橢圓中一類(lèi)定點(diǎn)定向問(wèn)題的充分必要條件①

王丙風(fēng)

(江蘇省南京市金陵中學(xué) 210005)

在文[1]中，通過(guò)平移坐標(biāo)法的運(yùn)用，給出了過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)作斜率乘積為定值的兩條直線與圓錐曲線的另外兩個(gè)交點(diǎn)連線過(guò)定點(diǎn)，文[2]發(fā)現(xiàn)了文[1]證明的疏忽，進(jìn)而給出了更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論，指出過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)作斜率乘積為定值的兩條直線與圓錐曲線的另外兩個(gè)交點(diǎn)連線過(guò)定點(diǎn)或定向．結(jié)論如下：

文[2]末指出，k1+k2為定值，可得出類(lèi)似結(jié)論，經(jīng)筆者計(jì)算，可得到如下結(jié)論：

證明將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至P0點(diǎn)，

在新坐標(biāo)系下若直線P1P2的斜率存在，

所以P1、P2滿足

+b2(m-2x0k)=0，

即2a2y0k-2b2x0=b2λ(m-2x0k)，

在新坐標(biāo)系下若直線P1P2的斜率不存在，

所以在原坐標(biāo)系下直線P1P2過(guò)定點(diǎn)

證明先證明充分性(存在不全為0的實(shí)數(shù)A，B，C使得Ak1k2+B(k1+k2)+C=0，則直線P1P2過(guò)定點(diǎn)或定向．)

若直線P1P2恒垂直于x軸，則P1P2定向；

若直線P1P2不恒垂直于x軸，

將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至P0點(diǎn)，

在新坐標(biāo)系下若直線P1P2的斜率存在，

所以P1、P2滿足

化簡(jiǎn)得

b2(m-2x0k)=0，

則Ak1k2+B(k1+k2)+C

=0，

(Ab2+Ca2)m=(2Ab2x0-2Ba2y0)k+

2Bb2x0-2Ca2y0，

若Ab2+Ca2≠0，則

則直線P1P2：

新坐標(biāo)系下過(guò)定點(diǎn)

所以在原坐標(biāo)系下過(guò)定點(diǎn)

若Ab2+Ca2=0，2Ab2x0-2Ba2y0≠0，則

若Ab2+Ca2=0，2Ab2x0-2Ba2y0=0，

則2Bb2x0-2Ca2y0=0，

有非零解，則AC=B2，

若B≠0，則A、C同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)，

則Ab2+Ca2≠0，與Ab2+Ca2=0矛盾，不成立；

若B=0，則AC=0，Ab2+Ca2=0，

則A=0，C=0，與實(shí)數(shù)A，B，C不全為0矛盾，

不成立.

若直線P1P2的斜率不存在，在原坐標(biāo)系下，

設(shè)P1(x，y)，P2(x，-y).

Ak1k2+B(k1+k2)+C

(Ab2+Ca2)x=(Ca2-Ab2)x0+2Ba2y0，

若Ab2+Ca2≠0，則

過(guò)定點(diǎn)

若Ab2+Ca2=0，則(Ca2-Ab2)x0+2Ba2y0=0，

即2Ab2x0-2Ba2y0=0，同上證明不成立.

充分性得證.

再證明必要性(直線P1P2過(guò)定點(diǎn)或定向，則存在不全為0的實(shí)數(shù)A，B，C使得Ak1k2+B(k1+k2)+C=0．)

若直線P1P2恒垂直于x軸，

設(shè)P1(x，y)，P2(x，-y)，

存在不全為0的實(shí)數(shù)A，B，C使得

Ak1k2+B(k1+k2)+C=0，

對(duì)x∈(-a，a)，x≠x0恒成立，

等價(jià)于

(Ab2+Ca2)x=(Ca2-Ab2)x0+2Ba2y0，

對(duì)x∈(-a，a)，x≠x0恒成立，

若y0=0，P為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，則k1+k2=0，

令A(yù)=0，B=1，C=0，

則Ak1k2+B(k1+k2)+C=0；

則Ak1k2+B(k1+k2)+C=0；

若直線P1P2不恒垂直于x軸，

將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至P0點(diǎn)，

在新坐標(biāo)系下若直線P1P2的斜率存在，

所以P1、P2滿足

化簡(jiǎn)得

b2(m-2x0k)=0，

若P1P2定向，則k為常數(shù)，則

2b2x0-2a2y0k，b2(m-2x0k)為不全為0的常數(shù)，

則一定存在不全為0的實(shí)數(shù)A，B，C，使得

Ak1k2+B(k1+k2)+C=0.

若P1P2過(guò)定點(diǎn)，則m=uk+m0，

二次項(xiàng)系數(shù)為a2uk+a2(m0+2y0)，

一次項(xiàng)系數(shù)為-2a2y0k+2b2x0，

常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為(u-2x0)b2k+b2m0.

若(a2u，a2(m0+2y0))與(-2a2y0，2b2x0)共線，又(a2u，a2(m0+2y0))≠0，(-2a2y0，2b2x0)≠0，

則根據(jù)共線向量定理，存在非零實(shí)數(shù)μ使得

μ(a2u，a2(m0+2y0))+(-2a2y0，2b2x0)

=0，

令A(yù)=0，B=1，C=-μ，

則Ak1k2+B(k1+k2)+C=0.

若(a2u，a2(m0+2y0))與(-2a2y0，2b2x0)不共線，

由平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)μ1，μ2使得

μ1(a2u，a2(m0+2y0))+μ2(-2a2y0，2b2x0)

+((u-2x0)b2，b2m0)=0，

令A(yù)=1，B=-μ2，C=μ1，

則Ak1k2+B(k1+k2)+C=0.

在新坐標(biāo)系下若直線P1P2的斜率不存在，

則與y=kx+uk+m0過(guò)同一定點(diǎn)的直線P1P2：x=-u，

原坐標(biāo)系下P1P2：x=-u+x0，

若(a2u，a2(m0+2y0))與(-2a2y0，2b2x0)共線，

同上令A(yù)=0，B=1，C=-μ，

Ak1k2+B(k1+k2)+C=0成立；

若(a2u，a2(m0+2y0))與(-2a2y0，2b2x0)不共線，

同上令A(yù)=1，B=-μ2，C=μ1，

則Ak1k2+B(k1+k2)+C=0.

必要性得證.

筆者研究發(fā)現(xiàn)，該定理推廣到雙曲線和拋物線中，也有相應(yīng)的結(jié)論成立，這里不再贅述，感興趣的讀者不妨一試.

在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，從條件到結(jié)論，只是我們數(shù)學(xué)解題的一部分，作為一名有著探究精神的研究人員，我們應(yīng)該需要經(jīng)常反問(wèn)自己，要得到結(jié)論，需要哪些條件？條件與條件之間有關(guān)聯(lián)嗎？條件和結(jié)論之間有充分必要關(guān)系嗎？只有這樣，我們對(duì)知識(shí)的理解才會(huì)更為通透，更有利于知識(shí)體系的建立，我們對(duì)問(wèn)題的探究才會(huì)更為深入，更有利于我們思維方式科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性的建立.