高考中三角函數(shù)內(nèi)容考查研究①

陳 昂 任子朝 趙 軒

(教育部考試中心 100084)

1 三角函數(shù)的地位和作用

三角函數(shù)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容、也是重要內(nèi)容之一. 歷年來(lái)在數(shù)學(xué)科高考中都占有重要地位. 張景中院士指出：“在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，三角函數(shù)的內(nèi)容至關(guān)重要. 三角函數(shù)不僅是連接幾何與代數(shù)的一座橋梁，還是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道.”[1]三角函數(shù)除了具有一般函數(shù)的性質(zhì)外，還呈現(xiàn)出與其他基本初等函數(shù)不一樣的特征，例如具有其獨(dú)特的周期性和對(duì)稱性，并且與向量、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)有較為緊密的聯(lián)系. 更進(jìn)一步，三角函數(shù)知識(shí)具有豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用價(jià)值，在其它學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，例如地理學(xué)、力學(xué)、電磁學(xué)等. 正是因?yàn)槿呛瘮?shù)內(nèi)容具有這么豐富的特征，因此在高考中考查體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，綜合性和應(yīng)用性的特征.

2 三角函數(shù)在高考中的考查特點(diǎn)

根據(jù)《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明》對(duì)三角函數(shù)部分的要求，這部分的內(nèi)容分為13個(gè)知識(shí)考點(diǎn)，對(duì)每個(gè)知識(shí)考點(diǎn)分別給出知識(shí)要求層次(以理科數(shù)學(xué)為例，見(jiàn)表1).

表1 數(shù)學(xué)(理科)知識(shí)考點(diǎn)及其考核要求

課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來(lái)，高考對(duì)三角函數(shù)的考查呈現(xiàn)出新的特點(diǎn). 一是因?yàn)榻陙?lái)課標(biāo)中新增內(nèi)容比較多，三角部分內(nèi)容總體的題量有所控制，在解答題中，與數(shù)列內(nèi)容交替 ，一般是一大兩小，難度控制中等，在不出解答題的年份，是三道小題，但難度沒(méi)有下降，保持在中等難度. 二是對(duì)三角函數(shù)的考查突出基礎(chǔ)，體現(xiàn)綜合，對(duì)恒等變形的要求和過(guò)去比有所下降，更多強(qiáng)調(diào)對(duì)公式的靈活運(yùn)用.

數(shù)學(xué)科高考對(duì)三角函數(shù)的考查主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：1. 利用數(shù)形結(jié)合考查，通過(guò)圖形分析、研究、總結(jié)三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像特點(diǎn)；2. 利用三角公式考查，創(chuàng)設(shè)試題情境，靈活運(yùn)用公式，解決問(wèn)題；3．利用真實(shí)情境考查，考查解三角形內(nèi)容，體現(xiàn)三角函數(shù)的工具性作用；4. 體現(xiàn)思維深度，考查創(chuàng)新意識(shí).

2.1 利用數(shù)形結(jié)合考查

三角函數(shù)的基本特征之一就是具有很強(qiáng)的幾何特點(diǎn)，這是與其他基本初等函數(shù)不一樣的地方，高中課本中的三角函數(shù)是以單位圓的定義形式給出的. 利用圖形解釋、理解知識(shí)，能更好的幫助學(xué)生理解比較抽象的概念，形成直觀印象. 因此，在對(duì)三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行考查時(shí)，可以充分利用數(shù)形結(jié)合的思想命制試題.

例1如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M. 將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y=f(x)在[0,π]的圖像大致為( ).

A

B

C

D

考生在初中的時(shí)候?qū)W習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，而高中階段的知識(shí)難度和抽象程度更大. 本題的背景正是借助單位圓給出了三角函數(shù)的自然語(yǔ)言表征與三角函數(shù)的圖像表征，即“點(diǎn)M到直線OP的距離”與四個(gè)圖像的選項(xiàng). 考生要建立這兩者的關(guān)聯(lián)，考生可以選擇以三角函數(shù)的解析式表征為橋梁，也可以選擇三角函數(shù)的列表法表征(即尋找特殊值)定性地建立三角函數(shù)的自然語(yǔ)言表征與三角函數(shù)的圖像表征之間的關(guān)聯(lián)，解決問(wèn)題.

2.2 利用三角公式考查

與高中其他內(nèi)容知識(shí)相比，三角函數(shù)知識(shí)的最大特點(diǎn)是公式. 通過(guò)對(duì)公式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查考生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)課程中，要求考生掌握的三角恒等變形公式主要有兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，正弦、余弦的二倍角公式等. 相對(duì)以前的考試大綱來(lái)說(shuō)，考生要記憶和掌握的基本公式是減少了，所以更強(qiáng)調(diào)公式的靈活運(yùn)用. 這些公式之間存在著密切的聯(lián)系，公式之間可以相互轉(zhuǎn)化，互相推導(dǎo). 例如誘導(dǎo)公式中角的周期性變化、正負(fù)取值，兩角和與差公式中角的組合變化等，因此在考查時(shí)，重點(diǎn)考查對(duì)一個(gè)公式的靈活運(yùn)用即可.

本題設(shè)計(jì)的一個(gè)思路是，將正切函數(shù)變形為容易研究的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有關(guān)等式，考查考生對(duì)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及三角恒等變形的有關(guān)知識(shí)與技能的掌握. 考查考生關(guān)于三角函數(shù)的運(yùn)算求解能力. 由于等式含有兩個(gè)變量α與β，因此必然存在一個(gè)變形，使得這個(gè)看起來(lái)是二元三角函數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)換為考生熟悉的一元三角函數(shù)關(guān)系. 此問(wèn)題的關(guān)鍵設(shè)計(jì)是如何把二元關(guān)系轉(zhuǎn)換為一元關(guān)系，三角恒等變形的基本公式(如兩角和差公式，二倍角公式)就成為基本的設(shè)計(jì)素材.

例4已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin(α+β)= ．

2.3 利用真實(shí)情景考查

近年來(lái)，三角函數(shù)試題的背景越來(lái)越豐富，不少試題背景涉及實(shí)際生活情境，考查解三角形內(nèi)容，體現(xiàn)了三角函數(shù)的工具性特點(diǎn)，考查了考生的應(yīng)用能力. 這主要體現(xiàn)在拓寬試題材料來(lái)源，設(shè)計(jì)自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活等多個(gè)領(lǐng)域中能運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)的內(nèi)容作為背景材料，考查考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決學(xué)習(xí)和生活中實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)出三角函數(shù)的工具性作用.

例5如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A,B,C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量. 已知AB=50m，BC=120m，于A處測(cè)得水深A(yù)D=80m，于B處測(cè)得水深BE=200m，于C處測(cè)得水深CF=110m，求∠DEF的余弦值.

本題以海底考查測(cè)量為背景，將三角函數(shù)的知識(shí)與平面幾何相結(jié)合，考查考生運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的能力.

例6如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn). 從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA=60°. 已知山高BC=100m，則山高M(jìn)N= m.

本題將解三角形與空間位置關(guān)系結(jié)合在一起，需要考生有一定的綜合應(yīng)用能力，試題的情境是考生熟悉的觀測(cè)測(cè)量問(wèn)題，試題的另一個(gè)背景是空間中的位置關(guān)系與度量求解. 本題依據(jù)實(shí)際情境中兩座山的一些測(cè)量信息，給出了空間中的三角形的一些具體測(cè)量值. 在設(shè)計(jì)此題的題干時(shí)，需要確定哪些數(shù)值是可以通過(guò)觀察點(diǎn)測(cè)量得到的，哪些數(shù)值是需要通過(guò)解三角形的運(yùn)算求解得到的.

2.4 對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查

創(chuàng)新意識(shí)是高考的考查重點(diǎn)和特點(diǎn)，高考對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查主要體現(xiàn)在，對(duì)于社會(huì)和自然中存在的各種現(xiàn)象或問(wèn)題，鼓勵(lì)考生敢于沖破習(xí)慣思維的束縛打破常規(guī)發(fā)現(xiàn)思考問(wèn)題或提出理論.在此過(guò)程中考生要運(yùn)用豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，從各種數(shù)據(jù)文字資料中獲取有用信息，運(yùn)用判斷、歸納、演繹、比較、概括等方法辯證地討論問(wèn)題的各個(gè)影響因素，提出研究問(wèn)題的思路和方法步驟，或者提出新的觀點(diǎn)、新的發(fā)現(xiàn)、新的規(guī)律. 三角函數(shù)兼具幾何與代數(shù)兩方面的特點(diǎn)，其變式是多種多樣的.因此可以充分利用這些特點(diǎn)考查考生的獨(dú)立思考、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，要求考生能夠?qū)⑷呛瘮?shù)的知識(shí)應(yīng)用到問(wèn)題情境中.

例7如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn). 點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠BOP=x. 將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y=f(x)的圖像大致為( ).

A

B

C

D

本題的題干似乎與三角函數(shù)毫不相關(guān)，但考生在計(jì)算距離時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，其形式化表征就是三角函數(shù). 本題的背景是以簡(jiǎn)單平面幾何問(wèn)題為載體，以距離為橋梁，將幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題聯(lián)系在一起，這需要考生能全面地認(rèn)識(shí)與把握三角函數(shù)的三個(gè)組成部分，實(shí)現(xiàn)三者間的相互轉(zhuǎn)換. 本題在考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的同時(shí)，考查考生對(duì)三角函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用以及基于三角函數(shù)的邏輯推理能力，要求考生具有一定的創(chuàng)新意識(shí).

例8在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是__________.

本題給出了四邊形的一條邊的度量值，以及三個(gè)角的大小，是一個(gè)局部可解的四邊形問(wèn)題. 考生在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)需要注意三角形與四邊形之間的橫向聯(lián)系. 本試題的考查目標(biāo)不是為了獲得解四邊形的一般法則、原理或公式，而是把解三角形的一般理論、法則與公式運(yùn)用到一個(gè)新的情境中，據(jù)此考查考生的創(chuàng)新意識(shí)，特別是幾何思維能力. 當(dāng)考生在幾何上分析清楚四邊形ABCD的各種變化的可能性后，運(yùn)用解三角形的基本知識(shí)與技能即可最后解決問(wèn)題.

3 對(duì)中學(xué)三角函數(shù)的教學(xué)思考和建議

3.1 準(zhǔn)確掌握三角函數(shù)基本概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.[2]從數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)概念的來(lái)源一般認(rèn)為有兩個(gè)方面：一是直接從客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式反映而得，二是在抽象的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象所獲[3].三角函數(shù)知識(shí)內(nèi)容作為高中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容之一，具有鮮明的特征. 通常來(lái)說(shuō)，在高中數(shù)學(xué)課程中，三角函數(shù)、解三角形與三角恒等變形是相對(duì)獨(dú)立的三個(gè)部分. 從學(xué)生的知識(shí)獲取來(lái)看，三角函數(shù)是由單位圓引入的，具有函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，同時(shí)還有運(yùn)算的技巧性. 這些特點(diǎn)決定了，在三角函數(shù)部分的學(xué)習(xí)中，應(yīng)當(dāng)從整體進(jìn)行把握，準(zhǔn)確掌握其基本概念.

3.2 準(zhǔn)確運(yùn)用三角公式

三角公式是進(jìn)行變換的重要工具. 通過(guò)考后閱卷調(diào)研可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生高考答題中經(jīng)常出現(xiàn)因公式記憶不準(zhǔn)確，導(dǎo)致運(yùn)算出錯(cuò)的現(xiàn)象. 所以在平時(shí)的教學(xué)復(fù)習(xí)中，教師要對(duì)高考重點(diǎn)考查的三角公式，要有足夠重視. 首先要認(rèn)真研讀《考試大綱》，明確高考要求的數(shù)學(xué)公式. 其次，對(duì)基本公式的教學(xué)中，要展現(xiàn)公式的來(lái)龍去脈及推導(dǎo)過(guò)程. 最后，在公式應(yīng)用中可以變換多種形式，讓學(xué)生全方位理解公式并熟練掌握. 鼓勵(lì)學(xué)生用不同的推導(dǎo)方法，加深對(duì)公式的認(rèn)識(shí)，把握公式間的聯(lián)系.

3.3 注重學(xué)科綜合，關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用

20世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)向社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和自然界各個(gè)領(lǐng)域的滲透，擴(kuò)展了數(shù)學(xué)與實(shí)際的接觸面．?dāng)?shù)學(xué)科學(xué)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)建設(shè)、社會(huì)發(fā)展和日常生活的范圍和方式發(fā)生了深刻的變化[4]．三角函數(shù)部分的內(nèi)容知識(shí)更是如此，章建躍博士就曾指出要在數(shù)學(xué)整體觀指導(dǎo)下，對(duì)三角函數(shù)的研究對(duì)象、內(nèi)容、過(guò)程和方法進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì)[5]．從高考對(duì)三角函數(shù)的考查可以看出，考查形式靈活多變，考查側(cè)重點(diǎn)有所不同. 這是由于三角函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)決定的，這部分內(nèi)容容易與其他部分的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，更容易與實(shí)際情境相結(jié)合.在這部分命題實(shí)踐時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意三個(gè)方面的結(jié)合：一是問(wèn)題與已有知識(shí)間的聯(lián)系；二是不同的數(shù)學(xué)概念及其表征的聯(lián)系；三是數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用背景間的聯(lián)系.