遞推：數(shù)列的靈魂①

李昌官

(浙江省臺州市教育局教研室 318000)

遞推是指按照一定的規(guī)律來計(jì)算序列中的每個項(xiàng)，其實(shí)質(zhì)是把一個復(fù)雜的龐大的運(yùn)算過程轉(zhuǎn)化為簡單過程的多次重復(fù).

1 遞推——代數(shù)學(xué)發(fā)展的根本大法

弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計(jì)數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計(jì)算的數(shù)．”“無論從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度來看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)的基石．可以說，沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)．”[1]項(xiàng)武義認(rèn)為，自然數(shù)系的本質(zhì)就是一個順序排列的體系，其起始者為1，往后順序“后者”表示比“前者”多加1個，如此逐個加1以至于“無窮”；自然數(shù)系最原始根本的結(jié)構(gòu)就是“+1”運(yùn)算，加法是“+1”的復(fù)合，乘法是自相加的縮寫，乘方是自相乘的縮寫；自然數(shù)系的加、乘和乘方運(yùn)算都是由最原始的“+1”運(yùn)算逐步復(fù)合得到的．[2]這種逐步復(fù)合過程的實(shí)質(zhì)是遞推．加法結(jié)合律、乘法對加法的分配律、同底數(shù)冪乘法法則等都是通過歸納、遞推得到的．有理數(shù)系運(yùn)算、實(shí)數(shù)系運(yùn)算、復(fù)數(shù)系運(yùn)算是通過對自然數(shù)系運(yùn)算的擴(kuò)張、推廣得到的．R·柯朗認(rèn)為：“從n到n+1，這一步接一步的程序產(chǎn)生了數(shù)的無限序列，也構(gòu)成了數(shù)學(xué)推理的一個最基本的類型(即數(shù)學(xué)歸納法)的基礎(chǔ)”[3]．因此遞推是代數(shù)學(xué)發(fā)展的根本大法．利用計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度快、適合做重復(fù)性操作的特點(diǎn)，可借助遞推關(guān)系式編制計(jì)算機(jī)算法，讓計(jì)算機(jī)對一組指令(或一定步驟)進(jìn)行重復(fù)執(zhí)行，因此遞推是計(jì)算機(jī)算法的基礎(chǔ)．

2 遞推——數(shù)列的本質(zhì)屬性

大家都認(rèn)可，數(shù)列是特殊的函數(shù)，是定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})的離散型函數(shù)．這個定義域有幾個特點(diǎn)：一是它是離散的，是可列可數(shù)的；二是它是“均勻分布的”，相鄰兩個元素之間總是相差1；三是它有特定的起點(diǎn)1或n0．定義域“從特定的起點(diǎn)開始，連續(xù)均勻分布”是比離散更本質(zhì)、更重要的特征．它決定了數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間存在著某種內(nèi)在的、確定的聯(lián)系．而這種內(nèi)在的、確定的聯(lián)系決定了我們能用遞推的方法解決數(shù)列問題．因此數(shù)列是用來刻畫現(xiàn)實(shí)世界中一類具有遞推規(guī)律事物的數(shù)學(xué)模型．遞推是數(shù)列的本質(zhì)屬性，是數(shù)列與其他函數(shù)的最大區(qū)別．我們需要增強(qiáng)從遞推視角思考和處理數(shù)列問題的意識．

3 遞推——解決數(shù)列問題的根本大法

3.1 遞推與等差、等比數(shù)列

部分教師認(rèn)為等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是通過歸納得到的，可用不完全歸納的方法得到的結(jié)論怎能確保成立呢？如果是通過證明得到的，那又是怎樣證明的？證明的方法又是什么？其實(shí)，合理而又緊扣問題本質(zhì)的解決方法應(yīng)該是歸納基礎(chǔ)上的遞推，應(yīng)突出和強(qiáng)化遞推在公式推導(dǎo)過程中的核心價值．應(yīng)認(rèn)識到用歸納猜想的方法得到結(jié)論與用遞推論證的方法確認(rèn)結(jié)論是兩種不同水平的思維；前者是經(jīng)驗(yàn)化、表面化的，而后者則準(zhǔn)確地把握了問題與方法的本質(zhì)，它蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)與萌芽．以等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)為例，由a2-a1=d，有a2=a1+d．由a3-a2=d，有a3=a2+d=a1+2d，…由an-an-1=d，這個過程可以無限地遞推下去．

3.2 遞推與數(shù)學(xué)歸納法

“對于自然數(shù)系本質(zhì)的樸素的描述就是數(shù)學(xué)歸納法原理”[2]．盡管數(shù)學(xué)歸納法有第一數(shù)學(xué)歸納法、第二數(shù)學(xué)歸納法、跳躍歸納法、遞降歸納法、倒推歸納法、螺旋歸納法等各種形式，但其本質(zhì)與核心都是遞推．遞推使數(shù)學(xué)歸納法跨越了“有窮”到“無窮”的障礙，得到一個對不小于n0的任何整數(shù)都成立的數(shù)學(xué)命題．利用數(shù)學(xué)歸納法證明的核心與關(guān)鍵是由“n=k”時命題成立推出“n=k+1”時命題也成立．因此數(shù)學(xué)歸納法既源于遞推思想，又應(yīng)用遞推方法．

3.3 遞推與疊加、疊乘

4 運(yùn)用遞推解決數(shù)列問題的步驟

運(yùn)用遞推解決數(shù)列問題通常有如下四個步驟：

第一步，明確遞推的起點(diǎn)．遞推總是在一定的基礎(chǔ)上進(jìn)行；離開遞推的起點(diǎn)，遞推就無從談起．因此明確遞推起點(diǎn)是解決數(shù)列問題的前提和基礎(chǔ)．

第二步，建立遞推關(guān)系式．事物發(fā)展總有前因后果，搞清楚事物發(fā)展的前因后果及其相互聯(lián)系，搞清楚事物的形成過程與形成方法，是尋找解題思路、突破思維難點(diǎn)的有效方法．用遞推的觀點(diǎn)看待問題，搞清楚前后項(xiàng)之間的關(guān)系，建立遞推關(guān)系式，這是解決數(shù)列問題的核心環(huán)節(jié)．

第三步，對遞推關(guān)系式進(jìn)行變形．遞推的本質(zhì)是拓展與推廣，而拓展與推廣就需要緊緊抓住事物的共同點(diǎn)與本質(zhì)．由于事物的本質(zhì)與規(guī)律往往隱藏在各種現(xiàn)象的背后，發(fā)現(xiàn)難度大，因此通過遞推關(guān)系式的變形發(fā)現(xiàn)規(guī)律往往是解決數(shù)列問題的難點(diǎn)．

第四步，求出結(jié)果．在通過遞推關(guān)系式變形把陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題、把未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題后，求出所要求的結(jié)果．

下面通過兩個案例說明遞推思想與方法在解決數(shù)列問題中的運(yùn)用．

分析由題設(shè)可知，數(shù)列{Pn}的后一項(xiàng)是由前兩項(xiàng)按一定的規(guī)則得到的，因此可用遞推的思想與方法解決．

因此有

或

案例二n對夫妻跳舞, 要求每人都有舞伴且夫妻不許伴舞, 有多少種伴舞方案?

分析此問題條件簡單，直接求符合條件的n對夫妻舞伴的方案總數(shù)an難度很大．盡管表面上看數(shù)列{an}項(xiàng)與項(xiàng)之間的遞推關(guān)系不明顯，但如果不搞清楚其遞推關(guān)系，就無法清楚其變化與發(fā)展的規(guī)律，也就無法求出an．

第一步，明確遞推的起點(diǎn)．將n對夫妻編為1,…，n號,設(shè)符合要求的n對夫妻伴舞的方案總數(shù)an,易知a1=0，a2=1．

第二步，尋找遞推關(guān)系式．考慮在n對夫妻的基礎(chǔ)上增加第(n+1)對夫妻帶來的伴舞方案數(shù)的變化．第(n+1)號男士的舞伴有n種可能．不妨設(shè)他選中了k號女士．對k號男士，如果他選中了(n+1)號女士，則其他(n-1)對夫妻安排伴舞的方案數(shù)為an-1；若他選中了其他女士，可將(n+1)號女士的編號改為k號, 從而問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榘才舗對夫妻伴舞, 其方案數(shù)為an．因此有

an+1=n(an-1+an)(n≥2)．

①

第三步，對遞推關(guān)系式進(jìn)行變形．由①，瞄準(zhǔn)構(gòu)造新的等差數(shù)列或等比數(shù)列的目標(biāo)，利用觀察法或待定系數(shù)法，可得

an+1-(n+1)an=-(an-nan-1)，

an+1-(n+1)an=(-1)n-1，

②

第四步，求出結(jié)果．由②，有

……

5 運(yùn)用遞推關(guān)系式的策略與方法

許多數(shù)列問題已經(jīng)給出遞推關(guān)系式，此時對遞推關(guān)系式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃瓮仁菃栴}解決的核心與關(guān)鍵，也是問題解決的難點(diǎn)之所在．

5.1 明確變形的目標(biāo)與方向

遞推關(guān)系式變形的目的是為了更好地揭示關(guān)系式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，是為了更好地實(shí)現(xiàn)由數(shù)列首項(xiàng)到末項(xiàng)的遞推．就中學(xué)數(shù)列問題而言，為了有效地解決問題，通常要構(gòu)造出一個新的數(shù)列．這個新的數(shù)列應(yīng)是等差數(shù)列或等比數(shù)列，或可以利用疊加、疊乘法求解的數(shù)列，或其他能由首項(xiàng)逐步遞推到末項(xiàng)的數(shù)列．

5.2 明確變形的常用思路與方法

5.2.1 “湊”

5.2.2 待定系數(shù)法

在把握待構(gòu)造的新數(shù)列特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，先猜想含有待定系數(shù)的新數(shù)列，再根據(jù)相關(guān)條件求解這些系數(shù)．如案例一的第三步，先設(shè)Pn-tPn-1=p(Pn-1-tPn-2)，然后再求出t與p的值．

5.2.3 借助不動點(diǎn)

5.3 建構(gòu)新的遞推關(guān)系式

遞推是數(shù)列的靈魂，是解決數(shù)列問題最重要、最根本的思路與方法．從更高層次看，遞推屬于遞歸，其實(shí)質(zhì)是“運(yùn)用已經(jīng)收集到的信息作為行動的基礎(chǔ)去收集更多的信息”[4]．