方法，至于具體如何轉(zhuǎn)化，又取決于人們的類化思想和類化智慧，而這種類化思想和類化智慧，既依賴于人們的知識與文化底蘊，更取決于人們的思維活力，而引導(dǎo)類化分析則是誘發(fā)學(xué)生思維活力進而形成類化思維的有效途徑.

引導(dǎo)類化分析，指教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生如何將新問題轉(zhuǎn)化為已知的問題來分析的教學(xué)活動.在探究“圓的面積”活動中，學(xué)生在“圓的周長”課題學(xué)習(xí)中已經(jīng)知道可以用實驗的方法來研究周長于半徑的關(guān)系，教師只要提示“圓的周長公式是怎樣得到的”，學(xué)生自然會想到實驗方法.當然，圓的周長可以直接測定，而圓的面積則不能直接測定，實驗的思路必須要將圓的面積轉(zhuǎn)化為已知圖形的面積，從而間接測定圓的面積.誠然，這是實驗設(shè)計的難點，類化思維的目的就是要化難為易.如果學(xué)生能想到把同一批綠豆先后鋪放在圓形紙中和方格紙中，然后由計算方格紙面積來確定圓的面積，那么這何以不是創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)！其中由方格紙面積替代圓面積就是一種類化思想，而選擇綠豆緊密且不重疊的鋪放則是一種類化智慧.再如，在圓面積公式論證中，教師如果提出“能否把圓形分割成與三角形相似的圖形”“兩者的差異在哪里”“分割的三角形越小兩者的差異會發(fā)生怎樣的變化”等問題，那么就可能促使學(xué)生形成“把圓形轉(zhuǎn)化為無數(shù)個小三角形，并通過求算這無數(shù)個小三角形面積之和來得到圓面積公式”的類化思維.

類化思維是探究并解決新問題的一種重要的思維方法，它不僅涉及學(xué)生當前的課程學(xué)習(xí)，而且影響著學(xué)生的再學(xué)習(xí)乃至未來的社會實踐.

三、滲透數(shù)形方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)形思維

數(shù)量和圖形是數(shù)學(xué)中兩個最基本的問題，圖形中蘊含著數(shù)量，而數(shù)量又可以表征為一定的圖形.所謂數(shù)形方法，指用數(shù)量和圖形結(jié)合的方式來描述或分析數(shù)學(xué)問題的方法.數(shù)形思維，指結(jié)合數(shù)量和圖形來認識或解決數(shù)學(xué)問題的思維活動.數(shù)學(xué)思維主要體現(xiàn)在兩方面：一是“以數(shù)解形”，即對幾何圖形問題用代數(shù)方法來處理，以達到解決問題的定量化或精準性；二是“以形助數(shù)”，指把代數(shù)問題用某種圖形來進行直觀性地描繪，以促進人們的理解.

教學(xué)中滲透數(shù)形方法，就是指引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形方法來認識或解決問題，或“以數(shù)解形”，或“以形助數(shù)”.如探究“三角形面積”計算，教學(xué)中就可以在方格紙中畫一個頂點都在方格紙交點的一個三角形，引導(dǎo)學(xué)生觀察與比較，同時啟發(fā)學(xué)生通過累積方格子個數(shù)的辦法來確定三角形的面積.在此基礎(chǔ)上提出如下問題以引導(dǎo)學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)：① 若三角形高度不變，底邊增大，三角形面積如何變化？② 若三角形底邊不變，高度增大，三角形面積又如，何變化？③ 用底邊與高圍成的長方形，其中包含的方格子個數(shù)有多少？④ 三角形所占方格子個數(shù)與長方形所占的方格子個數(shù)具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？⑤ 你有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的面積大小由什么因素決定？通過上面的探究性學(xué)習(xí)活動，學(xué)生就可能歸納出計算三角形的面積公式.

四、引導(dǎo)概括描述，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維

抽象思維，指人們在認識活動中，運用概念、判斷、推理等思維形式，對客觀事物進行間接的、概括的反映過程.形象思維是對一個個具體事物進行直觀性的描繪，而抽象思維則是追究不同形式事物的本質(zhì)屬性或共同特征.形象思維是抽象思維的基礎(chǔ)，抽象思維則是形象思維的發(fā)展，離開了形象思維，抽象思維就失去了它的根基.因此，要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，首先在教學(xué)中要提供具體豐富的問題素材讓學(xué)生感知，從而建立一個個具體鮮明的事物表象.其次是引導(dǎo)學(xué)生對一個個具體事物進行分析與比較，或歸納其本質(zhì)屬性，或概括其共同特征.其三是要求學(xué)生運用概念或?qū)W科語言來描述事物的本質(zhì)屬性或共同特征，從而上升到理性認識.第一個認知環(huán)節(jié)屬于形象思維過程，后兩個環(huán)節(jié)的認知則屬于抽象思維過程.

如，“圓的認識”課題，教學(xué)中首先可以通過多媒體提供諸如太陽、足球、盤子、車輪等一個個具有圓形特點物體讓學(xué)生觀察或?qū)徱?，接著可以讓學(xué)生嘗試用圓規(guī)畫出一個個大小不同的圓，然后再引導(dǎo)學(xué)生分析并比較圓周上任意一點到圓心的距離，最后要求學(xué)生用自己的語言來描述圓的概念.其中對圓形物體的觀察和畫圓活動都是促進學(xué)生的形象思維以建立圓的表象，而分析比較圓心到圓周的距離以及描述圓的概念就屬于抽象思維.然而在實際的教學(xué)中，多數(shù)教師僅重視觀察、畫圓、比較半徑的教學(xué)，而對于圓概念的描述則往往不做要求.誠然，由于小學(xué)生對概念理解能力的欠缺，教材沒有給出圓的概念，但作為培養(yǎng)小學(xué)生由形象思維過渡到抽象思維的發(fā)展角度而言，可謂是一種教學(xué)失誤.對于圓概念的描述，雖然小學(xué)生難以做到邏輯嚴密，內(nèi)涵正確，語言精練，但他們還是能說出大致的內(nèi)涵，而且在用自己的語言描述圓概念的過程中，學(xué)生自然會考究圓的性質(zhì)或特征，其中的考究過程就是抽象思維過程.如果不讓學(xué)生去說，則失去了訓(xùn)練學(xué)生抽象思維的機會.為什么絕大多數(shù)學(xué)生甚至包括高中生，都不能用自己的語言來準確地描述數(shù)學(xué)概念，其根本原因就是缺乏應(yīng)有的抽象思維訓(xùn)練.

數(shù)學(xué)思維是一種復(fù)雜的思維活動過程，聯(lián)想思維中可能包含著比較思維，比較思維中又可能孕育著類化思維，其中既可能體現(xiàn)為圖形或表象的形象思維形式，也可能體現(xiàn)為概括或歸納的抽象思維活動.本文分類闡述，僅是方便讀者理解.然而在實際的教學(xué)中，還是應(yīng)以問題為主線，以問題促思維，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力在一種自然的教學(xué)環(huán)境中得以發(fā)展.

【參考文獻】

[1]蔣志萍，汪文賢，著.數(shù)學(xué)思維方法[J].杭州：浙江大學(xué)出版社，2011.