淺談三重積分教學(xué)中的幾點(diǎn)思考

劉紅軍 肖麗

【摘要】三重積分的知識(shí)點(diǎn)在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中具有相當(dāng)重要的地位，也是積分學(xué)中學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).本文針對(duì)三重積分解題過(guò)程中具有抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)，從“領(lǐng)悟三重積分的思想”“提倡興趣教學(xué)”和“組織討論學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題”等幾個(gè)方面總結(jié)了在三重積分教學(xué)中的幾點(diǎn)思考.

【關(guān)鍵詞】三重積分；興趣教學(xué)；思維方法

【基金項(xiàng)目】貴州師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金（11904/0517078）.

三重積分是二重積分的一個(gè)自然推廣，與二重積分有著相似的可積條件和性質(zhì).三重積分的概念與定積分、曲線積分以及二重積分都滲透著同一數(shù)學(xué)思想：分割、近似求和、取極限[1，2，3].其計(jì)算方法可歸納為：直角坐標(biāo)系法、柱面坐標(biāo)系法和球面坐標(biāo)系法.但是在三重積分具體的計(jì)算過(guò)程中，還是需要有很強(qiáng)的幾何直觀能力和靈活應(yīng)變能力，以便于合理地將積分體表示出來(lái)以及正確寫出積分表達(dá)式.由于三重積分的計(jì)算方法比較靈活，所以在教學(xué)中存在一些突出的問(wèn)題：學(xué)生反映不能正確把握計(jì)算方法；在直角坐標(biāo)系中，“先一后二”和“先二后一”理解不透徹；在運(yùn)用柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系變換的時(shí)候不能正確寫出變量的范圍.為什么會(huì)出現(xiàn)這一系列的問(wèn)題呢？筆者認(rèn)為這不僅與學(xué)生吸收知識(shí)的局限性有關(guān)，而且與教師在教學(xué)中如何合理地安排教學(xué)，如何正確地引導(dǎo)也是至關(guān)重要的.在本文中，以三重積分的教學(xué)為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合本節(jié)內(nèi)容的重、難點(diǎn)和學(xué)生存在的問(wèn)題，針對(duì)三重積分教學(xué)中的一些問(wèn)題做以下的思考和探討.

一、教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟三重積分的思想

微積分學(xué)的發(fā)展，是古往今來(lái)諸多數(shù)學(xué)家智慧的成果.從古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯的“窮竭法”到阿基米德的“平衡法”，都可以看成是微積分學(xué)的起源.后來(lái)在牛頓、萊布尼茲和柯西等人的工作中，積分的概念迅速發(fā)展起來(lái)，十九世紀(jì)黎曼比較完整地揭示了定積分的實(shí)質(zhì).隨著科學(xué)的發(fā)展，二重積分和三重積分是在為了解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中所產(chǎn)生的，三重積分在物理和自然科學(xué)的其他領(lǐng)域也有著非常重要的作用.

在教學(xué)過(guò)程中，注重引導(dǎo)學(xué)生如何去理解三重積分的思想，以一些實(shí)際應(yīng)用的例子作為鋪墊.比如，積分學(xué)中利用“以直代曲”來(lái)計(jì)算不規(guī)則圖形的面積和體積；利用“以勻代變”來(lái)求物體的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等問(wèn)題.然而，三重積分概念的引入，與定積分和二重積分的思想類似，即應(yīng)用分割、近似求和、取極限的思想分析一個(gè)密度不均勻的空間立體的質(zhì)量，提取出物理意義，就可以得到三重積分的概念.通過(guò)一些實(shí)際問(wèn)題和具體的例子，提高學(xué)生對(duì)三重積分的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)興趣，從中更加深刻地理解三重積分的思想.要學(xué)好三重積分的知識(shí)點(diǎn)，必須是多想、多看、多練習(xí)、多問(wèn)為什么.業(yè)精于勤，行成于思.不僅要知其然也要知其所以然，這樣才能融會(huì)貫通、舉一反三、靈活應(yīng)用.

二、教學(xué)中講究教學(xué)方法，積極提倡興趣教學(xué)

三重積分的內(nèi)容非常豐富，應(yīng)用也相當(dāng)廣泛.積分學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)本來(lái)就很枯燥乏味，加之三重積分具有抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)更加提不起興趣.在教學(xué)中，為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師需要在教學(xué)內(nèi)容上稍加打磨修飾，聯(lián)系生活中的實(shí)際例子，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題使學(xué)生對(duì)三重積分有一定的感性認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題產(chǎn)生好感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，才能進(jìn)一步誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).為了在教學(xué)中能使教學(xué)變得簡(jiǎn)單化，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)加深學(xué)生的學(xué)習(xí)記憶，在講解三重積分直角坐標(biāo)系中的計(jì)算方法時(shí)，可將具體的解題方法形象化：（1）把“先一后二”比作“豎叉土豆絲”，主要是看投影區(qū)域，此時(shí)投影區(qū)域是確定的；（2）把“先二后一”比作“橫切土豆片”，主要是找截面，此時(shí)的截面是在動(dòng)的，將與截面垂直的坐標(biāo)變量看成常數(shù)[5].通過(guò)這樣形象的比喻，通俗易懂的教學(xué)方法來(lái)激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)產(chǎn)生好感，并且提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.從而，讓學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)無(wú)處不在，也就是實(shí)際生活的提升，并沒(méi)有想象中那么大的難度.

三、教學(xué)中重視思維提升，組織討論學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題

大多數(shù)學(xué)生在進(jìn)入大學(xué)之后都會(huì)有不同程度的迷茫，一時(shí)找不準(zhǔn)前進(jìn)的方向.身正為范，學(xué)高為師.教師就應(yīng)該思考如何去引導(dǎo)學(xué)生，做好他們?nèi)松缆飞系囊龑?dǎo)者.首先，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是有目標(biāo)性的.作為一名大學(xué)生，不能因?yàn)檫M(jìn)入大學(xué)而忘記高中階段學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，甚至忘記了自己當(dāng)前的本職任務(wù)還是學(xué)習(xí).大學(xué)沒(méi)有像中學(xué)一樣時(shí)刻有教師在監(jiān)督和管理，大學(xué)是大家一起學(xué)，學(xué)習(xí)眾多學(xué)科和方向的階段，也是為進(jìn)入社會(huì)而做好鋪墊的重要階段.大學(xué)一定要有一個(gè)明確的目標(biāo)，時(shí)刻問(wèn)問(wèn)自己“我來(lái)大學(xué)是為什么？畢業(yè)出校門能干什么？”這也是進(jìn)入大學(xué)要明確的最基本的問(wèn)題.其次，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是連續(xù)性的.大學(xué)生活目標(biāo)明確之后，接下來(lái)就得看自己的自制力和執(zhí)行力，還需要連續(xù)不斷地學(xué)習(xí)，因?yàn)殚g隔時(shí)間久了，學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)也會(huì)忘記，所以學(xué)習(xí)是日復(fù)一日的重復(fù)過(guò)程，溫故而知新，在不斷學(xué)習(xí)中創(chuàng)造出的新的成果.最后，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是有選擇性的.面對(duì)紛繁復(fù)雜的社會(huì)，社會(huì)的需要是多樣性的，那么就要求我們學(xué)習(xí)更多的知識(shí).因此，教師和學(xué)生們都應(yīng)該有選擇性地去學(xué)習(xí)，自己適合做什么，將來(lái)想做什么，在有目標(biāo)的前提下，更應(yīng)該有選擇性地去學(xué)習(xí)，做自己最想做的事情，做自己最適合做的事情.

現(xiàn)在的社會(huì)紛繁復(fù)雜，教師和學(xué)生受到環(huán)境影響的因素很多，所以在教學(xué)中很多問(wèn)題得不到及時(shí)有效的解決，一拖再拖，直至問(wèn)題的嚴(yán)重化.在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注重學(xué)生思維的提升，教師作為教學(xué)的引導(dǎo)者和實(shí)施者，主要是把好的數(shù)學(xué)思想傳達(dá)給學(xué)生，在課堂上應(yīng)該充分展示出數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系，從而提升學(xué)生的思維能力.用生動(dòng)有趣的實(shí)際案例激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣，用直觀形象的圖形和圖表幫助學(xué)生理解一些抽象的數(shù)學(xué)概念和理論知識(shí)，用熟悉易懂的知識(shí)引導(dǎo)出整體知識(shí)間的邏輯關(guān)系，以及講清楚每一個(gè)數(shù)學(xué)公式背景和用途，進(jìn)而幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體把握和局部理解.

三重積分的計(jì)算方法具有靈活性，根據(jù)不同的題設(shè)條件可以參考不同的解題技巧和方法，所以在教學(xué)中存在幾個(gè)典型的問(wèn)題：第一，大多數(shù)學(xué)生反映對(duì)于三重積分的計(jì)算方法不能正確把握，具體怎么入手還是很困惑的問(wèn)題；第二，在直角坐標(biāo)系中，“先一后二”比較好理解，但是對(duì)“先二后一”理解不夠透徹，搞不清楚這一方法細(xì)節(jié)中的深層含義；第三，在運(yùn)用柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系變換的時(shí)候不能正確寫出變量的范圍，或者對(duì)這些變量還沒(méi)有完全地理解其含義.因此，要完全弄清楚這些問(wèn)題對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)而言絕對(duì)是一個(gè)非常重要的事情，對(duì)學(xué)生思維能力的提升也有一定的幫助.但是由于上課時(shí)間的局限性，想要完完全全地搞清楚這一系列問(wèn)題的來(lái)龍去脈，僅依賴短短的課堂教學(xué)肯定是不夠的.因而，在課后還得組織學(xué)生們進(jìn)行交流討論，利用課外時(shí)間對(duì)三重積分中存在的一些問(wèn)題進(jìn)行分組討論、相互學(xué)習(xí)，然后總結(jié)問(wèn)題再統(tǒng)一進(jìn)行講解，各個(gè)擊破.通過(guò)分組交流討論的形式，學(xué)生對(duì)三重積分的知識(shí)點(diǎn)會(huì)有更深層次的了解，同時(shí)對(duì)大家思維能力的提升也是非常有益的.

四、結(jié) 語(yǔ)

呂傳漢教授在學(xué)科教學(xué)中提出“三教思想”，即“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”.教師在教學(xué)中要重視學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題；教學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)、內(nèi)涵和邏輯，指導(dǎo)學(xué)生獲得體驗(yàn)的方法，給學(xué)生搭建體驗(yàn)的平臺(tái)；教學(xué)生表述自己的思考，鍛煉學(xué)生的口頭表達(dá)能力.因此，在三重積分的教學(xué)過(guò)程中，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生如何去思考三重積分的本質(zhì)思想，帶著問(wèn)題進(jìn)行分析，歸納總結(jié)，得出結(jié)論.然后引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)做題，多去體驗(yàn)，歸納三重積分的方法技巧，舉一反三，靈活運(yùn)用，實(shí)質(zhì)性地掌握三重積分的思想.最后再教導(dǎo)學(xué)生如何將學(xué)到的知識(shí)表達(dá)出來(lái)，形成自己的語(yǔ)言，真正地消化知識(shí)點(diǎn)，使得教與學(xué)得到真正的有機(jī)結(jié)合.

【參考文獻(xiàn)】

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