中考微專題教學(xué)：由淺及深與同類跟進(jìn)
——以拋物線“內(nèi)接三角形”問題為例

☉江蘇省海安市海陵中學(xué) 李海鳳

二次函數(shù)的圖像是拋物線，各地中考以拋物線為背景，結(jié)合其“內(nèi)接三角形”進(jìn)行探究的習(xí)題豐富多彩，本文關(guān)注拋物線結(jié)合其“內(nèi)接特殊三角形”與一元二次方程之間的對應(yīng)關(guān)系（即“形數(shù)對應(yīng)”），為了便于教學(xué)研究，我們以習(xí)題教學(xué)的形式構(gòu)思了一節(jié)中考微專題教學(xué)課例，現(xiàn)梳理出來，分享給大家.

一、拋物線“內(nèi)接三角形”習(xí)題課例概述

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).

（2）當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，求證：ac=-1.

教學(xué)預(yù)設(shè)：（1）令y=0，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根）對應(yīng)著B、A兩點(diǎn)的橫坐標(biāo).于是

圖1

（2）由△ABC是直角三角形，可證△AOC △COB，把對應(yīng)邊的比例式轉(zhuǎn)化為乘積式，得OC2=OA·OB.接下來“從形到數(shù)”，把它們對應(yīng)的“坐標(biāo)”代入乘積式，得c2=，化簡可得ac=-1.

教學(xué)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形對應(yīng)、數(shù)形互助的數(shù)學(xué)思想方法.可以使用如下的板書設(shè)計(jì)幫助學(xué)生理解這里的數(shù)形對應(yīng).

跟進(jìn)練習(xí)：已知二次函數(shù)y=3x2+bx+c的圖像與坐標(biāo)軸分別交于A、B、C三點(diǎn)，若△ABC是直角三角形，則c的值為______.

解題預(yù)設(shè)：根據(jù)例1（2）中的結(jié)論“當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，ac=-1”，可直接寫出3c=-1，解得c=-.

例2平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn).

（1）若△ABC為直角三角形，求證：b2-4ac=4；

（2）若△ABC為等邊三角形，求證：b2-4ac=12；

（3）若△ABC中∠ACB=120°，求證：b2-4ac=.

教學(xué)預(yù)設(shè)：根據(jù)題干信息，有如下一些準(zhǔn)備工作.畫出圖2進(jìn)行分析（設(shè)a＞0，拋物線開口向上），結(jié)合拋物線的對稱性質(zhì)可確認(rèn)△ABC一定是等腰三角形，且CA=CB.接著拋物線y=ax2+bx+c與x軸（即直線y=0）交于A、B兩點(diǎn).則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)對應(yīng)著關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根，可算出AB的長為.表示出拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)作CH⊥AB交x軸于H，則等腰三角形ABC底邊上的高CH就是

圖2

（1）若△ABC為直角三角形，則△ABC為等腰直角三角形，則AB=2CH，則，變形得b2-4ac=4.

講評提醒：貫通思路之后，可以與例1中提醒學(xué)生數(shù)形對應(yīng)的板書一樣，給出相應(yīng)的板書（略）.

拓展預(yù)設(shè)：因?yàn)閤軸就是直線y=0，還可將x軸一般化為直線y=n，有如下更一般的情形與性質(zhì).

走向一般：如圖3，平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n交于A、B兩點(diǎn).拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0.若△ABC為直角三角形，是否有b2-4a（c-n）=4？

簡證：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0的兩根為，可算出AB的長為.表示出拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)），如圖3，作CH⊥AB交直線AB于H，則等腰三角形ABC底邊上的高CH就是

圖3

若△ABC為直角三角形，則△ABC為等腰直角三角形，則AB=2CH，則，變形得b2-4a（c-n）=4，仍然滿足一元二次方程ax2+bx+c-n=0的Δ=4.

類似的，仍然可證得：若△ABC為等邊三角形，有b2-4a（c-n）=12；若△ABC中∠ACB=120°，有b2-4a（cn）=.

跟進(jìn)練習(xí)：（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，頂點(diǎn)為C，且b2-4ac=4，則∠ACB的度數(shù)為（ ）.

A.30° B.45° C.60° D.90°

（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a≠0）的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C.若△ABC恰好是等邊三角形，求代數(shù)式b2-2（2a-3）的值.

預(yù)設(shè)解答：根據(jù)例2，對于（1），可直接看出∠ACB為90°；對于第（2）問，稍加包裝，把代數(shù)式b2-2（2a-3）展開整理得b2-4a+6，再對照二次函數(shù)表達(dá)式中常數(shù)項(xiàng)c=1，將待求式子轉(zhuǎn)化為b2-4ac+6，結(jié)合△ABC恰好是等邊三角形，可得b2-4ac=12，于是代數(shù)式b2-2（2a-3）的值為18.

二、教學(xué)思考

1.加強(qiáng)同類收集，是數(shù)學(xué)解題研究的一種追求

教師的解題研究不能滿足于解一題丟一題，而要注意收集、關(guān)聯(lián)同類習(xí)題，并及時(shí)整理存檔，重視個(gè)人教學(xué)素材庫的建設(shè).筆者的一般做法是，在電腦上有相應(yīng)的文件夾，想好同類題的主題命名文件夾，比如，本文關(guān)注的主題可命名為“主題關(guān)注 拋物線與內(nèi)接三角形 形數(shù)對應(yīng)”，這樣日后檢索資料時(shí)可以根據(jù)不同的關(guān)鍵詞很快查找到，而且后續(xù)有類似的素材更新時(shí)，也可繼續(xù)添加到相應(yīng)主題的文件夾中.

2.重視解后回顧，讓解題研題服務(wù)于習(xí)題教學(xué)

解后回顧對于師生的解題都是十分必要的，是加深理解、增強(qiáng)記憶的好方法.特別是教師解后回顧，不但要想清問題的結(jié)構(gòu)與本質(zhì)，還可從服務(wù)習(xí)題教學(xué)的角度進(jìn)行思考，問題還有哪些可能的變式？已有性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)能否進(jìn)行推廣？上文例2的教學(xué)拓展，就是這方面的一個(gè)重要應(yīng)用.習(xí)題課教學(xué)中，注重變式，善于引導(dǎo)學(xué)生“走向一般”思考問題的習(xí)慣，不但對一道習(xí)題的理解更加深刻，達(dá)到解一題、會(huì)一類的效果，更重要的是向?qū)W生傳遞了數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，比如數(shù)學(xué)的抽象思想、一般化及模型思考.

3.構(gòu)思板書設(shè)計(jì)，使習(xí)題教學(xué)難點(diǎn)得到化解

習(xí)題課教學(xué)也需要經(jīng)營板書，而不是雜亂無章的解題步驟，而且除了解題步驟的構(gòu)思、排版，對于關(guān)鍵步驟、重要的轉(zhuǎn)化策略、解題難點(diǎn)，還需要有另外的板書構(gòu)思，這也是教學(xué)藝術(shù)的體現(xiàn).在上文例1、例2思路講解之后，我們分別給出兩處體現(xiàn)“形數(shù)對應(yīng)”的板書設(shè)計(jì)，通過不同標(biāo)注、箭頭示意等形象的方式呈現(xiàn)出來，根據(jù)教學(xué)觀察，多數(shù)學(xué)生在記錄課堂筆記時(shí)，對老師這種精心設(shè)計(jì)、形象的板書細(xì)節(jié)，都能“完好”地記錄在他們的聽課筆記上，也對他們理解難點(diǎn)起到很好的幫助作用.