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    數(shù)列中遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式(構(gòu)造法)

    2018-10-20 10:53張亦新
    文理導(dǎo)航 2018年17期
    關(guān)鍵詞:構(gòu)造法數(shù)列

    張亦新

    【摘 要】數(shù)列在高考中分值占比較高,已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,出現(xiàn)的頻率較高。本文對(duì)數(shù)列已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,采用構(gòu)造法進(jìn)行分析、研究、歸類(lèi)、拓展,能夠有效提高學(xué)生解題的能力,從而促使學(xué)生邏輯思維更加嚴(yán)密,培養(yǎng)良好的思維習(xí)慣和素養(yǎng)。

    【關(guān)鍵詞】數(shù)列;遞推關(guān)系;通項(xiàng)公式;構(gòu)造法

    求數(shù)列通項(xiàng)公式是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,中學(xué)數(shù)學(xué)課本中,只有等差數(shù)列與等比數(shù)列可以直接利用公式求通項(xiàng),有些數(shù)列提供遞推關(guān)系可通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,利用等差或等比的通項(xiàng)公式,求得原數(shù)列的通項(xiàng)公式,體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化思想在數(shù)列中的靈活應(yīng)用。

    解決數(shù)列問(wèn)題過(guò)程中,定向思考由條件到結(jié)論,有時(shí)這種思維方式難以尋找到解題途徑。此時(shí),需要換角度思考,設(shè)法繞過(guò)障礙。數(shù)列中構(gòu)造法本質(zhì)就是將未知關(guān)系轉(zhuǎn)化為已知的等差或等比關(guān)系,是根據(jù)已知條件的特征,構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化,體現(xiàn)發(fā)散思維。本文就數(shù)列中已知遞推關(guān)系采用構(gòu)造法求通項(xiàng)公式,進(jìn)行總結(jié)、歸類(lèi)、拓展。

    1.已知遞推關(guān)系a =p·a +f(n)(本文中都滿(mǎn)足p為常數(shù)且p≠0,p≠1)求通項(xiàng)

    1.1已知遞推關(guān)系中f(n)=q(q為常數(shù))求通項(xiàng)

    例1:已知數(shù)列{a }中,a =-1,a =3a +1,求通項(xiàng)公式a 。

    本例構(gòu)造法思想就是設(shè)法將常數(shù)1分解到a 與a 上去,可采用待定系數(shù)法,設(shè)每項(xiàng)分到x,即a +x=3(a +x),化簡(jiǎn)得a =3a +2x,與原式對(duì)比解得x= ,這說(shuō)明{a + }為等比數(shù)列,所以a + =- ·3 ,從而得a =- ·3 - 。

    遞推關(guān)系形如a =p·a +q,可構(gòu)造a - =p(a - ),即{a - }為等比數(shù)列,從而求得通項(xiàng)a 。

    1.2已知遞推關(guān)系中f(n)=A·n+B求通項(xiàng)

    例2:已知數(shù)列{a }中,a =-1,a =3a +2n+1,求通項(xiàng)公式a 。

    本例可設(shè)a +x·(n+1)+y=3(a +x·n+y),化解后a =3a +2x·n+2y-x,對(duì)比原式解方程組得到x=1,y=1,即{a +n+1}為首項(xiàng)1公比3的等比數(shù)列,所以a +n+1=3 ,從而a =3 -n-1。

    遞推關(guān)系形如a =p·a +A·n+B,構(gòu)造{a +x·n+y}成等比數(shù)列,通過(guò)待定系數(shù)法可求得x,y。同理,a =p·a +f(n),f(n)為二次函數(shù),三次函數(shù),都可類(lèi)似構(gòu)造。

    1.3已知遞推關(guān)系中f(n)=p 求通項(xiàng)

    例3:已知數(shù)列{a }中,a =-1,a =3a +3 ,求通項(xiàng)公式a 。

    本例特點(diǎn)系數(shù)3與底數(shù)一樣,等式左右同除以3 ,得到 = +1,這說(shuō)明{ }為等差數(shù)列,所以 =n- ,從而a =(n- )·3 。

    遞推關(guān)系形如a =p·a +A·p ,可構(gòu)造{ }成等差數(shù)列,通過(guò)等差數(shù)列公式可求得通項(xiàng)a 。

    1.4已知遞推關(guān)系中f(n)=q 求通項(xiàng)

    例4:已知數(shù)列{a }中,a =-1,a =3a +2 ,求通項(xiàng)公式a 。

    本例特點(diǎn)系數(shù)3與底數(shù)2不同,可將等式左右同除以2 ,得到 = · +1,可設(shè)b = ,則b = ·b +1,用例1方法解得b =( ) -2,從而求得a =3 -2 。

    也可將2 分解到a 與a 上,設(shè)a +x·2 =3(a +x·2 ),得a =3a +x·2 ,對(duì)比原遞推關(guān)系x=2,即{a +2·2 }為等比數(shù)列,所以a +2·2 =3 ,得a =3 -2 。

    遞推關(guān)系形如a =p·a +A·q ,可兩邊除以q ,轉(zhuǎn)化為例1形式構(gòu)造成等比數(shù)列;也可直接利用待定系數(shù)法設(shè)成a +x·q =p(a +x·q ),構(gòu)造{a +x·q }成等比數(shù)列,對(duì)比原式求得x,從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式,求出通項(xiàng)a 。

    1.5已知遞推關(guān)系中f(n)=A·q +B·n+C求通項(xiàng)

    例5:已知數(shù)列{a }中,a =-1,a =3a +2 +2n+1,求通項(xiàng)公式a 。

    本例可設(shè)a +x·2 +y·(n+1)+z=3(a +x·2 +y·n+z),化解后,a =3a +x·2 +2y·n+2z-y,解得x=2,y=1,z=1,即構(gòu)造{a +2·2 +n+1}為等比數(shù)列,求得a +2·2 +n+1=3 ,解得a =3 -2 -n-1。

    遞推關(guān)系形如a =p·a +A·q +B·n+C,構(gòu)造{a +x·q +y·n+z}成等比數(shù)列,利用待定系數(shù)法可求x,y,z,從而求出通項(xiàng)a 。

    2.已知二階線性遞推關(guān)系,求通項(xiàng)

    2.1已知遞推關(guān)系a =A·a +B·a (A,B為常數(shù),且A≠0,B≠0以下相同)求通項(xiàng)

    例6:已知數(shù)列{a }中,a =-1,a =1,a =4a -3a ,求通項(xiàng)公式a 。

    可設(shè)a +x·a =y·(a +x·a ),化解后a =(y-x)·a +xy·a ,對(duì)比已知遞推關(guān)系, y-x=4,解得 x=-1,或

    x·y=-3 y=3

    x=-3

    y=1兩組解的意思是兩種分解方式。第一種分解得a -a =3(a -a ),這說(shuō)明{a -a }為等比數(shù)列,a -a =2·3 ,利用累加法可得a =3 -2;第二種分解方式得a -3a =a -3a ,{a -3a }首項(xiàng)為4公比為1的等比數(shù)列,或者首項(xiàng)為4公差為0的等差數(shù)列,得到a -3a =4,轉(zhuǎn)化為例1的問(wèn)題,可得a =3 -2。兩種分解得到的結(jié)果是一致的,因此解題時(shí)只需一種即可。

    (下轉(zhuǎn)第29頁(yè))(上接第27頁(yè))

    遞推關(guān)系形如a =A·a +B·a 可構(gòu)造成{a +x·a }成等比數(shù)列,得到的結(jié)果為a =-x·a +A·q ,可利用例4的方式求解。

    2.2已知遞推關(guān)系a =A·a +B·a +C·n+D求通項(xiàng)

    例7:已知數(shù)列{a }中,a =-1,a =1,a =5a -6a +2n-3,求通項(xiàng)公式a 。

    設(shè) =t,得a =(t-x)a +tx·a +(ty-y)·n+tz-z-y,對(duì)比已知得

    t-x=5, x=-2或 x=-3,

    t·x=-6 t=3 t=2

    ty-y=2 y=1 y=2

    tz-z-y=-3 z=-1 z=-1兩組解表示兩組分

    解,第一種分解可得{a -2a +n-1}為等比數(shù)列,a -2a +n-1=3 ,得到a =2a +3 -n+1,轉(zhuǎn)化為例5的形式,可構(gòu)造{a -3 -n}為等比數(shù)列,可得a =3 -5·2 +n。對(duì)于第二種分解,同理可得同樣的結(jié)果。

    遞推關(guān)系形如a =A·a +B·a +C·n+D,可構(gòu)造{a +x·a +y·n+z}成等比數(shù)列,得形如a =p·a +A·q +B·n+C,變?yōu)槔?同類(lèi),構(gòu)造{a +x·q +y·n+z}成等比數(shù)列,從而求得a ,需要二次構(gòu)造。

    3.已知分式遞推關(guān)系,求通項(xiàng)

    3.1遞推關(guān)系形如a = ,求通項(xiàng)

    例8:已知數(shù)列{a }中,a =-1,a = ,求通項(xiàng)公式a 。

    本例特點(diǎn)是分子僅含a 的項(xiàng),且系數(shù)與分母常數(shù)相同,通過(guò)倒數(shù)得到 = + ,構(gòu)造{ }成等差數(shù)列,求得a = 。

    遞推關(guān)系形如a = ,可通過(guò)倒數(shù),構(gòu)造{ }成等差數(shù)列,從而求得通項(xiàng)a 。

    3.2遞推關(guān)系形如a = ,求通項(xiàng)

    例9:已知數(shù)列{a }中,a =-1,a = ,求通項(xiàng)公式a 。

    本例倒數(shù)之后可得 = · + =,設(shè)b = ,則b = b + ,形如例1形式,可求得b =1-2·3 ,從而a = 。

    遞推關(guān)系形如a = ,可通過(guò)倒數(shù),構(gòu)造{ +X}成等比數(shù)列,求得通項(xiàng)a 。

    3.3遞推關(guān)系形如a = (C≠0且AD-BC≠0),求通項(xiàng)

    可利用不動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造,設(shè)特征方程x= ,解得方程的根,根據(jù)根的情況進(jìn)行構(gòu)造,分為有兩個(gè)不同的實(shí)根與兩個(gè)相同的實(shí)根兩種情況,如下進(jìn)行分類(lèi):

    3.3.1特征方程有兩個(gè)不同實(shí)根

    例10:已知數(shù)列{a }中,a =2,a = ,求通項(xiàng)公式a 。

    設(shè)特征方程x= ,解得兩根為1與-1,則可設(shè) =t· ,(t為常數(shù)),根據(jù)已知關(guān)系,可得a = ,將a ,a 代入得到t=-3,這說(shuō)明{ }是首項(xiàng)為3公比為-3的等比數(shù)列, =-(-3) ,解得a = 。

    遞推關(guān)系形如a = ,如果特征方程x= 有兩不同實(shí)根α,β,可構(gòu)造{ }成等比數(shù)列,公比可由第一與第二項(xiàng)求得,利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式,解出通項(xiàng)a 。

    3.3.2特征方程有兩個(gè)相同實(shí)根

    例11:已知數(shù)列{a }中,a =2,a = ,求通項(xiàng)公式a 。

    設(shè)特征方程x= ,解得兩相同根x=- ,則可設(shè) = +t,根據(jù)已知關(guān)系a = ,將a ,a 代入得到t=1,這說(shuō)明{ }是首項(xiàng)為 公差為1的等差數(shù)列,所以 =n- ,從而解得a = 。

    遞推關(guān)系形如a = ,如果特征方程x= 有兩相同實(shí)根α,可構(gòu)造{ }成等差數(shù)列,公差可由第一與第二項(xiàng)求得,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式,解出通項(xiàng)a 。

    本文通過(guò)研究三類(lèi)數(shù)列遞推關(guān)系,構(gòu)造求得通項(xiàng),歸納總結(jié)方法。深刻理解遞推公式與通項(xiàng)公式概念,有利于優(yōu)化思維品質(zhì),提高邏輯能力;在數(shù)列課的教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法求通項(xiàng),不僅能提高學(xué)生的解題能力,更重要是通過(guò)這種解題方法可豐富學(xué)生的想象力,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。

    數(shù)列遞推公式轉(zhuǎn)換為通項(xiàng)公式,觀察、分析,合理變形,是成功構(gòu)造新數(shù)列的關(guān)鍵。它的本質(zhì)就是將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,化繁為簡(jiǎn)、把未知轉(zhuǎn)化為已知、從不熟悉到熟悉,這是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的共性。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]任志鴻.高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)[M].知識(shí)出版社,2016年12月

    [2]王朝銀.步步高高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)[M].黑龍江教育出版社,2017年2月

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