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    一道高考模擬數(shù)列試題的解法探究及拓展

    2018-11-28 09:52:34
    數(shù)學(xué)通報 2018年10期
    關(guān)鍵詞:思考題歸納法關(guān)系式

    陳 彬

    (上海商學(xué)院文法學(xué)院數(shù)學(xué)教研室 201400)

    1 引言

    為了方便及統(tǒng)一符號,本文中用N表示自然數(shù)集(即正整數(shù)集),Z表示整數(shù)集. 給定一個集合A,|A|表示集合A的基數(shù). 對x∈R,[x]表示實(shí)數(shù)x的高斯取整,即不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù). 給定兩個整數(shù)a,b,其中a≠0,a|b表示a能整除b,a?b表示a不能整除b.

    2010年江蘇省蘇州市某高中在其二模數(shù)學(xué)考試填空題里(最后一道)出了這樣一道函數(shù)題:假定一個函數(shù)f(x)在(0,+∞)上嚴(yán)格單調(diào)遞增,且若n∈N,則f(n)∈N;又已知f(f(n))=3n,求f(5)=?

    我們解答一下這道題目:首先,從最簡單的情況著手.假設(shè)f(1)=k∈N,則f(k)=f(f(1))=3.由于f(x)在(0,+∞)上嚴(yán)格遞增,所以1≤k≤3.很明顯,k≠1,否則f(1)=1,且f(1)=3,矛盾.又易見k≠3,否則f(1)=3=f(3),這與f(x)嚴(yán)格遞增矛盾.這樣的話,k只能等于2.從而,f(1)=2且f(2)=3.

    接著,比較自然地,f(3)=f(f(2))=6.f(4),f(5)似乎無法著手計(jì)算,嘗試f(6).f(6)=f(f(3))=9.由函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性,6=f(3)

    我們闡述一下這道數(shù)列題目的思路及解決過程,還有其特殊之處.

    首先,題中對象是函數(shù),實(shí)際上該題是一道數(shù)列題,因?yàn)閺念^到尾都并未涉及到分?jǐn)?shù)的性態(tài)或計(jì)算.因而,我們可以把題目修改得精簡一些:假設(shè)一個數(shù)列{an}是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列,{an}?N,并且滿足aan=3n,則a5=?或更平易近人一些,(題目)假設(shè)一個數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列,f(N)?N,并且滿足f(f(n))=3n,則f(5)=?

    其次,解題一開始須從最簡單的情況入手.這是因?yàn)?,要直接看出f(5)如何由條件所得,是有一定的困難的,無從下手,只得嘗試從最簡單,自然數(shù)集的起始點(diǎn)1開始著手:計(jì)算f(1).

    另外注意到,在計(jì)算f(1),f(2)的過程中,我們就已經(jīng)把所有的條件都利用了一遍,不僅利用了數(shù)列的嚴(yán)格單調(diào)性,也利用了迭代關(guān)系式f(f(n))=3n,最后再利用了數(shù)列只能取到自然數(shù)的特性.

    接著,計(jì)算f(3)是自然的,不僅要看到,算出f(1)和f(2)之后,自然要主動嘗試計(jì)算f(3),而且注意到f(2)=3,結(jié)合迭代關(guān)系式f(f(n))=3n的使用是至關(guān)重要的.

    然后呢? 顯然是計(jì)算f(4),然后再算出f(5).如果這樣的話,我們進(jìn)行不下去了.我們已經(jīng)算出,f(1)=2,f(2)=3,f(3)=6.我們知曉f(4)是個自然數(shù),但已經(jīng)無法利用迭代關(guān)系式直接計(jì)算出f(4),因?yàn)椴淮嬖谧匀粩?shù)m讓f(m)=4.那么要利用迭代關(guān)系式的話,我們應(yīng)該計(jì)算f(6),然后再碰碰運(yùn)氣.f(6)=9,結(jié)合f(3)=6,自然會試圖壓迫出f(4)與f(5)的取值.

    到這里,在解決這道題目上,我們利用了簡化、嘗試、猜想等一些手段和方法.實(shí)際上,對這道題目而言,我們還可以做更多的拓展和思考.

    思考題1這樣的數(shù)列是存在的么,并且是唯一的么? 有通項(xiàng)公式么?

    思考題2計(jì)算數(shù)列在任意項(xiàng)的取值,如f(100),f(500)等,這依賴于問題1,需要我們對題干數(shù)列的性質(zhì)有更進(jìn)一步的認(rèn)識.

    思考題3這道題目的難度有多大?還有關(guān)于題目自身,其完備化、擴(kuò)張化或一般化,有推廣的價值空間么?

    我們就這些問題細(xì)細(xì)討論一番.

    2 數(shù)列的存在唯一性

    為了方便書寫證明過程,我們?nèi)绶ㄅ谥圃}目的方法過程,并計(jì)算出題設(shè)數(shù)列的一系列取值,列表如下:

    n123456789101112131415161718f(n)236789121518192021222324252627n192021222324252627282930313233343536f(n)303336394245485154555657585960616263

    經(jīng)過多次計(jì)算后,我們猜想這個數(shù)列是唯一存在的一個數(shù)列.我們發(fā)現(xiàn),對某一些項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)與取值有一定的倍數(shù)關(guān)系.一方面,f(1)=2,f(3)=6,f(9)=18,f(27)=54等這部分內(nèi)容呈現(xiàn)出來的規(guī)律是,因變量是自變量的兩倍;另一方面,f(2)=3,f(6)=9,f(18)=27,f(54)=81這一部分所呈現(xiàn)出來的規(guī)律是,因變量是自變量的1.5倍.鑒于這些觀察,我們(不完全)歸納出如下的引理1.

    引理1若數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列,f(N)?N,并且滿足對?n∈N,都有f(f(n))=3n,則對?n∈N∪{0},總有f(3n)=2·3n,從而同時有f(2·3n)=3n+1.

    證明數(shù)學(xué)歸納法.首先,經(jīng)過前述計(jì)算,n=0或1時,f(30)=f(1)=2=2·30,f(31)=f(3)=6=2·31.假設(shè)當(dāng)n=k(≥2)時,命題成立即f(3k)=2·3k;此時f(2·3k)=f(f(3k))=3k+1.從而,當(dāng)n=k+1時,f(3k+1)=f(f(2·3k))=2·3k+1.結(jié)論成立.因此,對?n∈N∪{0},總有f(3n)=2·3n,從而同時總有f(2·3n)=f(f(3n))=3n+1.

    注1通過經(jīng)驗(yàn)主義(觀察、不完全歸納),我們猜想出題設(shè)數(shù)列在特定兩類項(xiàng)上取值的一般規(guī)律,然后用數(shù)學(xué)歸納法給出了嚴(yán)格的證明.接下來,我們將利用這兩類項(xiàng)把自然數(shù)列進(jìn)行有效的一般劃分.

    注意到,對?m,n∈Z,m

    為了方便敘述,我們給出劃分(也稱分解)的定義.

    例如,{[n,n+1):n∈N},{[2n-1,2n):n∈N}就是N的兩個劃分.一般地,給定一個嚴(yán)格增加且取值為自然數(shù)的序列{an},則{[an,an+1):n∈N}就是N的一個劃分.

    注意到,{[3n,2·3n),[2·3n,3n+1)|n∈N∪{0}}是自然數(shù)集N的一個劃分.要求出數(shù)列f(n)的通項(xiàng)公式,只要分別求出在這些區(qū)間范圍內(nèi)對應(yīng)的取值即可.

    引理2若數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列,f(N)?N,并且滿足對?n∈N,都有f(f(n))=3n,則數(shù)列f(n)在每一個區(qū)間[3n,2·3n)上相鄰自然數(shù)的取值也是相鄰的(相差1).進(jìn)一步,?k∈[1,3n),總有f(3n+k)=2·3n+k.

    證明數(shù)學(xué)歸納法.我們已經(jīng)計(jì)算出,f(3n)=2·3n,f(2·3n)=3n+1.自變量區(qū)間[3n,2·3n)恰含2·3n-3n=3n個自然數(shù),而取值區(qū)間[2·3n,3n+1)也恰含3n+1-2·3n=3n個自然數(shù).由數(shù)列的嚴(yán)格單調(diào)性及f(N)?N,顯然?k∈[1,3n),總有f(3n+k)=2·3n+k.

    由引理2,?k∈N,k<3n,總有f(2·3n+k)=f(f(3n+k))=3(3n+k).從而有引理3,敘述如下.

    引理3若數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列,f(N)?N,并且滿足對?n∈N,都有f(f(n))=3n,則數(shù)列f(n)在每一個區(qū)間[2·3n,3n+1)上相鄰自然數(shù)的取值相差3.進(jìn)一步,即?k∈[1,3n),總有f(2·3n+k)=3(3n+k).

    結(jié)合引理1、2、3,我們可以得到數(shù)列任意一項(xiàng)的取值,并且稍微作一下變量替換,很容易得出數(shù)列的通項(xiàng)公式,寫成定理如下.

    定理1若數(shù)列f(n)是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列,f(N)?N,并且滿足對?n∈N,都有f(f(n))=3n,則這個數(shù)列是存在且唯一的,其通項(xiàng)公式為

    這樣我們解決了第一道思考題.這個數(shù)列存在并且是唯一的,其通項(xiàng)公式是可以寫出來的.

    通項(xiàng)公式寫出來,就可以著手計(jì)算數(shù)列在任意一項(xiàng)處的取值.例如f(100),先看100在哪個區(qū)間內(nèi),3n≤100<2·3n,可以得出n=4,從而f(100)=100+34=181.例如f(500),先看500在哪個區(qū)間內(nèi),2·3n≤500<3n+1,可以得出n=5,從而f(500)=3(500-35)=771.由通項(xiàng)公式,我們實(shí)際上可以計(jì)算出數(shù)列的任意項(xiàng).

    這樣的話,第二道思考題也被我們解決了.

    我們看到,在求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的過程中,題干的所有條件都受到了充分的運(yùn)用.歸納、演繹、猜想這些方法使用在其中不停地發(fā)揮各自的作用.

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