一類含hysteresis的自控系統(tǒng)模型*

徐偉，孫濤

(1．南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇 南京 210016；2．南京審計大學會計學院，江蘇 南京211815)

很多自動控制系統(tǒng)都具有某種時滯(hysteresis)效應，例如自動恒溫系統(tǒng)中溫度由上升突然轉為下降(或由下降突然轉為上升)，自動控制的空調器通常都不能立刻同步做出反應，往往要滯后一段時間才從降溫狀態(tài)轉向增溫狀態(tài)(或反之)。由于時滯因素的非線性特點，函數(shù)的很多優(yōu)良性質遭到破壞，含有時滯的模型分析起來十分困難，所以在含時滯的自控系統(tǒng)建模中，人們通常都略去時滯因素[1-2]。這樣往往使得構造出來模型對反映系統(tǒng)的真實狀況過于粗略，設計出來的控制方案誤差較大。目前人們對時滯現(xiàn)象的特點認識還很膚淺，對于具時滯的微分方程，僅對某些特殊的方程在特殊條件下有弱解存在性結果，而解的唯一性穩(wěn)定性基本上還沒有結果。近年來隨著治理空氣污染日益受到人們的關注，各種空氣凈化器應運而生，凈化設備的凈化過程都具一定程度的時滯效應?？諝鈨艋饔址Q空氣清潔器，是指能夠吸附、分解或轉化各種空氣污染物(一般包括PM2.5、粉塵、花粉、異味、甲醛之類的裝修污染、細菌、過敏原等)，有效提高空氣清潔度的產(chǎn)品。空氣凈化器中有多種不同的技術和介質，使它能夠在不同條件下向用戶提供清潔和安全的空氣。常用的空氣凈化技術有：吸附技術、負(正)離子技術、催化技術、光觸媒技術、超結構光礦化技術、HEPA高效過濾技術、靜電集塵技術等；材料技術主要有：光觸媒、活性炭、合成纖維、HEAP高效材料、負離子發(fā)生器等?，F(xiàn)有的空氣凈化器多采用復合型，即同時采用了多種凈化技術和材料介質?？諝鈨艋髦饕譃榧矣?、商用、工業(yè)、樓宇。在霧霾易發(fā)的城市，空氣凈化器有望像電視、冰箱一樣在家庭中普及。生產(chǎn)過程中有大量粉塵或有毒氣體產(chǎn)生的建筑工地、工廠車間，如人造板生產(chǎn)車間，紡織廠車間，印刷車間等，空氣凈化器將成為重要的治污和改善工人工作環(huán)境的設備之一。特別是生產(chǎn)過程中有大量有害氣體需要凈化處理的大型企業(yè)，凈化設備的投入是一筆很大的費用，隨著全球經(jīng)濟不景氣和治理污染壓力的不斷加大，精打細算地減少生產(chǎn)成本是企業(yè)必須面對的一項長期任務。精確測算凈化效果是企業(yè)核算凈化成本、編制和選擇凈化投資方案必不可少的重要環(huán)節(jié)。由于凈化設備的hysteresis效應，使得精確的測算凈化的動態(tài)效果十分困難。所以長期以來，人們主要憑經(jīng)驗選擇空氣凈化設備，結果要么凈化效果達不到理想，要么投資過大。但在計算工具十分先進的今天，探討hysteresis效應的規(guī)律，利用計算機模擬凈化器的工作過程，跟蹤測算出凈化的動態(tài)效果已經(jīng)成為可能，根據(jù)凈化治污需要達到的目標，合理選擇功能匹配的凈化器和安排使用時間無疑是十分有意義的問題。

靜態(tài)地測定空氣凈化器平均凈化效果，不少學者討論過。如趙亢等[3]對6種空氣凈化器，提出了3種測試凈化效果的模式。2008年張琴等[4]，2015年宋靜等[5]分別關于空氣凈化器對甲醛、苯和氨氣的凈化效果的測試方法進行了研究。張言等[6]對空氣凈化器在室內環(huán)境中的空氣凈化效果進行了測試研究。厲龍等[7]提出空氣凈化器對凈化甲醛效果的測試方法。何錦強[8]對空氣凈化器凈化室內TVCO效率做出了實驗研究。2006年我國還發(fā)布了第一部《室內空氣凈化產(chǎn)品凈化效果測定方法》(QB/T2761-2006)，并于2006年12月1日正式實施。作為各種室內空氣凈化產(chǎn)品凈化效果測定的統(tǒng)一規(guī)范，為消費者選擇凈化器提供指導。2015年我國又發(fā)布了GB/T 18801—2015 空氣凈化器國家標[9]。國外學者也有類似研究[10-14]，但是到目前為止，國內外學者們提出的凈化效果測試方法和我國政府發(fā)布的凈化效果測試方法，都是指在室內沒有新的污染源產(chǎn)生條件下，空氣凈化器運行一段時間后，相對于凈化前空氣中污染物平均降低的程度，不能用于有新污染物不斷產(chǎn)生的生產(chǎn)工地和車間動態(tài)地跟蹤測試每個點污染物濃度。

本文以吸附式空氣凈化器實施工業(yè)減排為例，討論具有hysteresis的自控系統(tǒng)成本與效益的計算問題。首先根據(jù)空氣凈化系統(tǒng)的功能原理引進了一類時滯算子F及其伴隨算子G，通過一系列的分析，推算給出了算子F和算子G的若干重要性質，特別的得到了函數(shù)在算子F作用下保持關于時間變量的可導性。然后主要利用不動點定理證明了兩類含時滯項的微分方程整體古典解存在唯一性。使得動態(tài)地跟蹤分析空氣凈化過程中，凈化區(qū)域內每點污染物濃度成為可能。最后考慮了企業(yè)粉塵或VOCs(Volatile organic compounds揮發(fā)性有機物，根據(jù)美國國家環(huán)保署的定義，不包括CO,CO2，碳酸、碳酸鹽、金屬碳化物及碳酸鈣)等有害物凈化問題，擬在政府實施有害氣體排放管制背景下，通過對空氣凈化器功能的定量分析，根據(jù)凈化需要達到的目標，建立凈化器投資決策模型，為企業(yè)合理選用凈化設備提供參考。本文的不足在于未能得出函數(shù)在算子F作用下是否能保持對空間變量的可導性，因此對于時滯項關于空間變量可導的微分方程還有待進一步研究。

1 自控系統(tǒng)與hysteresis現(xiàn)象

以吸附式凈化器為例，并假設只吸附空氣中一種污染物。設在空間區(qū)域Ω內點(x,y,z)處，時刻t空氣中污染物的質量濃度為u(x,y,z,t)(單位：mg/m3)，空氣凈化器對污染物的吸附強度為v(x,y,z,t)=F(u(x,y,z,t))=F(u)(單位：mg ·m-3·s-1)，當然吸附強度與凈化器吸附能力、空氣中污染物的質量濃度u(x,y,z,t)以及點(x,y,z)到凈化器吸口的距離有關。再設空氣中污染物最大質量濃度為u*，最小質量濃度不妨記為0(指低于這個質量濃度，空氣凈化器就會自動停止吸附)，凈化器的最大吸附強度為v*，最小吸收強度為0，考慮的時間段為[0,T]。取函數(shù)集合

圖1 算子F映射規(guī)律示意圖Fig.1 Mapping law of operatorF

Hysteresis算子不只是不滿足線性那么簡單，主要麻煩在于F(u(t))的值不僅依賴u(t)的值，還依賴于u在時刻t前后的變化趨勢，從而含hysteresis的微分方程討論起來十分困難。所以對Hysteresis算子形態(tài)的討論還十分罕見，對含Hysteresis的微分方程古典解差不多還沒有結果。

2 算子F的嚴格定義和性質

圖2 算子F0映射標準化圖Fig.2 Mapping Normalized Graph of operatorF0

0<γ≤|g′(u)|,|h′(u)|≤δ,即過Σ上任意點沿軌線或基線的導數(shù)都介于γ和δ之間。凈化器靈敏度越高，點A與點B越向直線段AB靠攏，即時滯池Σ變得越狹窄，若凈化器靈敏度極高，整個時滯池Σ幾乎變成一條直線段。一般δ≤1,從而v*≤u*,N?M。

2.1 算子F0的定義和性質

由于算子F具有時滯效應，對一般連續(xù)函數(shù)直接定義F0不方便，我們首先只對分段函數(shù)定義F0。對任意u(t)∈M分段單調，定義初值

v(0)=F0(u(0))=

由F0初值定義，對任意u1(t),u2(t)∈M，顯然|v1(0)-v2(0)|≤δ|u1(0)-u2(0)|，根據(jù)引理1和引理2，若u1(t),u2(t)都分段單調，對于任意t0∈[0,T]，利用數(shù)學歸納法容易推得

對任意t0∈[0,T]

(1)

推論1 對任意u(t)∈M，均有

對任意[t1,t2]?[0,T]

(2)

事實上，令u1(t)=u(t)，當0≤t≤t1時，u2(t)=u(t)，當t1

|v1(t2)-v2(t2)|=|v(t2)-v(t1)|，

|u1(t)-u2(t)|=|u(t)-u(t1)|

推論2 對任意u(t)∈M，關于t絕對連續(xù)，則F(u)關于t也絕對連續(xù)。

2.2 算子F的定義和性質

(ii)設|(x1,y1,z1)-(x2,y2,z2)|<1,則

由推論1，

于是，得到

定理1結論成立。

3 算子F的伴隨算子G及其性質

G(u(x1,y1,z1,t1))=

G(u(x2,y2,z2,t1))=

通過一些基本計算可得

|G(u(x1,y1,z1,t1))-G(u(x2,y2,z2,t1))|≤

2|g′(u(x1,y1,z1,t1)-u1*)-

g′(u(x2,y2,z2,t1)-u1*)|+

注意到

|g′(u(x1,y1,z1,t1)-u1*)-

g′(u(x2,y2,z2,t1)-u1*)|≤

因此，若|(x1,y1,z1)-(x1,y1,z1)|≥1,則

若|(x1,y1,z1)-(x1,y1,z1)|<1,則

δ(|x1-x2|+|y1-y2|+|z1-z2|)/

|G(u(x2,y2,z2,t1)-G(x2,y2,z2,t2)|=

4 含hysteresis的微分方程

設某車間(或工地 )生產(chǎn)過程中每天有氣態(tài)污染物產(chǎn)生，為了防止污染擴散，車間(或工地)對外封閉，內部配置功率強大的凈化器。產(chǎn)生的氣態(tài)污染物密度函數(shù)為f(x,y,z,t), 0≤f≤u*,車間內空氣中污染物質量濃度為u(x,y,z,t),凈化器吸收的強度一般為F(u(x,y,z,t))相當于負源。u滿足如下反應擴散方程系統(tǒng)

(3)

(4)

(5)

(6)

其中β>0為常數(shù)，依賴于污染物的類型、凈化器的品質、有關物理量的計量單位等因素，ν為單位法向量。

下面僅對系統(tǒng)(4)-(6)解的存在唯一性給出證明，其方法可稍作調整用于證明系統(tǒng)(3)-(5)解的存在唯一性。由定理2，式(6)可變形為

(7)

再設方程(4)-(6)有兩個解u1,u2∈M∩E,則

[F(u1)-F(u2)]=0 in Ω×(0,T]

(8)

(9)

(10)

e-λt[F(u1)-F(u2)]in Ω×(0,T],

(11)

由Hopf引理(參見文獻[19 ])，U的正最大值，和負最小值都不可能在?Ω×[0,T]上達到。下面用反證法證明U≡0。設U的正最大值在點(x0,y0,z0,t0)∈Ω×(0,T]處達到，顯然(x0,y0,z0,t0)也是u1-u2在Ω×(0,t0]內的正最大值點。否則存在點(x1,y1,z1,t1)∈Ω×(0,t0]使

u1(x1,y1,z1,t1)-u2(x1,y1,z1,t1)>

u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)>0

(12)

但e-λt1≥e-λt0且

U(x0,y0,z0,t0)=

e-λt0[u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)]≥

e-λt1[u1(x1,y1,z1,t1)-u2(x1,y1,z1,t1)]=

U(x1,y1,z1,t1)

(13)

式(12)與式(13)不相容。

由式(11)，得

(1-εδ)λ[u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)]≤

λ[1-εG(u1)]·

[u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)]≤

-δ[u1(x0,y0,z0,t0)-u2(x0,y0,z0,t0)]+

從而

(14)

5 含hysteresis的系統(tǒng)運行成本與效益評價模型

仍然以空氣凈化為例，考慮企業(yè)生產(chǎn)過程中有某類VOCs氣體產(chǎn)生。這類VOCs氣體直接對外排放會污染環(huán)境，而且最終產(chǎn)品中往往還會含有少量不易除盡的氣態(tài)有毒物質，在今后的產(chǎn)品使用過程中，這些氣態(tài)有害物質將緩慢釋放，對人造成傷害。政府通常規(guī)定最終產(chǎn)品中這種氣態(tài)有毒物質含量的某種標準(如甲醛的E1標準，質量濃度小于等于1.5 mg/L)，保證產(chǎn)品不對用戶造成傷害。

5.1 有害物總排放量和最終產(chǎn)品中有毒物含量雙約束模型

假設1 政府對企業(yè)的生產(chǎn)實施雙約束，每年VOCs氣體總排放配額為H0(t)，產(chǎn)品中有毒氣態(tài)物質質量濃度限額為ω0(mg/L)?！肮に嚋p排”技術已經(jīng)用到最大限度，現(xiàn)在擬對VOCs氣體采用凈化處理，產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本為c0,正常售價為p0,年產(chǎn)量為Q0,固定生產(chǎn)成本為C0?？偱欧排漕~允許市場交易，交易價格為σ,產(chǎn)品中有毒氣態(tài)物質限額無法交易，但含量每低于ω一個單位，銷售價格可提高ρ能被消費者接受。

企業(yè)根據(jù)生產(chǎn)的工藝技術流程、生產(chǎn)設備的先進程度、每批計劃產(chǎn)量、產(chǎn)品預計達到的質量等因素，用電腦模擬出每個生產(chǎn)加工周期[0,T1]中產(chǎn)生VOCs源的密度函數(shù)f(x,y,z,t),測算出可能釋放到Ω內VOCs總量的理論值I0。

注1 為了便于對有害氣體的處理，通常都會把Ω限制在一個狹小的空間內，如人造板材去毒氣過程通常是把板材密封在罩子里加熱，在罩子周圍使用功能強大的凈化設備吸收毒氣。生產(chǎn)實際中Ω往往都是低矮扁平的，還可以把Ω近似地看成平面區(qū)域。

假設2 總結同類企業(yè)經(jīng)驗、根據(jù)企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模和邊際效應遞減規(guī)律，投資與凈化效果大致滿足下列微分方程

(15)

(16)

其中H表示每個生產(chǎn)批次凈化減排量，ω表示減少最終產(chǎn)品中含毒物質量濃度，s為凈化設備投資，0

σ[m(I0-c1sr1)-H0]-s-C0

(17)

s1-r2+mc1r1sr1-r2σ-c2r2ρQ0=0

(18)

σ[m(I0-c1sr1)-H0]-s-

5.2 工作場所有害物含量約束模型

(19)

(20)

(21)

由(21)-(23)算出唯一精確古典解w,再把u=e-0.9tw代入(3)-(5)檢驗，若誤差不大，就用方程(19)-(21)取代方程(3)-(5)作決策，計算難度減少很多。

同樣方程(6)轉化為

(22)

由(22)-(24)也能算出唯一精確古典解w。

6 結 語