化歸思想在高中數(shù)學教學中的應(yīng)用探討

龔澤南

【摘 要】高中生數(shù)學成績不好最重要的原因是不會利用所學的數(shù)學知識解題?；瘹w思想作為高中數(shù)學的基礎(chǔ)思想，可以像橋梁一般把題目中難理解的部分變得清晰明了，以便學生更快、更簡單地解決問題，所以高中生學習化歸思想是有必要的，其不僅能提高學生的學習成績，還能培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】化歸思想；高中數(shù)學；應(yīng)用

數(shù)學家和數(shù)學教師們一直在強調(diào)數(shù)學思想的重要性與必要性，化歸思想是數(shù)學思想中的靈魂思想，在高中的數(shù)學學習中格外重要。在高中數(shù)學中運用化歸思想解題，可以做到更貼切的理解題目并快速找到需要的解題信息，將復雜問題簡單化，所以對于高中生來說，學習化歸思想并能熟練運用變得刻不容緩。

一、化歸思想的基本原則

（一）非標準型向標準型轉(zhuǎn)化

在高中的數(shù)學知識中我們大多都是對標準型的討論，比如對各種圓錐曲線標準方程和其圖像、對稱性等性質(zhì)的討論。所以在解決問題時，遇到不屬于標準形式的可以先進行轉(zhuǎn)換，變?yōu)闃藴市?，在使用各種基本定理解答題目。

（二）復雜問題向簡單轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學題目的結(jié)構(gòu)都會比較復雜，遇到這樣的題目可以先考慮通過某種運算使得結(jié)構(gòu)簡單化，便于下手。如在解關(guān)于絕對值的不等式時，第一步是利用絕對值意義將絕對值的絕對符號去掉，使之成為一般不等式在進行計算。

（三）陌生實例向熟悉轉(zhuǎn)化

數(shù)學題目的題型是千變?nèi)f化的，但萬變不離其宗，當遇到陌生的題目時，可以根據(jù)題目中個別熟悉的字眼將問題向相似的解答靠攏，這就是再向熟悉問題進行化歸。把問題化歸成熟悉問題時，就可以利用已經(jīng)有的經(jīng)驗進行解答。

（四）雜亂條件向和諧轉(zhuǎn)化

問題中最容易出現(xiàn)的陷阱就是題目給出的量在其單位或者表現(xiàn)形式上并不統(tǒng)一，此時我們需要對相應(yīng)的問題進行統(tǒng)一標準轉(zhuǎn)化，從而使得問題中的量在其單位或者表現(xiàn)形式上呈現(xiàn)出統(tǒng)一狀態(tài)。例如在三角函數(shù)問題中，題目總是給出不同名的三角函數(shù)，我們需要利用正弦定理、余弦定理等將其轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的函數(shù)名再進行計算。

（五）高層次向低層次轉(zhuǎn)化

學習每一科的知識，我們都是從低維次學起的，所以我們更容易掌握從低處所學的知識。遇到高層次的多元問題時，我們需要利用化歸思想換化多層次為低層次問題。如涉及立體幾何問題時，我們要根據(jù)題目中給出的條件把所求的問題放到相應(yīng)的平面中去解決；我們常說的消元法也就是利用了這個思想。

二、化歸思想在高中數(shù)學中的應(yīng)用

（一）函數(shù)中動與靜的相互轉(zhuǎn)化

在高中的函數(shù)中靜態(tài)函數(shù)值和動態(tài)的函數(shù)圖像單調(diào)性常常需要結(jié)合起來進行探討。在解決問題的過程中有些靜態(tài)的量根據(jù)我們現(xiàn)有的知識并不能給出具體的解答，所以我們需要排除一些困難將這樣的不確定通過動態(tài)的形式將數(shù)量表現(xiàn)出來，也就是說把靜態(tài)的量建立在動態(tài)圖形的模型上根據(jù)單調(diào)性來進行解答。這樣也就完成了函數(shù)靜態(tài)和動態(tài)之間的互相轉(zhuǎn)換。

例1：比較log 3和log 值的大小。

從題面上看，log 3和log 都是靜態(tài)的值，我們沒有辦法根據(jù)高中學到的知識點給出log 3和log 的具體值，這就需要對它進行靜態(tài)到動態(tài)的轉(zhuǎn)換。對于他們可以先建構(gòu)一個統(tǒng)一的函數(shù)log x，題目中的兩個值分別可以看做是建構(gòu)函數(shù)的自變量是3和 時的函數(shù)值，這樣就完成了靜到動的轉(zhuǎn)換。根據(jù)我們學到的知識畫出圖像可知函數(shù)log x在（0，+∞）的范圍內(nèi)時單調(diào)遞減函數(shù)，既而可以得到這道題的解答log 3

（二）不等式中的應(yīng)用

不等式知識點是高中數(shù)學必修知識中基礎(chǔ)又重要的部分，也是高考中的高頻考點。在高考中，不等式常常和函數(shù)方程糅合到一起進行考察。遇到這種考點時，我們可以利用化歸思想來把問題進行分解處理，讓解法變得簡潔明了。

比如，在“不等式恒成立求字母取值”問題中，我們常將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題以后，再化歸為不等式的求解問題。

例2：若不等式x -kx+k-1>0對x∈（1，2）恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是什么？

解決本題關(guān)鍵是先分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的范圍。本題體現(xiàn)了化歸思想在解決問題中的實際應(yīng)用，問題化成形如：a=f（x）或a>f（x）或af（x）恒成立 a>f（x）max；a0可以化成（1-x）k>1-x ，在其定義域內(nèi)構(gòu)造函數(shù)y=1+x，顯然函數(shù)是增函數(shù)，所以k的取值范圍是（-∞，2]。

（三）化歸思想在數(shù)列中的運用

數(shù)列是高考中大題的必出部分，等差和等比數(shù)列的通項、求和都是重點內(nèi)容，近年利用遞推公式求數(shù)列的通項也成了比較熱的問題。在練習的過程中就能發(fā)現(xiàn)數(shù)列比較靈活，并沒有比較統(tǒng)一的公式去進行概括，但是把普通數(shù)列通過轉(zhuǎn)換向等差數(shù)列或者等比數(shù)列靠攏再利用通項公式解決會比較簡單，在此又一次很好的體現(xiàn)了化歸思想的重要性。

例3：a =1，a -a =n-1，求a 。

左邊是類似于等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)，可以用累加的方法將左邊全部消除只留通項和首項，右邊累加化成等差數(shù)列，可得a -a =1+2+3+……+（n-1），利用等差數(shù)列通項公式可得a = （n -n+2）。

三、化歸思想在高中數(shù)學教學中的策略

（一）深度挖掘數(shù)學教材中的化歸思想

化歸思想是源于普通的數(shù)學基礎(chǔ)知識的，但又高于普通的數(shù)學基礎(chǔ)知識，是有規(guī)律可循的數(shù)學思想。所以，化歸思想不是一個固定的公式或者定理，它存在于許多的數(shù)學概念之中，這就需要我們在學習的過程中盡量的細化，要不斷地去總結(jié)，發(fā)現(xiàn)不同知識中的內(nèi)在聯(lián)系，并且分析其邏輯性和隱形含義，從而達到用思想去間接去引導知識，將知識點做到融會貫通。

（二）在教學中打好基礎(chǔ)，完善知識結(jié)構(gòu)

如果學生的大腦里沒有任何的數(shù)學概念、性質(zhì)是沒有辦法去培養(yǎng)他的數(shù)學思想的，相反的，如果學生們對知識點了如指掌那么在做題的過程中自然會呈現(xiàn)出手到擒來的感覺，所以進行化歸思想培養(yǎng)的前提是學生要掌握好數(shù)學中的基本知識點和結(jié)構(gòu)。為了幫助學生們打好數(shù)學基礎(chǔ)，教師也需要做到以下兩點。

首先，教師需要認真仔細的鉆研教材。只有當教師自己熟練掌握全盤知識， 才能在課堂給學生們講授時和盤托出。教師提前將瑣碎的知識點進行整理按照不同的模塊或者性質(zhì)整理建構(gòu)出自己熟知的知識體系，再通過該體系去引導學生進行自己的歸納整理。

其次，要堅持進行啟發(fā)式教學的原則。教師幫學生做的太多就會成為保姆似的教學，到最后學生只能做到死記硬背且眼高手低，難以發(fā)生知識的遷移。但如果以興趣進行啟發(fā)式教學，使得學生得到的知識點、方法和經(jīng)驗都是通過自己的整理得出，會記憶的更為深刻，運用也相對的靈活。

（三）培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)

（1）注重問題解決的過程性變式

利用化歸思想將抽象、不可知的問題化為具體、所熟知問題時需要一定的介質(zhì)和平臺，否則兩者之間無法建立起相應(yīng)的化歸關(guān)系。要做到這一步就需要學生的知識點掌握全面并且思維清晰、廣闊，能在看到問題以后就在腦海里調(diào)出相應(yīng)的公式，或者有類似題目的解題方案，善于變通從問題的不同角度去分析、觀察。教師在課堂除了講授知識點以外應(yīng)該開闊學生的思維，并且在這過程中可以穿插一些“過程性變式”，以備在做題過程中更好地對困難問題進行化歸。

（2）鼓勵聯(lián)想、類比

聯(lián)想就是因為某一概念或某一事物而響起的另一種相關(guān)的概念或者事物。我們習慣于用已知的知識去探究未知的知識，解題也是一樣。遇到難題時，需要通過聯(lián)想去把當前的問題歸結(jié)到以前學過的知識里，再通過經(jīng)驗去解決。這樣做的好處是常常能給待解決的問題提供許多的方向，從而能活躍學生的思維。

類比帶有主觀性，是指兩個事物之間會有某些性質(zhì)是相同或者相似的，那么就可以推斷這兩個事物之間其他的一些性質(zhì)也是相同或者相似的。雖然不能肯定所有的類比都是正確的，但是在做題過程中，根據(jù)類比可以提前確定好目標，然后再根據(jù)這個方向去做一些探索或者證明，也達到了活躍學生思維的目的。

四、結(jié)語

在高中數(shù)學里， 化歸思想并不僅僅用在于解決問題，它更是一種能力，一種有效的數(shù)學思維方式的顯示。充分地運用這種化歸思想的基本原則，可以將困難簡單化，讓難題也變得有跡可循。綜上所述，教師應(yīng)該在這種思想的培養(yǎng)上多下功夫，多元化的幫學生學會善于利用此思想去觀察問題。

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