數(shù)學(xué)通報(bào)中若干三角問題的推廣、改進(jìn)或優(yōu)化

黃兆麟

(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 300456)

《數(shù)學(xué)通報(bào)》的問題解答欄中每期的五個(gè)題各具特色,就象數(shù)學(xué)世界海洋里的五顆珍珠絢麗多彩,令人賞心悅目且能啟迪人們的智慧,在充分享受原解美妙方法的同時(shí)也提高自己的鑒賞能力.通過研究學(xué)習(xí),筆者發(fā)現(xiàn)該欄目或其它欄目有一些三角題或定理均有推廣、改進(jìn)或優(yōu)化的空間,現(xiàn)介紹如下,與解題愛好者共賞.

問題2223在△ABC中，求證

這是一個(gè)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔優(yōu)美對(duì)稱的三角不等式,原解答利用換元法求解但不易推廣,本文給出其指數(shù)推廣的簡(jiǎn)捷證明,供參考.

推廣命題1在△ABC中，已知p>0，則有

證明由待證不等式的全對(duì)稱性，

又設(shè)待證不等式左右之差為M，則

顯然2223題是以上推廣命題1當(dāng)p=1時(shí)的特例.

問題2243在三角形ABC中，a,b,c,ma,mb,mc,ha,hb,hc,R,r分別表示三邊長(zhǎng),三條中線長(zhǎng),三條高,外接圓、內(nèi)切圓半徑，求證 ：

這是一個(gè)較弱的三角不等式，本文給出其加強(qiáng)指數(shù)推廣的簡(jiǎn)捷證明,且證明并不涉及到兩圓半徑,供參考.

推廣命題2設(shè)a,b,c,ma,mb,mc,la,lb,lc,ha,hb,hc,s分別表示△ABC的三邊長(zhǎng),三條中線長(zhǎng),三條角平分線長(zhǎng),三條高線長(zhǎng)和半周長(zhǎng),若指數(shù)p>0,則有

證明注意到有中線長(zhǎng)公式、角平分線長(zhǎng)公式及高線長(zhǎng)公式,立得

那么就有ma≥la≥ha，

從而可得

故知推廣命題2中的不等式鏈成立.

問題2296在銳角△ABC中, 求證:

證明直接由三元均值不等式及熟知成立的不等式

原證曹嘉興老師利用四點(diǎn)共圓、柯西不等式及兩個(gè)熟知的三角幾何不等式給出了證明，指數(shù)推廣不易，該題若借助于艾爾托斯—莫迪爾不等式即可給出該題指數(shù)推廣的簡(jiǎn)證.

證明由冪平均不等式不等式(p>1)可得

又設(shè)P點(diǎn)到△ABC三邊BC,CA,AB的距離分別為u,v,w

那么由(P.Erdos-L.J.Mordell)艾爾托斯-莫迪爾不等式

x+y+z≥2(u+v+w),

我們立得

(*)

當(dāng)取P點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心時(shí),

就有u=v=w=r,

故推廣命題3成立.

顯然2300題是以上推廣命題3當(dāng)p=4時(shí)的特例.

推廣命題4在△ABC中,若a,b,c;ra,rb,rc;ha,hb,hc;ta,tb,tc;Δ,p分別表示三條邊,旁切圓半徑,高線長(zhǎng),內(nèi)角平分線長(zhǎng),面積和半周長(zhǎng),且指數(shù)m>0,n≥1,則

(1)

當(dāng)n≥1時(shí),由冪平均不等式有

以上三個(gè)等式相加即得

(2)

下面首先證明鏈(1)中第一個(gè)不等式.

由于鏈(1)中第一個(gè)不等式的完全對(duì)稱性,

不妨設(shè)a≥b≥c,則有3a≥2p且3c≤2p，

設(shè)鏈(1)中第一個(gè)不等式的左右之差為M,則有

即鏈(1)中第一個(gè)不等式成立.

以上證明最后一步用到了不等式(2)成立的結(jié)論.

最后證明鏈(1)中第二個(gè)不等式.

由ta≥ha,tb≥hb,tc≥hc,知有

三式相加立得

即鏈(1)中第二個(gè)不等式成立.

至此推廣命題4的不等式鏈(1)獲證.

問題2373在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C所對(duì)三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,面積為Δ，求證：

(a+b-c)2+(b+c-a)2+(c+a-b)2

原證曹嘉興老師利用換元法給出了一種代數(shù)形式的證明，該題若借助于費(fèi)恩斯列爾-哈德維格爾不等式,便可直接獲證.

證明只要將待證不等式左邊展開再整理立得

a2+b2+c2+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2，

再移項(xiàng)合并立得費(fèi)-哈不等式

a2+b2+c2

即待證不等式與費(fèi)-哈不等式等價(jià),故知待證不等式成立.

胡文生老師在證明不等式鏈右邊的上界不等式時(shí)稍顯復(fù)雜,其實(shí)胡老師在證明下界不等式時(shí),都已經(jīng)得到了證明上界需要的等式

原解答利用Steiner-Lehmus定理：“在三角形中，若有兩個(gè)內(nèi)角的角平分線長(zhǎng)相等，則該三角形為等腰三角形?！苯o出的證明,本文則給出一種反證法的證明,實(shí)際上也是給出了Steiner-Lehmus定理一種反證法的證明.

證明(反證法)首先將條件等式去分母,可得

sinx[sin(x+2y)cosx]=siny[sin(2x+y)cosy]

?sinx[sin2(x+y)+sin2y]=siny[sin2(x+y)+sin2x]

?sin2(x+y)·(sinx-siny)=2sinxsiny·(cosx-cosy). (*)

注意到題設(shè)條件,立知sin2(x+y)>0,2sinxsiny>0

①假設(shè)x>y,那么此時(shí)(*)式左邊>0,同時(shí)(*)式左邊<0,矛盾！故假設(shè)不真！

②假設(shè)x0,矛盾！故假設(shè)不真！

綜上①和②，立得x=y

設(shè)(p-a)(p-b)=x,(p-b)(p-c)=y,(p-c)(p-a)=z,

以上定理是曹嘉興老師給出的(見文[2]),本文則給出一個(gè)較為簡(jiǎn)潔的證明,供讀者參考.

證明由半角正切公式、余弦定理及海倫公式,可得

那么就有

以上證明過程用到了不等式