Shrinking solitons上Ricci曲率的非負(fù)性*

張珠洪

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510631)

一個(gè)黎曼流形(M,g)被稱為gradient Ricci soliton(簡寫為GRS)，是指存在一個(gè)函數(shù)f和一個(gè)常數(shù)ρ，使得方程

Ric+▽2f=ρg

恒成立，其中Ric是流形的Ricci曲率張量，▽2f是勢函數(shù)f的Hessian。注意到，如果勢函數(shù)f是常數(shù)，那么GRS的方程將變成Ric=ρg。因此，GRS是Einstein流形的一個(gè)自然的推廣。如果ρ>0，ρ=0或ρ<0，我們分別稱之為shrinking，steady或expanding。Shrinking GRS對應(yīng)于Hamilton的Ricci flow方程的自相似解，在Ricci flow的奇點(diǎn)分析中起到了非常重要的作用[1]。所以，理解和分類shrinking GRS是Ricci flow的一個(gè)核心課題。

一些類型的shrinking GRS已經(jīng)被完全的分類，譬如3維情形[2]，局部共形平坦的高維情形[3-5]。近些年來，在這個(gè)課題上還有一些其他的進(jìn)展[6-9]。事實(shí)上，許多關(guān)于soliton的研究工作都有一個(gè)顯著的特征：soliton具有非負(fù)曲率。然而，不是所有的shrinking GRS都具有非負(fù)曲率[10-11]。盡管如此，在4 維的情形下，Munteanu-Wang[12]證明了4維有限數(shù)量曲率的非緊shrinking GRS上曲率算子是漸近非負(fù)的。

在本文中，我們主要研究shrinking GRS的曲率的非負(fù)性。在一個(gè)閉的shrinking GRS上，如果Weyl曲率滿足一個(gè)拼擠條件，我們將證明Ricci曲率一定是非負(fù)的。

其中，{Wijkl}是Weyl曲率張量，而Ricci曲率張量Ric定義為Rik=gjlRijkl，數(shù)量曲率R=gikRik。

為了展示我們的主要結(jié)論，我們還需要引入一個(gè)關(guān)于對稱矩陣的泛函，這個(gè)泛函可以刻畫矩陣的特征值的一個(gè)分布特征。

定義1 設(shè)S是一個(gè)n階對稱矩陣，則

現(xiàn)在，我們可以展示本文的主要結(jié)論。

(i) Ricci曲率一定是非負(fù)的；

(ii) 如果進(jìn)一步假設(shè)Ricci曲率是正的，那么它一定是平凡的，即是Einstein流形。

1 若干引理

設(shè)T是流形上的自共軛張量，h是光滑函數(shù)，那么，作用于T上的h-Laplacian是指

利用上述定義，我們可以陳述soliton上的一個(gè)基本方程[4]。

引理1 在一個(gè) GRS 上，

為了更直觀的揭示引理1中的元素Qij=RikjlRkl和|Rij|2，我們選擇切空間上的一組基底{ei}，使得 Ricci 曲率張量對角化

(Rij)=diag(λ1,λ2,…,λn)

并且滿足λ1≤λ2≤…≤λn。那么下述基本事實(shí)成立。

引理2

另一方面，利用黎曼如律張量的分解式，截面曲率

所以

證畢。

2 Ricci 曲率的非負(fù)性

現(xiàn)在我們可以來證明定理1了。

易由e1延拓得到Tp的一組單位正交基{ei}，使得每個(gè)ei都是Ricci曲率張量的特征向量，而且對應(yīng)的特征值滿足λ1=Ric(e1,e1)=κR≤λ2≤…≤λn。

另一方面，由極值原理，Δf(Ric-κRg)(e1,e1)≥0。從而根據(jù)引理1，

Q11-κ|Rij|2≤0

再利用引理2，可得

直接計(jì)算可知，

證畢。