轉(zhuǎn)換問題視角 有效培育“四能”
——以微專題“一個三角形面積問題的激活與串講”為例

吳 鍔

(蘇州市教育科學(xué)研究院215004 )

伴隨《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》的發(fā)布，培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”成為教育教學(xué)改革的行動綱領(lǐng)和終極目標(biāo)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)明確定義為：具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析被確認(rèn)為高中學(xué)生的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)教育從關(guān)注“基礎(chǔ)知識”、“基本技能”和“基本思想方法”的“三基”，已經(jīng)走向了 “四基”，我們開始重視學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“基本活動經(jīng)驗(yàn)積累”；從關(guān)注提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“分析問題和解決問題能力”的“兩能”，我們開始重視培養(yǎng)學(xué)生具有“發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力”的“四能”，這無疑是一項(xiàng)革命性的進(jìn)步．

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何通過重構(gòu)課程內(nèi)容與形態(tài)進(jìn)而有效落實(shí)，在平時(shí)的課堂教學(xué)中生根開花，是廣大數(shù)學(xué)教師們關(guān)注的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題．為此我們面向多所學(xué)校進(jìn)行了有益的探索，下面是筆者所執(zhí)教的一節(jié)高三數(shù)學(xué)微專題研究課“一個三角形面積問題的激活與串講”的實(shí)錄與反思，以期為同仁提供借鑒和幫助．

1 背景與意圖

1.1 授課對象

本課授課對象為重點(diǎn)高中高三理科班，學(xué)生基礎(chǔ)好，有較強(qiáng)的自學(xué)能力、推理能力及運(yùn)算能力．本課曾是2017年蘇州市對口貴州銅仁市支教示范課、江蘇省蘇州中學(xué)2017年對外公開展示活動示范課．

1.2 設(shè)計(jì)意圖

本課是高三二輪復(fù)習(xí)課，以微專題的形式設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，其設(shè)計(jì)的核心理念是“聯(lián)想·激活·串講”，本課從不同的視角去審視與探究如何解決一個三角形面積最大值的問題，著力培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析，抽象概括，轉(zhuǎn)化化歸，拓展延伸，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論與新方法的能力，并能利用三角形的有關(guān)性質(zhì)優(yōu)化解題過程．通過方法串講，達(dá)到激活思想，有效培育“四能”，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的．

2 實(shí)錄與啟示

2.1 提出數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)數(shù)學(xué)探究

師：同學(xué)們，本節(jié)課我們就下面的三角形面積問題展開討論，希望大家仔細(xì)審題，開動腦筋，積極思考，從不同的視角去觀察與分析問題，尋求解決問題的方法．(投影數(shù)學(xué)問題)

問題已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，D是AC的中點(diǎn)，且BD=3，求△ABC面積的最大值．

學(xué)生開始思考與互動討論．

教學(xué)啟示在落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)過程中，無論是教學(xué)設(shè)計(jì)還是課堂教學(xué)，學(xué)生始終是主體，只有充分調(diào)動學(xué)生積極參與，尤其是學(xué)生思維的參與，方能得到有效落實(shí)．教學(xué)中提出富有思考與探究價(jià)值的數(shù)學(xué)問題供學(xué)生研究與討論，學(xué)生結(jié)合自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動經(jīng)驗(yàn)積累，獲得解決問題的思路與方法，通過互動交流，思維碰撞，開拓視野，有利于學(xué)生“四能”的發(fā)展．

2.2 突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，開拓解題視野

師：與三角形邊角有關(guān)的問題，我們總是會聯(lián)想到正余弦定理，在問題所給的圖中，我們抓住其中某個三角形建立邊角的聯(lián)系，都能解決△ABC面積最大值的的問題．同學(xué)們有哪些想法呢？

生1：在△ABD中，設(shè)∠BAD=θ，AB=2x，則AD=x，由余弦定理可得：5x2-4x2cosθ=9，消去θ即得

學(xué)生互動討論，結(jié)合三角形的性質(zhì)，很容易得出x的取值范圍為1

師：生1的解法，在消去θ過程中，運(yùn)算量是很大的．利用關(guān)系式“5x2-4x2cosθ=9”，能否有其它想法呢？

學(xué)生繼續(xù)互動討論……

生4：運(yùn)用輔助角公式，轉(zhuǎn)化為兩角和與差的正弦來確定函數(shù)的最大值，即sinθ+4ycosθ=5y，

師：同學(xué)們運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想，聯(lián)想學(xué)過的知識與方法，有效解決了這一問題．其本質(zhì)是抓住了對關(guān)系式“5x2-4x2cosθ=9”的研究視角，消元減參(利用等式消去x或θ)，即選擇什么樣的參數(shù)就會得到什么樣的解法，這是不同學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)．

教學(xué)啟示著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞有句名言：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問題，探索問題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．作為教師，就是要在學(xué)生迷茫的時(shí)候幫他們擦亮眼睛，給予有效的引導(dǎo)，進(jìn)行從知識本質(zhì)到問題本質(zhì)的探尋，這是數(shù)學(xué)思維的核心，是理解知識、發(fā)現(xiàn)問題、理解問題和解決問題的關(guān)鍵所在．如以上的探索過程，就是教師引導(dǎo)學(xué)生從不同視角去關(guān)注關(guān)系式“5x2-4x2cosθ=9”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過構(gòu)建△ABC面積的不同函數(shù)模型，再借助學(xué)生已有的基本活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，激活了知識與方法，點(diǎn)燃了數(shù)學(xué)思維的火花．

師：前面我們的探索，相對來說更多的關(guān)注了“數(shù)”(二元關(guān)系式)，由于我們研究的三角形是等腰三角形，能否從“形”的視角重新觀察和審視我們所研究的問題？

學(xué)生繼續(xù)互動討論……

生7：由于△ABC是等腰三角形，我考慮通過建立平面直角坐標(biāo)系的方法來研究，以下是我的解法．

投影學(xué)生的解法如下：

生8：在生7研究的基礎(chǔ)上，我改進(jìn)了解法，可以利用基本不等式來解決．我的解法是：

生9：老師，我也是建系處理的，但我認(rèn)為我的坐標(biāo)系位置確定的更好．我的解法是：

同學(xué)們?yōu)榇它c(diǎn)贊！

師：這位同學(xué)的解法彰顯了數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)的理性精神，聯(lián)想到了課本中經(jīng)典的阿波羅尼斯圓，發(fā)現(xiàn)了“隱形圓”，運(yùn)用軌跡的思想使解法進(jìn)一步得到了優(yōu)化．

教室里出現(xiàn)長時(shí)間的掌聲，同學(xué)們?yōu)橹d奮，為這一創(chuàng)造性的解答喝彩，同時(shí)也感悟到了數(shù)學(xué)的樂趣和魅力！

師：這位同學(xué)的解法源于他的觀察和思考，發(fā)現(xiàn)“y2+z2=4”是聯(lián)想運(yùn)用基本不等式模型來解決問題的關(guān)鍵，正是由于發(fā)現(xiàn)了此規(guī)律，才產(chǎn)生了這一創(chuàng)造性的解法．

教學(xué)啟示發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的教學(xué)是“四能”全面發(fā)展的必要條件，也是創(chuàng)新意識和科學(xué)精神的重要表現(xiàn)．G.波利亞說過：“觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，觀察將揭示某種規(guī)律、模式或定律．”教師在教學(xué)中要充分發(fā)揮引領(lǐng)作用，如在以上的探索中，教師更多的關(guān)注“形”對解決問題的影響，引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線AE，有意識的讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)O為△ABC的重心，由此產(chǎn)生建系的想法，發(fā)現(xiàn)AB=2AD，聯(lián)想到這里有一個隱形的阿波羅尼斯圓；與此同時(shí)還發(fā)現(xiàn)△OBE是直角三角形，于是得到y(tǒng)2+z2=4，產(chǎn)生了運(yùn)用基本不等式的方法，讓學(xué)生感悟到了數(shù)學(xué)運(yùn)算中化繁為簡的魅力．這些思路在教師的引導(dǎo)下有序展開，讓學(xué)生逐漸從淺層次的數(shù)學(xué)思考走向深層次的數(shù)學(xué)思維活動，這種從不同視角去觀察與審視問題、思考與解決問題的探究方法有助于學(xué)生“四能”的發(fā)展以及對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有良好的促進(jìn)作用．

2.3 聯(lián)想促進(jìn)溝通，串講激活思維

師：觀察客觀事物，必須從不同角度、不同的方位審視它才能認(rèn)識事物的本質(zhì)，解決數(shù)學(xué)問題也是如此．本課所研究的問題解決，從形態(tài)上來說是一題多解，其實(shí)質(zhì)是從不同角度去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的一個過程，不同的視角，產(chǎn)生了不同的解題效果．整個研究過程可以用下列思維導(dǎo)圖加以總結(jié)．

教學(xué)啟示數(shù)學(xué)問題往往具有復(fù)雜性、多變性的特點(diǎn)，許多數(shù)學(xué)問題可謂“橫看成嶺側(cè)成峰”，一個數(shù)學(xué)問題，有時(shí)看起來困難重重，無從下手，如果能變換一個角度審視它卻能一目了然．回顧以上探究問題解決的全過程，教師恰到好處地引導(dǎo)學(xué)生從不同視角去探索解決問題的方法，使得數(shù)學(xué)的問題背景得以彰顯，數(shù)學(xué)知識得以相互聯(lián)系，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想不斷地深入人心．聯(lián)想促進(jìn)了知識的溝通，串講激活了學(xué)生的思維，數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng)，拓展了學(xué)生的解題視野，提升了學(xué)生的核心素養(yǎng)．

3 感悟與反思

3.1 轉(zhuǎn)換問題視角的教學(xué)感悟

現(xiàn)代研究表明，知識以問題為載體，知識是教與學(xué)之間的媒體，問題是數(shù)學(xué)的心臟，一切思維都是從問題開始的．在教學(xué)中教師需要精心設(shè)計(jì)具有研究價(jià)值的問題供學(xué)生參與研究，但在很多時(shí)候，當(dāng)教師把問題拋給學(xué)生的時(shí)候，往往收不到積極回應(yīng)，很可能問題超出了學(xué)生的認(rèn)知水平．此時(shí)教師應(yīng)搭建研究平臺，放手讓學(xué)生展開討論，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角去觀察和分析，降低問題的認(rèn)知難度，創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生拾級而上，從中發(fā)現(xiàn)新問題，提出新思考．這顯然有益于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，有助于對問題的解決．如本課的研究也是從低層次思考到更高層次思維的一個過程，由于本課學(xué)習(xí)的對象是高三學(xué)生，他們已經(jīng)初步掌握了高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，積累了一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，采用微專題的形式對問題展開深度討論，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力提升具有良好的示范效應(yīng)．本課的研究主要分為兩條線索，一是以“數(shù)”為主，通過余弦定理得到關(guān)系式5x2-4x2cosθ=9，由此發(fā)現(xiàn)解決面積問題的兩種方案；二是以“形”為主，從AB=2AD發(fā)現(xiàn)隱形的阿波羅尼斯圓，從y2+z2=4構(gòu)建基本不等式模型．研究問題的過程彰顯了數(shù)與形的完美結(jié)合，不同的視角轉(zhuǎn)化為不同的模型，轉(zhuǎn)化與化歸的思想貫穿于始終，把看似不相關(guān)的內(nèi)容，通過知識聯(lián)想，方法串講有機(jī)結(jié)合在一起，充分激活了數(shù)學(xué)思想，有效培育了數(shù)學(xué)的理性精神和創(chuàng)新意識．本課問題的解決，看似一題多解，實(shí)為提升學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的思維大餐．高三教學(xué)中引入微專題的深度教學(xué)，對提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)具有革命性的意義．

英國著名課程理論家勞倫斯·斯滕豪斯認(rèn)為：知識的重要特點(diǎn)在于它構(gòu)成了人們進(jìn)行思維的原料，教學(xué)是通過作為思維系統(tǒng)的知識來增進(jìn)人的自由、發(fā)掘人的創(chuàng)造力的．?dāng)?shù)學(xué)教育的目的是通過最大限度激發(fā)人的思維能力，挖掘人的潛能，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界以及用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界．

3.2 轉(zhuǎn)換問題視角的教學(xué)價(jià)值

轉(zhuǎn)換視角研究問題，是通過學(xué)生參與解決數(shù)學(xué)問題的全過程，培養(yǎng)學(xué)生研究問題的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法，是把解決問題的過程視為不斷發(fā)現(xiàn)新問題、提出新問題的一個數(shù)學(xué)思維過程，在這個過程中教師播種了培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”的行為．印度著名哲學(xué)家菩德曼說：“播種言行，收獲行為；播種行為，收獲習(xí)慣；播種習(xí)慣，收獲性格；播種性格，收獲命運(yùn)．”如何讓學(xué)生收獲“有更多的問題視角，能提出更好的問題”？ 實(shí)踐證明：教師在課堂教學(xué)中有效創(chuàng)設(shè)問題情境，堅(jiān)持有意識地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，多留給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的機(jī)會，多留給學(xué)生表達(dá)自己的想法和見解的時(shí)間和空間，善于示范引導(dǎo)，長期地加以方法指導(dǎo)，耐心地鼓勵，學(xué)生問題意識加強(qiáng)了，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力就會得到提升．學(xué)生通過長期的訓(xùn)練，擁有了更多的問題視角，突破思維定勢，從容自如地應(yīng)對各種新問題，成為一個善于思考、獨(dú)具個性的學(xué)習(xí)者，而不是知識的容器，這就是教育成功的最大收獲，也是轉(zhuǎn)換問題視角的教育價(jià)值所在．

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)問題解決如何靈活自如、不失時(shí)機(jī)地調(diào)整視角，不但可以曲徑通幽，使“難”題不難，而且能獨(dú)辟蹊徑，達(dá)奇思妙解之效果．對同一數(shù)學(xué)表達(dá)用不同的“眼光”去觀察，用不同的觀點(diǎn)去分析，從不同的角度理解它，聯(lián)想它在不同背景中的含義，就能迅速找到解決問題的“入口”，得到各種解法．因此尋找恰當(dāng)?shù)囊暯?，可以使?shù)學(xué)問題潛在的價(jià)值得以更充分的發(fā)掘，數(shù)學(xué)解題的視野由此而變得越來越開闊．同時(shí)我們深深地感受到，對數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的深度和數(shù)學(xué)思想掌握的高度是開闊數(shù)學(xué)解題眼界和視野的基石，其中等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決問題的靈魂，只有站在數(shù)學(xué)思想鑄就的平臺上，才能發(fā)現(xiàn)更多的視角與視點(diǎn)，真正實(shí)現(xiàn)“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的意境，達(dá)到有效培育“四能”，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.