從阿波羅尼斯到柯西：“圓錐曲線”研究方法的變遷

王海青 李曉波

(1.惠州學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院 516007；2.惠州一中高中部 516007)

今天人們很難想象，圓錐曲線最初被研究僅僅只是因為數(shù)學家們的愛好而已，和實際應用并沒有什么聯(lián)系．古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯就對圓錐曲線性質(zhì)做了完善的研究，在近2000年后，人們才發(fā)現(xiàn)圓錐曲線與自然界的物體運動、天文學及軍事科技有密切聯(lián)系，由此進一步激起了研究者們對圓錐曲線的興趣．圓錐曲線的歷史發(fā)展過程反映了其研究方法的變化和不同定義間的關(guān)系，也深刻揭示了各類圓錐曲線的特性與統(tǒng)一性的交融．了解圓錐曲線的發(fā)展歷史及其學科結(jié)構(gòu)，有助于教師對圓錐曲線教學內(nèi)容的準備理解和把握.

1 圓錐曲線的起源

圖1

柏拉圖學派的梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus，公元前375—公元前325)在解決“倍立方”問題時研究了圓錐曲線的性質(zhì)．[1]39他利用三種正圓錐——銳角的、直角的和鈍角的圓錐，再用垂直于錐面一母線的平面來割每個圓錐面，從而得到橢圓、拋物線和雙曲線的一支(如圖2).

圖2

2 圓錐曲線與歐幾里得幾何

阿波羅尼斯(Apollonius，約公元前262-公元前190)是第一個依據(jù)同一個(正的或斜的)圓錐的截面來研究圓錐曲線理論的人，也是第一個發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人．其所著的《圓錐曲線論》[2](Conic Sections)共八篇，最后一篇已失傳．前三篇主要是歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的那本失傳著作的內(nèi)容，[1]72，[3]170包括梅內(nèi)克繆斯(Menaechmus，約公元前380-前320)和阿基米德(Archimedes，公元前287-公元前212)在這方面的工作．阿波羅尼斯在前人的基礎(chǔ)上去粗取精，按照歐幾里得《原本》公理演繹的方式組織內(nèi)容，使之系統(tǒng)化．《圓錐曲線論》含有許多獨到和新穎的創(chuàng)造性材料，幾乎網(wǎng)羅了圓錐曲線的性質(zhì)．阿波羅尼斯將歐幾里得的論證幾何水平發(fā)展到極致，使《圓錐曲線論》成為數(shù)學史上的一座豐碑，他本人也被稱為古希臘“偉大的幾何學家”．[2]8

阿波羅尼斯從幾何直觀上給出了圓錐曲線靜態(tài)的原始定義：用一個平面去截一個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線(如圖3)．所以，在《圓錐曲線論》中圓錐曲線也稱為“圓錐截線”．嚴格來講，得到的交線除了圓、橢圓、雙曲線和拋物線外，還包括三種退化情形(一條直線、一個點、兩條相交直線).

圖3

圖4

古希臘時期還沒有代數(shù)的符號體系和坐標，阿波羅尼斯的證明建立在純粹的論證幾何基礎(chǔ)上，并用文字表述證明的過程和結(jié)論，這是后人難以讀懂其著作的原因之一．但他處理圓錐曲線的思想?yún)s一直為之后的數(shù)學家所用，如利用方程推導圓錐曲線的性質(zhì)，把拋物線看成是橢圓或雙曲線的極限情形.

3 圓錐曲線與解析幾何

圖5

圖6

圖7

《圓錐曲線論》問世后將近2000年的時間，整個數(shù)學界對圓錐曲線的研究一直沒有什么新進展．直到16世紀，人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，也是自然界物體運動的普遍形式．1579年意大利數(shù)學家蒙特(Monte，1545—1607)在其著作《平面球體圖》中將橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡，并利用定義討論了他制造的橢圓規(guī)．[4]230蒙特的橢圓規(guī)與后來的荷蘭數(shù)學家舒騰(F.van Schooten,1615—1660)設(shè)計的橢圓作圖工具類似，如圖5．舒騰還根據(jù)橢圓的特性給出了另兩種作圖工具，如圖6-7．[5]222-23017世紀初，德國天文學家開普勒(Johannes Kepler,1571—1630)揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運行，意大利物理學家伽利略(Galileo Galilei，1564—1642)發(fā)現(xiàn)物體斜拋運動的軌道是拋物線．這些事實推動人們重新考察圓錐曲線并尋求其對天文學有用的性質(zhì)，但并未提出新的定理或證明方法．

真正的方法創(chuàng)新首先來自解析幾何．17世紀笛卡爾(Rene Descartes，1596—1650)的《幾何學》(1637)和費馬(Pierre de Fermat,1601—1665)的《空間與平面軌跡入門》(寫于1629年，1679年出版)的出現(xiàn)，使解析幾何走上了數(shù)學舞臺．它以論證幾何為基礎(chǔ)，通過坐標系把代數(shù)方程和曲線曲面等聯(lián)系起來，利用“幾何問題→代數(shù)問題→求解→反演”的方式將幾何代數(shù)化，還可由已知的代數(shù)結(jié)果發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)．解析的代數(shù)方法比古希臘的歐氏幾何更具一般性而不過多地依賴幾何圖形.

圖8

歐拉(Leonhard Euler，1707—1783)在《分析引論》(1748)中系統(tǒng)地闡述了平面和空間解析幾何，給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的代數(shù)定義：在笛卡爾平面上，二元二次方程ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0的圖象是圓錐曲線．這個二次方程包含了圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形．[6]36-41歐拉還按參數(shù)方程和極坐標方程論述了圓錐曲線并指出：圓錐曲線的各種情形，經(jīng)過適當?shù)淖鴺俗儞Q，總可以化為標準形式之一．二元二次方程ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0，可經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換

消掉交叉項2bxy．此時若平方項的系數(shù)都不為0，再進行平移變換

就得到方程的標準形式ax″2+cy″2=f″．旋轉(zhuǎn)和平移保持幾何圖形(圓、橢圓或雙曲線)不變，同時使主軸成為坐標軸，中心成為坐標原點．若消去交叉項后平方項的系數(shù)有一個為0另一個不為0，如c′y′2+d′x′+e′y′+f′=0．當d′≠0時，則平移后得到拋物線的標準方程c″y″2=d″x″．對方程的系數(shù)進行討論還會得到退化的點和直線.

4 圓錐曲線與射影幾何

射影幾何與解析幾何幾乎在同一時期產(chǎn)生，但解析幾何的光芒使得前者在很長的時間里未被重視．射影幾何研究的是幾何圖形在投影變換下保持不變的性質(zhì)．創(chuàng)立者德薩格(Desargues，1593—1662)首先將射影幾何的思想用于研究圓錐曲線，考察它的射影性質(zhì)，使圓錐曲線理論獲得了新發(fā)展．[4]158他在其著作《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》(1639)中將圓錐曲線直觀定義為：圓在平面上的投影(如圖9)．純粹的射影定義由施泰納(Jakob Steiner，1796—1863)在1832年給出：二次曲線是兩族射影相關(guān)的線束中相應直線交點的軌跡．[8]217，[9]35

圖9

文藝復興時期繪畫的透視法工作提出了問題：如圖10，在光源O的投影下，實物ABCD與其投影截景A′B′C′D′有哪些性質(zhì)保持不變？一個實物的同一投影的兩個截景有什么共同的幾何性質(zhì)(如圖11)？透視法問題實質(zhì)是一個投影下的不變性問題——射影幾何的課題．德薩格最先探索了這些問題并發(fā)現(xiàn)：原圖與截景的交比、對合關(guān)系在投影下保持不變．只要改變截景平面的位置，就可使圓的截景從圓連續(xù)變?yōu)闄E圓、拋物線和雙曲線．德薩格把圓錐曲線理解為圓在同一投影下的不同截景——圓錐曲線的重要射影性質(zhì)，由此將圓的性質(zhì)推到任一類圓錐曲線上．德薩格通過投影和截景提供了統(tǒng)一處理圓錐曲線的簡便方法.

圖10

圖11

早期的射影幾何學家追求純粹的綜合法處理問題，解析幾何的發(fā)展促使后來的數(shù)學家用代數(shù)的方法研究這一學科，獲得了許多新的圓錐曲線射影性質(zhì)．沿著這一方向人們開始尋求幾何圖形在不同坐標系下保持不變的那些性質(zhì)并促成了對代數(shù)不變量的研究，這屬于代數(shù)幾何的范疇．[9]97

用綜合法證明圓的截景一定是圓錐曲線的一個直觀簡潔的初等證明是由比利時數(shù)學家G. F. Dandelin 1822年給出的．[10]161以橢圓為例，如圖12，在截面的上、下方各作一個與圓錐內(nèi)切的球，同時和截面相切于F1,F2．在截面的交線上任取一點P，連接OP交兩球的切圓于點M,N．由相切和球的性質(zhì)容易得到：PF1=PN,PF2=PM,則PF1+PF2=PN+PM=MN,而MN為定值，F(xiàn)1,F2為定點，得證．G. F. Dandelin也利用同一個模型證明了圓錐曲線原始定義與焦點-準線定義的等價性.

圖12

5 圓錐曲線與線性代數(shù)

線性代數(shù)產(chǎn)生于17、18世紀，在19世紀獲得輝煌成就．它通過向量、矩陣和行列式大大簡化了幾何的證明和計算，使得許多幾何內(nèi)容被包含在其中．簡言之，幾何所研究的只是在線性變換下仍保持不變的坐標之間的關(guān)系，即線性變換的不變量理論．線性代數(shù)中的重要內(nèi)容——二次型理論就是研究線性空間中的幾何圖形在不同坐標基下的矩陣表示．[11]246

二次型的研究起源于對二次曲線和二次曲面分類問題的討論．[12]3521826年柯西(Cauchy，1789—1857)在其著作中給出結(jié)論：當方程是標準型(只含平方項)時，二次曲線(面)用二次項的符號來進行分類．西爾維斯特(1814—1897)在1852年給出了n個變量的二次型的慣性定律說明方程為什么通過不同變換化簡成標準型時總是得到同樣數(shù)目的正項和負項，即保持慣性指數(shù)不變．這個定律后來被雅可比重新發(fā)現(xiàn)和證明．慣性指數(shù)是不變量，與基底即坐標的選擇無關(guān)，因此利用其對二次型進行分類討論．

二次型也稱為“二次形式”，指只含有二次項的n元多項式，即為：

=xTAx.

(Ⅰ)

上式只含平方項時稱為二次型的標準型：

(Ⅱ)

對稱矩陣A和對角型矩陣Λ稱為二次型的矩陣.

我們可以通過正交變換x=Qy(Q為正交矩陣)把二次型(Ⅰ)變?yōu)闃藴市?Ⅱ)，即f(x1,x2,…,xn)=xTAx=yT(QTAQ)y=yTΛy．求正交矩陣涉及到矩陣的特征值和特征向量的內(nèi)容．正交變換是剛體變換，表示空間中的一個旋轉(zhuǎn)，它保持向量的長度和角度不變，因此保持幾何圖形不變.

6 歷史的啟示

圓錐曲線的定義和研究方法的改變反映了幾何學的發(fā)展變化過程．數(shù)學的發(fā)展提供了更為簡潔的研究方法，數(shù)學家們依據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)給出不同定義以便于研究．而圓錐曲線的光學性質(zhì)、力學性質(zhì)及其與物體運動軌跡之間的關(guān)系是刺激人們不斷研究的最基本動因．這也恰恰表明生產(chǎn)生活的外部需要和數(shù)學內(nèi)部自身發(fā)展對數(shù)學的促進作用．此外，許多數(shù)學問題在初等數(shù)學的體系下很難揭示本質(zhì)，而只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能被深刻地理解．幾何也一樣，在歐氏幾何和解析幾何范疇下難以理清的現(xiàn)象在高等數(shù)學的結(jié)構(gòu)下則一目了然．如三種圓錐曲線的各自定義、統(tǒng)一定義及其性質(zhì)的密切聯(lián)系，從射影幾何的框架下看是很顯然的事實；一般二次曲線方程與圓錐曲線標準方程和統(tǒng)一方程之間的關(guān)系，它們都涉及到不變量的思想.

圓錐曲線的歷史揭示了其知識的起源與發(fā)展、思想方法及其應用價值，這正是數(shù)學教育教學的起點和探究的開始，從中可以創(chuàng)設(shè)合適的問題情境展開教學．依據(jù)歷史可知圓錐曲線相關(guān)知識的整體結(jié)構(gòu)如圖13．它反映了圓錐曲線與物理學、天文學和數(shù)學學科分支之間的聯(lián)系,研究方法和定義的變化．雖然中學的數(shù)學教材將圓錐曲線置于解析幾何的框架下進行討論，而未涉及射影幾何和線性代數(shù)的知識，但數(shù)學教師可由此從更高的視角審視圓錐曲線內(nèi)容,把握本質(zhì)以有效組織教學.

圖13

從歐氏幾何到解析幾何，再到射影幾何和線性代數(shù)中的二次型理論，圓錐曲線的定義經(jīng)歷了原始定義、平面上動點的軌跡定義、射影定義、標準方程定義、焦點-準線定義、代數(shù)方程的統(tǒng)一定義以及通過二次型的慣性指數(shù)進行分類研究的變化過程．表述方式也經(jīng)歷了由幾何靜態(tài)的直觀描述→幾何動態(tài)的度量性質(zhì)描述→射影性質(zhì)的描述→代數(shù)方程的形式描述的變化過程．而研究方法從歐氏幾何的純幾何綜合法→射影幾何的方法→以坐標為媒介的解析法→線性代數(shù)二次型的正交變換法，經(jīng)歷了由繁到簡，定性研究到定量研究，再到形式研究的變化．圖14反映了在歐氏幾何和解析幾何的框架下圓錐曲線定義的變化及相互關(guān)系.

圖14