兩個(gè)不等式的應(yīng)用舉例*

江蘇省南京市金陵中學(xué) (210005)

于 健 徐美松

含指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的常見的兩個(gè)不等式分別為ex≥x+1(x∈R)①，lnx≤x-1(x>0)②．

上述結(jié)論可以通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1和g(x)=lnx-x+1，利用導(dǎo)數(shù)求它們的最值加以證明．從幾何的角度來看，直線y=x+1和y=x-1分別是曲線y=ex在(0,1)處、y=lnx在(1，0)處的切線；由不等關(guān)系可知y=x+1的圖像恒在y=ex的圖像的下方(除去切點(diǎn))，y=x-1的圖像恒在y=lnx的圖像的上方(除去切點(diǎn))．(①、②被形象稱為切線不等式)

在理解和記憶的基礎(chǔ)上，運(yùn)用這兩不等式進(jìn)行適當(dāng)放縮，可以將含有復(fù)雜的指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的求值證明問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的有理式(整式、分式)的求值證明問題，進(jìn)而將問題破解．

一、適時(shí)轉(zhuǎn)化 變繁為簡(jiǎn)

例1 (2013年新課標(biāo)卷)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)．當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)≥0．

簡(jiǎn)證：利用兩個(gè)結(jié)論ex≥x+1，lnx≤x-1得，f(x)=ex-ln(x+m)≥(x+1)-[(x+m)-1]=2-m≥0．

例2 (2013年清華大學(xué)等“華約”自主招生考試)已知f(x)=(1-x)ex-1．

(1)求證：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0；

(2)若數(shù)列{xn}滿足xne=e-1，x1=1，求證：{xn}遞減．

(2)欲證{xn}遞減，只要證xn>xn+1(xN+)，即證exn>exn+1,即欲證xnexn>xnexn+1=exn-1，只要證f(xn)=(1-xn)exn-1<0(xN+)，又由(1)知x>0時(shí)，f(x)<0，故證xn>0(xN+)．

當(dāng)n=1時(shí)，x1=1>0，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，xn>0正確，即xk>0；

又xkexk+1=exk-1>(xk+1)-1=xk，則exk+1>1，則xk+1>0，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，xn>0也正確．所以xn>0(xN+)成立，數(shù)列{xn}遞減．

總結(jié):例題1、2都聯(lián)系了不等式ex≥x+1，lnx≤x-1，再由代換思想得eg(x)≥g(x)+1，lng(x)≤g(x)-1．如ln(x+m)≤(x+m)-1，exk>xk+1．在例2第(2)小題長鏈條、多環(huán)節(jié)的解題過程中，解題者往往會(huì)有“山重水復(fù)疑無路”之感，當(dāng)再次嵌用了不等式

exk>xk+1，頓時(shí)“柳暗花明又一村”．

二、深度轉(zhuǎn)化 以靜制動(dòng)

例3 (2013江蘇高考)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù)．

(1)若f(x)在(1，+∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1，+∞)上有最小值，求a的取值范圍；

(2)若g(x)在(-1，+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

解:(1)略；

(ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)=lnx-ax在(0，+∞)上單調(diào)遞增．

3）串口通信使用的MSComm控件，并非Visual Studio自帶，而是VC++6.0的舊版本控件，雖然易于編程，但存在不便于軟件發(fā)布等問題。

總結(jié):關(guān)于零點(diǎn)的判斷，解答時(shí)大多都是通過具體賦值來判斷相應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)，其中自變量的賦值往往和參數(shù)有關(guān)，也正是因?yàn)檫@一點(diǎn)，還需要對(duì)函數(shù)值的符號(hào)加以證明，而如何賦值往往沒有頭緒．

例4 (2014福建高考)已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖像與y軸交于點(diǎn)A，曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為-1．

(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，x2

(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈(x0,+∞)，恒有x2

解:(1)略；(2)略；

(3)的證明：(方法一)不妨令x>0，則x2

令c′=lnc，上述問題轉(zhuǎn)化為：

對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)c′，存在x0≥0，使得當(dāng)x∈(x0，+∞)時(shí)，2lnx

記h″(x)為h′(x)的導(dǎo)函數(shù)，h?(x)為h″(x)的導(dǎo)函數(shù)．

例5 (無錫2015屆上學(xué)期期末)設(shè)函數(shù)f(x)=x2lnx-ax2+b在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為

y=-x+b．

(1)求實(shí)數(shù)a及x0的值；

解：(1)略；

令-x+b>0，則當(dāng)00．

從以上所舉例子中可以看到切線不等式在優(yōu)化問題解答中所發(fā)揮的巨大作用，類似的例子在高考?jí)狠S題中還有很多，我們可以把切線不等式根據(jù)題目中的條件進(jìn)行一系列的改造，這些派生的不等式在處理問題時(shí)會(huì)發(fā)生更大的作用.遵循本文給出的解題線索，讀者可以研究還有更多的派生不等式及其應(yīng)用.