幾何畫板環(huán)境下基于MPCK的數(shù)學教學設計

翁晨陽

[摘 要] MPCK本質(zhì)是教師如何將數(shù)學知識的學術形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，在教學過程具備顯著的知識意義. 本文通過對幾何畫板環(huán)境下基于MPCK的三角函數(shù)誘導公式的教學設計，展示誘導公式引入、推導、記憶鞏固的過程，分析并思考了幾何畫板與MPCK在教學設計中的應用方式及其意義.

[關鍵詞] 幾何畫板；MPCK；教學設計

概述

擁有知識的人，才能成為教師，已經(jīng)成為共識. 隨著時代與科技的不斷飛躍發(fā)展，“教師需要怎樣的知識”，以及如何有效地通過課堂教學達到教學目標，從知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀方面提升學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)，逐漸成為大家關注的熱點問題.

20世紀80年代，美國學者提出PCK（教學內(nèi)容知識）的概念——PCK是指教師開展教學活動時所具有的獨特知識. 2009年，黃毅英教授將PCK融入數(shù)學教學過程中，構(gòu)建了MPCK結(jié)構(gòu)模式，MPCK由數(shù)學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、關于數(shù)學學習的知識（CK）和關于教育技術的知識（TK）構(gòu)成. 隨著教師MPCK能力的不斷增強，其數(shù)學知識越豐富、教學方法越多樣、教學設計更加靈活，在教學過程中，能更好地依據(jù)學生學習特點以及認知風格，實現(xiàn)教學效果的最優(yōu)化.

幾何畫板，是現(xiàn)代信息教育技術中的可視化動態(tài)教育軟件，可以改變學生傳統(tǒng)的學習方式，激發(fā)學生的學習興趣的同時促進學生的數(shù)學學習. 利用幾何畫板創(chuàng)設問題情境，開展教學活動，有利于學生的觀察與思考，彌補傳統(tǒng)教學手段上的缺陷，促進教學活動開展的有效性.

基于此，MPCK理論有助于數(shù)學教師進一步發(fā)展對教師專業(yè)的認識，幫助教師“組織、呈現(xiàn)、調(diào)整”數(shù)學課堂的教學方式；幾何畫板則可以從教育技術角度，幫助教師實現(xiàn)可視化動態(tài)教學，彌補學生在直觀想象或數(shù)學運算方面存在的不足. 兩者都是提升數(shù)學教學有效性的重要途徑. 如何將MPCK理論與幾何畫板巧妙地融合，并應用于實際數(shù)學教學設計中，顯得極為重要.

本文以“三角函數(shù)的誘導公式”一課為例，以幾何畫板為主要工具，結(jié)合MPCK理論進行教學設計，并對該設計進行思考與分析.

1. 創(chuàng)設情境，引入課題

日常生活中，摩天輪在游樂場極為常見，其本質(zhì)是一個繞圓心不停轉(zhuǎn)動的圓，我們可以發(fā)現(xiàn)一些現(xiàn)象：不論轉(zhuǎn)幾圈，我們都會經(jīng)過同一地方；在一圈里面，我們會經(jīng)過兩個高度相同的地方……

提出問題：如果假設摩天輪在水平地面上，這里的高度可以視作什么三角函數(shù)？結(jié)合之前所學的三角函數(shù)的定義，如何去探究這種規(guī)律性呢？

設計意圖：由實際模型出發(fā)，引發(fā)學生思考，激發(fā)學生的問題意識，將現(xiàn)實生活與數(shù)學相聯(lián)系，緊密結(jié)合三角函數(shù)的定義，對前面所學知識進行及時鞏固，同時讓學生理解到學習三角函數(shù)誘導公式的必要性.

2. 借助圖像，直觀感知

事實上，摩天輪問題可以通過數(shù)學抽象形成一個數(shù)學問題，將摩天輪視作單位圓，摩天輪上的任意乘客即為在圓周上不停轉(zhuǎn)動的點. 教師在幾何畫板中將該模型呈現(xiàn)出來，其中O點即為摩天輪的圓心，A點即為摩天輪上的某一位游玩者在某一瞬間所處的位置. 通過度量角α，計算角所對應的三角函數(shù)值，點A為圓周上的任意一點，點擊動畫按鈕，讓點A即角的終邊OA繞圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，請學生觀察，在幾何畫板中的截圖如圖1所示.

提出問題：對于任意角α，終邊轉(zhuǎn)動，其對應的三角函數(shù)值有什么樣的變化規(guī)律？

教師指出：經(jīng)過同學們的觀察，發(fā)現(xiàn)了很多規(guī)律，比如，終邊經(jīng)過同一個點時，三角函數(shù)值永遠是一樣的，不隨角度的增大而增大；終邊關于x軸對稱時，對應的正弦值是一樣的……這些，實際上都說明單位圓上，終邊轉(zhuǎn)動其對應的三角函數(shù)值具有周期性以及對稱性.

設計意圖：由三角函數(shù)的定義出發(fā)，引導學生將生活中的實際問題抽象為一般的數(shù)學問題，從數(shù)學的角度思考摩天輪問題中所蘊含的規(guī)律，強化學生的數(shù)學抽象素養(yǎng). 借助幾何畫板動態(tài)可視化的優(yōu)點，可以幫助學生產(chǎn)生更加直觀的感知，進而引導學生通過對終邊旋轉(zhuǎn)過程的觀察，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出終邊位置對應的角與三角函數(shù)值的關系及變化的多方面規(guī)律，充分激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)學生主動思考的能力.

3. 抽象思維，公式推導

在情境創(chuàng)設與問題引入階段，教師引導學生觀察并探索終邊、角、三角函數(shù)值之間的一般性規(guī)律，包括對稱性、周期性等多方面的規(guī)律，從三角函數(shù)應當具備的性質(zhì)出發(fā)進行探究. 在本環(huán)節(jié)，教師需引導學生由一般到特殊，即以在直觀感知過程中發(fā)現(xiàn)的一個規(guī)律為例，進行抽象思維與公式推導.

誘導公式圍繞三角函數(shù)的周期性以及對稱性展開，在此，筆者以終邊具有對稱關系的角為例，結(jié)合幾何畫板對公式推導的教學過程進行設計.

圖2是在幾何畫板中依次作出角的終邊OA分別關于x軸、y軸、原點對稱的終邊，計算各個終邊所對應角的三角函數(shù)值，教師向?qū)W生展示在幾何畫板中，隨著點A的轉(zhuǎn)動，相應三角函數(shù)值的變化情況.

2. 關于三角函數(shù)誘導公式教學的幾點思考

（1）從特殊到一般還是從一般到特殊？

不論是從特殊到一般還是從一般到特殊，兩者都可以較好地呈現(xiàn)三角函數(shù)的誘導公式，筆者認為，該節(jié)課中從一般到特殊，更有利于對學生發(fā)散思維的培養(yǎng)，促使學生從不同角度思考問題、發(fā)現(xiàn)問題，從特殊到一般，容易出現(xiàn)學生過于關注一開始教師給的特殊情況：特殊三角函數(shù)值的計算，進而忽略了對誘導公式應有地位的把握.

（2）“任意”如何更好地體現(xiàn)？

通過對其他教師的教學設計進行觀摩，筆者發(fā)現(xiàn)，任意角實際上就是規(guī)律的一般情況，部分教師會采取多試幾個特殊值的方式，直接跳到任意角，沒有學生自我檢驗的過程，因此，利用幾何畫板這一動態(tài)可視化工具，可以直觀地向?qū)W生展示角的任意性，不會局限學生的思維.

結(jié)束語

基于MPCK理論，結(jié)合幾何畫板進行數(shù)學教學設計，可以實現(xiàn)課堂教學效果的最優(yōu)化，教師應當提升自己的MPCK能力以及對現(xiàn)代教育技術的掌握水平，才可以推動學生數(shù)學核心素養(yǎng)的全面提升與發(fā)展.