三類Liénard系統(tǒng)極限環(huán)的下界*

熊峰 ，黃文韜

(1．上海財經(jīng)大學(xué)信息管理與工程學(xué)院，上海 200433；2. 桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部，廣西 桂林 541004)

Liénard方程是微分方程中一類經(jīng)典的方程。許多多項式系統(tǒng)可通過適當變換轉(zhuǎn)變?yōu)長iénard方程的形式[1-2]。從而可利用Liénard系統(tǒng)的相關(guān)結(jié)果來分析，因此，對Liénard方程的研究具有重要的意義。

Liénard方程一般式為

(1)

與其等價的一階微分方程組形式如下

(2)

表1 Liénard方程的值[8]Table 1 Values of the Liénard equation [8]

☆：本文研究的內(nèi)容；→：取值的遞增趨勢。

1 基本定義及引理

考慮一類實多項式系統(tǒng)

(3)

其中Xk(x,y),Yk(x,y)是關(guān)于x、y的k次齊次多項式。系統(tǒng)(3)通過如下復(fù)變換，

z=x+yi,w=x-yi,

(4)

可得其伴隨復(fù)系統(tǒng)

(5)

其中z,w,T,aαβ,bαβ都是復(fù)變量且系數(shù)aαβ與bαβ滿足共軛關(guān)系，即

引理1[9]對于系統(tǒng)(5)， 我們能夠逐項確定形式級數(shù)

(6)

使得

(7)

其中，c00=1，當α<0，或β<0，或α=β>0時，cαβ=0，其他情況的cαβ由遞推公式

(8)

給出。對任意正整數(shù)m，μm由遞推公式

(9)

給出，其中μm稱為系統(tǒng)(5)的第m個奇點量。

定義1[10]對系統(tǒng)(5)而言，如果μ1=μ2=…=μk-1=0,μk≠0，則稱原點為系統(tǒng)的k階細奇點。

由文[10]知，系統(tǒng)(3)的首個非零焦點量ν2m+1(2π)與其伴隨復(fù)系統(tǒng)的首個非零奇點量μm滿足

ν2m+1(2π)=iπμm

(10)

因此，系統(tǒng)(3)焦點量的計算可以化為系統(tǒng)(5)奇點量的計算。

2 一類Liénard方程(m=9,n=7)的極限環(huán)

2.1 伴隨復(fù)系統(tǒng)的奇點量

考慮如下一類Liénard方程：

(11)

其中a3,a4,a5,a6,a7,a8,b3,b5,b6∈R。通過變換(4)，系統(tǒng)(11)轉(zhuǎn)化為其伴隨復(fù)系統(tǒng)：

(12)

由引理1的遞推公式，用Mathematica軟件進行計算，得到系統(tǒng)(12)原點的前10階奇點量。

定理1 系統(tǒng)(12)原點的前10階奇點量如下：

其中計算μk時已置μ1=μ2=…=μk-1=0,k=2,3,…,9。

2.2 中心存在性與極限環(huán)分支

根據(jù)前一節(jié)的計算和分析，我們接著討論系統(tǒng)的中心問題與極限環(huán)分支問題。由定理1有

定理2 對于系統(tǒng)(11)或者(12)，原點既不是系統(tǒng)(11)也不是系統(tǒng)(12)的中心。

證明若原點是系統(tǒng)(12)的中心，則有μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ6=μ7=μ8=μ9=μ10=0成立。由μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ6=0，有

又μ7=μ8=μ9=μ10=0，即求解方程組F2=F3=F4=F5=F6=0是否存在公共解。因為Fj(j=2,…,6)僅含有4個獨立變量，a4、b3、b5和b6，所以我們首先求解方程組F2=F3=F4=F5=0的實數(shù)解，然后將滿足方程組的實數(shù)解代入F6，并驗證其是否為零，若為零，則系統(tǒng)(11)或(12)的原點為中心，反之，定理得證。經(jīng)仔細計算，方程組Fj(j=2,3,4,5,6)存在3組實數(shù)解，將這3組實近似解(精確到小數(shù)點20位)代入F6表達式中，均得出F6≠0，即μj=0(j=1,2,…,9),μ10≠0。這個結(jié)論也可用Gr?bner來說明，由計算機代數(shù)軟件Mathematica計算理想[μ1,μ2,μ3,μ4,μ5,μ6,μ7,μ8,μ9]的Gr?bner基，得到

GroebnerBasis[{μ1,μ2,μ3,μ4,μ5,μ6,μ7,μ8,μ9,μ10},

{a3,a4,a5,a6,a7,a8,b3,b5,b6}]={1}

這就說明方程組μ1=0,μ2=0,…,μ10=0沒有公共實根。

因此，原點既不是系統(tǒng)(12)的中心，相應(yīng)地，也不是系統(tǒng)(11)的中心。

由定理2的證明，我們有

定理3 對于系統(tǒng)(11)，原點為細焦點的最高階數(shù)是10，并且原點為系統(tǒng)(11)的10階細焦點(系統(tǒng)(12)的10階細奇點)當且僅當

Fj=0 (j=1,…,5)

(13)

為了便于應(yīng)用，從定理2的證明中取滿足條件(13)的一組實數(shù)解

a4= 19.357 334 947 696 801 244,

b3= 2.197 337 880 236 531 145 5,

b5=-0.851 084 727 246 997 987 2,

b6= 3.770 104 155 316 207 683 2

(14)

在證明系統(tǒng)(11)極限環(huán)存在性之前，由文 [12]的定理2有

引理2[12]對系統(tǒng)(3)，其伴隨復(fù)系統(tǒng)在原點處的奇點量μi(i=1,2,…)有k個線性無關(guān)的參數(shù)θ=(θ1,θ2…,θk)，當θ=θk時，原點為系統(tǒng)(5)的k階細奇點(相應(yīng)地系統(tǒng)(3)的k階細焦點)，且雅克比行列式滿足

(15)

則系統(tǒng)(3)在原點的充分小鄰域內(nèi)可擾動出k個小振幅極限環(huán)。

下面我們給出這節(jié)的主要結(jié)論

定理4 對于系統(tǒng)(11)來說，當系數(shù)滿足式(13)時，通過適當?shù)奈_，系統(tǒng)在原點充分小的鄰域內(nèi)可分支出10小振幅極限環(huán)。

證明由定理3知，當條件(13)成立時，原點是系統(tǒng)(12)的10階細奇點(系統(tǒng)(11)的10階細焦點)。通過計算如下的雅克比行列式可得

≈0.314 411 474 338 970 058 837 456

114 802 019 923 751 699 037i

≠0

由引理2 知系統(tǒng)(11)在原點的充分小鄰域可分支出10個極限環(huán)。

3 一類Liénard方程(m=8,n=7)

的極限環(huán)

考慮如下一類Liénard方程：

(16)

其中a3,a4,a5,a6,a7,b3,b5,b6∈R。與上一節(jié)的討論類似，由引理1的遞推公式，我們計算得到系統(tǒng)(16)的伴隨復(fù)系統(tǒng)原點的前9階奇點量

其中

F1=35-42a6+28a4b3-20a4b6,

F2=-392+245b3+196a4b5-

F3= 196a4+ 175b5-200b6,

F4= 49 049 + 8 330b3b5-

F5= -3 878 448 + 1 027 530b3-

415 669 009b5+ 79 539 600b6+

定理5 對于系統(tǒng)(16)或者它伴隨復(fù)系統(tǒng)來說，原點不是系統(tǒng)的中心，系統(tǒng)(16)原點為細焦點的最高階數(shù)是9。

證明與定理2的證明類似，經(jīng)求解方程組μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ6=μ7=μ8=0，可以得到該方程組的兩組實數(shù)解，把每一組實根代入μ9表達式中均得到μ9≠0,即μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ6=μ7=μ8=μ9=0不成立，故原點不是系統(tǒng)(16)的中心。由于方程組μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ6=μ7=μ8=0

存在實數(shù)解且這些實數(shù)解不滿足μ9=0，這說明系統(tǒng)(16)原點為細焦點的最高階數(shù)是9。

為了方便應(yīng)用，我們列出滿足方程組μ1=μ2=μ3=μ4=μ5=μ6=μ7=μ8=0的其中一組解

a3=0,

a4=2.505 136 670 577 324 215 529

487 258 943 623 802 995 196 181 84,

a6=4.338 235 294 117 647 058 823 529 411 764

705 882 352 941 176 471,

a5=0,

a7=2.004 109 336 461 859 372 423 589

807 154 899 042 396 156 945 472,

b3=-3.029 329 095 027 754 987 049 753 689 561

914 281 085 085 280 421,

b5=-11.010 486 326 684 476 051 279 386 309

478 163 334 304 471 362 4,

b6=-7.179 141 598 683 138 813 650 565 507 028

641 590 581 120 183 896

(17)

與上節(jié)討論類似，經(jīng)計算得到

≈0.019 980 299 989 610 697 391 439

548 663 761 472 146 146 285 25i

≠0

那么，我們可以得到

4 一類Liénard方程(m=7,n=8)

的極限環(huán)

考慮如下一類Liénard方程：

(18)

其中a2,a3,a4,a5,a6,b3,b5,b6∈R。

由引理1的遞推公式，并通過計算，我們可以得到系統(tǒng)(19)伴隨復(fù)系統(tǒng)原點的前9階奇點量。

定理7 對于系統(tǒng)(18)的伴隨復(fù)系統(tǒng)原點前9階奇點量如下：

μ4=

i(490a2+ 2646a6-2205b3-882a2b5+

其中

F1= -33 271 + 6 174a2-3 430a2b3+

15 435b5+ 4 900a2b6-11 025b3b6-

F2= 27 783 + 2 450a2-11 025b3-

4 410a2b5-14 805b6-2 268a2b6+

F3= -39 991-5 950a2+ 3 570a2b5+

18 360b6+ 1 836a2b6

4 185 138 132b6+ 211 951 971 000a2b6+

F5= 27 312 518 314 948 419 +

4 364 166 372 961 248a2+

23 890 340 539 800b3-

1 456 897 687 875 000a2b3-

34 890 558 192 000b5-

1 254 074 736 163 2840b6-

1 158 914 850 102 594a2b6-

10 238 717 374 200b5b6+

定理8 對于系統(tǒng)(18)，原點不是系統(tǒng)中心。

證明利用計算機代數(shù)軟件Mathematica可計算理想[μ1,μ2,μ3,μ4,μ5,μ6,μ7,μ8]的Gr?bner基，經(jīng)計算有

GroebnerBasis[{μ1,μ2,μ3,μ4,μ5,μ6,μ7,μ8,μ9}

{a2,a3,a4,a5,a6,b3,b5,b6}]={1}

從而得到方程組μ1=0,μ2=0,…,μ9=0沒有公共實根，即μ1,μ2,μ3,…，μ9不可能同時為0。

因此原點不是系統(tǒng)(18)的中心，相應(yīng)地，也不是其伴隨復(fù)系統(tǒng)的中心。

由定理8及其證明過程，有

定理9 系統(tǒng)(18)原點成為細焦點(其伴隨復(fù)系統(tǒng)原點的最高階細奇點)的最高階數(shù)是9，且系統(tǒng)(18)原點是9階細焦點(其伴隨復(fù)系統(tǒng)原點是9階細奇點)當且僅當下列條件成立

490a2+ 2646a6-2 205b3-882a2b5+

Fj= 0,(j= 1,2,3,4)

(19)

同樣，我們?nèi)M足條件(19)的一組實近似解

a2=-81.432 996 679 011 493 893

475 288 856 750 791 764 998 304 380 62,

a3=0,

a4=-86.385 261 993 928 019 814 143

108 603 282 946 233 527 880 282 13,

a5=-32.573 198 671 604 597 557

390 115 542 700 316 705 999 321 752 248,

a6=9.944 522 844 463 895 178 373

749 713 016 379 278 370 120 643 467,

b3=2.609 896 880 706 486 009

523 895 483 236 786 943 931 106 542 814 7,

b5=1.240 113 171 962 005 605

683 194 812 100 897 603 723 212 727 111 4,

b6=0.640 596 345 108 271 448 288

583 043 911 072 911 480 884 214 849 7

(20)

為證明極限環(huán)的存在性，需計算如下行列式

若J≠0，則系統(tǒng)(18)在適當?shù)臄_動下在原點鄰域能夠產(chǎn)生9個極限環(huán)。

經(jīng)計算

J≈1.217 128 561 716 344 016

685 096 492 253 207 367 460 16i≠0

那么，由引理2有