巧構(gòu)輔助圓，解法天然成

陳國華

【摘要】設(shè)想，是對同一問題從各個(gè)不同的角度去觀察、思考、分析其特征，推測其解題的大致方向，構(gòu)思各種不同的處理方案，這是在解題過程中探究解題途徑的基本方法.近幾年的中考的熱點(diǎn)問題——利用動點(diǎn)求最值問題及長期以來競賽中的四點(diǎn)共圓，一直是很多考生難以逾越的一道屏障，普遍得分率偏低，究其原因是此類題用常規(guī)方法很難解決問題，而且不容易找到思路，大部分考生都只能選擇放棄.然而靜下心來細(xì)細(xì)品味，不難發(fā)現(xiàn)這類題目的解題思路有共同的地方.如果能利用設(shè)想構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形來給予輔助，往往能促使問題轉(zhuǎn)化，使問題中原來隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的環(huán)境中清晰地展現(xiàn)出來，從而簡捷地解決問題，這種解題方法稱為構(gòu)造法.這種方法充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想，使代數(shù)與幾何等知識相互滲透，綜合應(yīng)用，它不但能較好地達(dá)到解題的目的，還有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法；輔助圓；解法自然生成

在針對這類題型解決問題時(shí)，常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才得以解決.可是大多數(shù)時(shí)候我們需要的圓并不存在（有時(shí)題設(shè)中沒有涉及圓；有時(shí)雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并不是我們需要用的圓），這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實(shí)際存在的隱形圓找出來.

1.利用圓的定義構(gòu)造輔助圓

案例1 （2014成都中考）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是.

分析 關(guān)鍵是根據(jù)題意得出A′的位置，可難點(diǎn)在于N點(diǎn)是動點(diǎn)，導(dǎo)致A′的位置隨N的移動而移動，初看似乎沒有思路，但是注意到運(yùn)動過程中有兩個(gè)不變量，一是M的位置不變；二是AM的長度不變，并且AM′=AM，由此我們可以聯(lián)想到圓的定義：平面內(nèi)，動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫作圓.那我們就以M點(diǎn)為圓心，AM為半徑作圓，A′的軌跡就是圓M.這樣，題目難度就大打折扣，現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)化為在圓上找一點(diǎn)A′使得圓外一點(diǎn)C到A′的距離最小.這個(gè)問題就轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的了，連接CM與圓的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)（如圖2），進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出A′C的長即可.

2.利用三角形的外接圓構(gòu)造

案例2 （2013武漢中考）如圖3，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AB上兩個(gè)動點(diǎn)，滿足AE=BF.連接CF交BD于點(diǎn)G，連接DE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長為2，則線段BH長度的最小值是.

分析 此題的難點(diǎn)在于動點(diǎn)太多，E，F(xiàn)兩點(diǎn)的移動，導(dǎo)致G，H兩點(diǎn)隨之移動，同時(shí)還有條件AE=BF做限制，看起來問題已經(jīng)陷入僵局，有一種“山窮水盡”的味道.與其就此放棄，不妨做一些大膽的嘗試.既然E，F(xiàn)兩點(diǎn)在移動過程中始終保證AE=BF，那就讓這兩個(gè)點(diǎn)取特殊位置.先考慮E，B兩點(diǎn)重合，F(xiàn)，A兩點(diǎn)重合，此時(shí)H，G和AC與BD的交點(diǎn)O三點(diǎn)重合，接著不斷改變E，F(xiàn)兩點(diǎn)的位置，做出H的運(yùn)動軌跡.

到此時(shí)我們再根據(jù)正方形的特殊性，容易得出H點(diǎn)的軌跡在以AD的中點(diǎn)O′為圓心，AD的一半為半徑的四分之一圓周上.現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)化為在圓O′上找一點(diǎn)H使得圓外一點(diǎn)B到H的距離最小.這樣原本很復(fù)雜的問題就得到自然轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到熟悉的知識框架中，圓外一點(diǎn)和圓上各點(diǎn)的連線段中最短線段必過圓心，于是連接BO′與圓的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)H（如圖4），進(jìn)而利用勾股定理求出BH的長即可.

3.利用四點(diǎn)共圓構(gòu)造輔助圓

案例3 如圖5，在ABCD內(nèi)取一點(diǎn)P，使∠1=∠2，求證∠3=∠4.

分析 本題和前面的題目有比較大的區(qū)別，在于之前的題目有動點(diǎn)，本題沒有.下面我們來考察求證相等的∠3同∠4是平行四邊形對角的部分，似乎只需∠PBC=∠PDC，但是這同原題沒什么分別，所以應(yīng)該另想其他辦法.由于題設(shè)ABCD為平行四邊形，可設(shè)法做輔助線，構(gòu)造出新的等角.因此，不妨過P點(diǎn)做AD的平行線，構(gòu)造新的平行四邊形，完成角的轉(zhuǎn)化，尋找突破口，為此我們不妨一試.

如圖5作平行四邊形APQD，則∠1=∠5，∠4=∠6，又PQ∥AD∥BC，PQ=AD=BC，得另一個(gè)平行四邊形BCQP，則∠3=∠8，由此，∠1=∠2=∠5=∠7，故P，C，Q，D四點(diǎn)共圓（如圖6），所以，∠6=∠8，從而∠3=∠4.