定積分概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

董艷

【摘 要】定積分是微積分的核心概念之一，是微積分的重要組成部分。定積分的概念比較抽象，如何進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)是上好本節(jié)課的關(guān)鍵。本節(jié)課主要從求曲邊梯形的面積，建立定積分符號(hào)的原因以及它的幾何意義這三方面理解概念的，其中是以極限的思想為線索展開(kāi)的，最后以一個(gè)哲學(xué)的道理加深對(duì)概念的理解。

【關(guān)鍵詞】定積分；課堂設(shè)計(jì)；曲邊梯形；幾何意義；極限

前言

本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念為：敢于提出問(wèn)題、形象解決問(wèn)題、用心感悟問(wèn)題。通過(guò)學(xué)生預(yù)習(xí)探究環(huán)節(jié)提出問(wèn)題；通過(guò)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題；通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)體會(huì)到其中的哲學(xué)道理。設(shè)計(jì)特色：以學(xué)生預(yù)習(xí)探究引入， 提出理解概念的關(guān)鍵問(wèn)題點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生解決問(wèn)題，體會(huì)極限的重要作用，并從中體會(huì)數(shù)學(xué)的哲理，得出有益于學(xué)生的人生道理！

一、設(shè)計(jì)思想

教材分析：

定積分是微積分的核心概念之一，是微積分的重要組成部分；定積分的概念是定積分一切知識(shí)的源泉，對(duì)定積分概念的理解為后續(xù)有關(guān)它的計(jì)算和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，因此學(xué)好本節(jié)課是非常重要的。有關(guān)定積分的知識(shí)，學(xué)生高中接觸過(guò)，但是都是一些碎片化的知識(shí)，對(duì)它的了解只停留在簡(jiǎn)單的計(jì)算上，對(duì)概念的理解幾乎是零。定積分的概念較長(zhǎng)，也比較抽象，如何讓學(xué)生理解概念的思想是上好本節(jié)課的關(guān)鍵。

學(xué)情分析：

學(xué)習(xí)對(duì)象：一年級(jí)的高職新生。學(xué)習(xí)對(duì)象基礎(chǔ)概況：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱，比較注重形象思維，接受新知識(shí)能力較強(qiáng)。學(xué)習(xí)對(duì)象知識(shí)儲(chǔ)備：曲邊梯形的概念及面積計(jì)算。定積分的幾何意義學(xué)習(xí)對(duì)象能力特征：具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力。學(xué)習(xí)對(duì)象情感態(tài)度：對(duì)定積分概念的理解有強(qiáng)烈的興趣和求知欲。

二、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)分析

1.知識(shí)與技能目標(biāo)

通過(guò)預(yù)習(xí)探究，提出理解定積分概念的關(guān)鍵點(diǎn)。通過(guò)解決問(wèn)題，讓學(xué)生在理解概念的同時(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法以及極限思想的重要性。 通過(guò)學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、思考問(wèn)題的能力，并深刻的理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。

2.過(guò)程與方法目標(biāo)

通過(guò)對(duì)預(yù)習(xí)問(wèn)題的探究體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與哲學(xué)觀點(diǎn)的結(jié)合并提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

3.教學(xué)重點(diǎn)

定積分概念的內(nèi)容和對(duì)定積分概念的理解。

4.教學(xué)難點(diǎn)

對(duì)定積分概念的理解。重、難點(diǎn)突破措施：預(yù)習(xí)探究，問(wèn)題引入，數(shù)形結(jié)合，以情動(dòng)人、以理悟人，層層探究，哲學(xué)提升。

5.教學(xué)資源準(zhǔn)備

具備使用多媒體上課的教室，PPT課件一份。

三、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

本節(jié)課既然是學(xué)生高中接觸過(guò)的內(nèi)容，是否還有必要再學(xué)習(xí)！結(jié)合學(xué)生實(shí)際，通過(guò)以小組為單位進(jìn)行預(yù)習(xí)探究，提出問(wèn)題，此問(wèn)題恰是理解概念的核心之處。在講解概念時(shí)，從以下三方面展開(kāi)：

1.通過(guò)把概念內(nèi)容與求曲邊梯形面積的過(guò)程進(jìn)行比較，說(shuō)明兩者基本一致，顯然課前的預(yù)習(xí)過(guò)程是為概念講解做好鋪墊。

2.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)識(shí)來(lái)理解概念，明確建立符號(hào)的原因。

3.通過(guò)學(xué)生所熟悉的幾何意義的回顧，從“形”的角度理解概念，形象生動(dòng)，并對(duì)學(xué)生熟悉的內(nèi)容設(shè)計(jì)一個(gè)課下思考題，加深學(xué)生對(duì)概念的理解，同時(shí)也說(shuō)明了概念與求曲邊梯形面積的細(xì)微區(qū)別。

通過(guò)課堂小結(jié)，在梳理內(nèi)容的同時(shí)再次使重難點(diǎn)重現(xiàn)，本節(jié)課始終圍繞一條線索從多方位展開(kāi)，最后從理解概念的思想里悟出做事的一個(gè)道理，使得課堂主題得到升華！

四、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.預(yù)習(xí)探究

（1）教學(xué)內(nèi)容

①以一個(gè)學(xué)習(xí)小組同學(xué)預(yù)習(xí)上課內(nèi)容，提出疑問(wèn)作為本節(jié)課的引入。一：定積分既然是高中學(xué)過(guò)的內(nèi)容，是否還有必要學(xué)習(xí)呢？二：從定積分的作用出發(fā)，列舉一個(gè)與鐵路有關(guān)的具體實(shí)例，明確知識(shí)點(diǎn)與專業(yè)領(lǐng)域的銜接點(diǎn)。三：雖然知道定積分的作用，但是它在解決這些實(shí)際問(wèn)題中的思想是什么呢？四：用東漢末年曹沖稱象的故事類比求曲邊梯形面積的過(guò)程，其中最后一步學(xué)生不容易理解，從而提出疑問(wèn)。②提出的問(wèn)題正是理解概念的關(guān)鍵點(diǎn)。

（2）師生互動(dòng)

①上一節(jié)課老師留下作業(yè)，要求學(xué)生以小組為單位預(yù)習(xí)本節(jié)課。②老師通過(guò)藍(lán)墨云和QQ群發(fā)布課件，為學(xué)生預(yù)習(xí)提供依據(jù)。③老師要求學(xué)生將預(yù)習(xí)的視頻和預(yù)習(xí)中遇到的問(wèn)題通過(guò)藍(lán)墨云和QQ群進(jìn)行反饋，將表現(xiàn)好的小組視頻課前給大家播放，并對(duì)每個(gè)小組的表現(xiàn)打分。

（3）設(shè)計(jì)思路

問(wèn)題數(shù)學(xué)：以學(xué)生預(yù)習(xí)對(duì)話開(kāi)頭，提出問(wèn)題，引起學(xué)生上課的興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的積極性，學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂，激發(fā)學(xué)生求知欲，探索欲。同時(shí)“以已知探求未知”的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力、邏輯思維能力。

2.疑問(wèn)解答

（1）教學(xué)內(nèi)容

針對(duì)學(xué)生在預(yù)習(xí)中提出疑問(wèn)，進(jìn)行解釋：

①λ的含義

②λ→0表示的意思

③極限最終實(shí)現(xiàn)了什么

④從極限的思想出發(fā)，點(diǎn)破理解問(wèn)題的關(guān)鍵之處

（2）師生互動(dòng)

通過(guò)對(duì)λ含義的分析，討論，教師循序漸進(jìn)，借助圖形幫助學(xué)生理解極限的思想，并且將極限的思想上升為哲學(xué)領(lǐng)域，量變到質(zhì)變的飛躍。

（3）設(shè)計(jì)思路

借助圖形，幫助學(xué)生理解極限的思想，通俗易懂，并且將這個(gè)無(wú)限的過(guò)程用量變到質(zhì)變來(lái)形容，將問(wèn)題突破口打開(kāi)。

3.概念講解

（1）教學(xué)內(nèi)容

①定積分的概念與求曲邊梯形面積的關(guān)系

②定積分概念的內(nèi)容

③定積分符號(hào)的由來(lái)

i等式兩邊存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

ii定積分符號(hào)比和式極限表示簡(jiǎn)單

iii它們用各自的方法計(jì)算出的結(jié)果一致

④定積分的概念注意事項(xiàng)

⑤定積分的幾何意義

（2）師生互動(dòng)

引導(dǎo)學(xué)生明確數(shù)學(xué)概念都是拋開(kāi)諸多問(wèn)題的實(shí)際背景，只抽取實(shí)際問(wèn)題形式上的共同特性， 從而得出數(shù)學(xué)概念的。雖然概念比較長(zhǎng)，但是可以借助求曲邊梯形面積的過(guò)程理解其內(nèi)容。

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)建立定積分符號(hào)的原因也是理解概念的一個(gè)有效途徑。

最后引導(dǎo)學(xué)生站在“形”的角度對(duì)概念進(jìn)行理解，明確幾何意義和概念之間的關(guān)系。

（3）設(shè)計(jì)思路

由于學(xué)生高中對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是碎片化的知識(shí)，如何讓求曲邊梯形的面積，以及它的幾何意義合成一個(gè)整體是概念講解中需要考慮的問(wèn)題。從學(xué)生熟悉的定積分符號(hào)出發(fā)， 明確建立符號(hào)的原因，將為理解概念提供一個(gè)有效的渠道。

4.心得感悟

（1）教學(xué)內(nèi)容

最后的課堂小結(jié)，既整合內(nèi)容，又升華主題：

①本節(jié)課主要從求曲邊梯形的面積，建立定積分符號(hào)的原因以及它的幾何意義這三方面理解概念的。②在理解概念時(shí)，整個(gè)課堂主要抓住一個(gè)線索，就是極限的思想的理解，這也是理解概念的關(guān)鍵點(diǎn)。③極限的思想實(shí)現(xiàn)了由近似到精確的跨越，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了量變到質(zhì)變的飛躍，它也是數(shù)學(xué)中“以直代曲”思想的根源。④定積分解決問(wèn)題的思想也告訴我們一個(gè)道理：如果能將一個(gè)好的習(xí)慣堅(jiān)持下去，永不停止，一定會(huì)有一個(gè)意想不到的結(jié)果出現(xiàn)。

（2）師生互動(dòng)

通過(guò)最后的課堂小結(jié)，進(jìn)行碎片整理，重點(diǎn)重現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)了理解概念的關(guān)鍵點(diǎn)，并將主題升華為一個(gè)生活小道理，加深學(xué)生的印象。

（3）設(shè)計(jì)思路

學(xué)生通過(guò)課堂小結(jié)，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念，要學(xué)好概念就要理解極限的思想，將極限的思想上升到哲學(xué)領(lǐng)域，并且告訴學(xué)生人生中一個(gè)道理，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)本節(jié)課進(jìn)行升華。

五、結(jié)語(yǔ)

本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)中，緊緊圍繞學(xué)生在高中學(xué)習(xí)定積分時(shí)未能解決的問(wèn)題：即對(duì)概念的理解存在問(wèn)題和知識(shí)的碎片化現(xiàn)象， 其實(shí)概念的內(nèi)容和求曲邊梯形面積的步驟基本一致，而求曲邊梯形面積的過(guò)程學(xué)生是有所了解的，只是其中有一步?jīng)]有理解清楚，因此本節(jié)課從關(guān)鍵的這一步出發(fā)，特設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)探究，讓學(xué)生在預(yù)習(xí)的過(guò)程中自己提出問(wèn)題，并在課前進(jìn)行疑難解答，在講解概念時(shí)，自然水到渠成。

為了從數(shù)學(xué)符號(hào)的角度再次理解定義，因此從建立定積分符號(hào)的原因出發(fā)，對(duì)定義式進(jìn)行解釋，從而實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言理解定積分的目的。

【參考文獻(xiàn)】

[1]岳忠玉.高等數(shù)學(xué)[M].西北大學(xué)出版社，2014

[2]吳贛昌.實(shí)用高等數(shù)學(xué)[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社，2016

（基金項(xiàng)目：陜西高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目基金（項(xiàng)目編號(hào)：17GY021））