圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題

廣東省深圳市南山區(qū)教育局?jǐn)?shù)學(xué)教研室 (518052)

周愛(ài)國(guó)

圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題是高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，是從動(dòng)態(tài)角度研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，綜合性較強(qiáng)，也是集中考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理能力、綜合分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，是考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí)的好素材，所以往往備受高考命題者的青睞．由于圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題與曲線(xiàn)有關(guān)，所以利用曲線(xiàn)性質(zhì)求解是其特有的方法．除此之外，它與函數(shù)中的最值求解也有類(lèi)似之處．下面介紹幾種常見(jiàn)求解方法．

1．定義轉(zhuǎn)化法

|PF|+|PA|的最小值為 .

圖1

解析:如圖1,設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F′，根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，有|PF|-|PF′|=2a=4，從而有|PF|+|PA|=

|PF|-|PF′|+|PA|+|PF′|=2a+|PA|+|PF′|，此時(shí)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PF′|的最小值，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F′三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得，其最小值為|AF′|=

評(píng)注:根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線(xiàn)之間的距離等，這是求圓錐曲線(xiàn)最值問(wèn)題的基本方法．本題借助雙曲線(xiàn)的定義把|PA|+|PF′|的最小值轉(zhuǎn)化為A,F′兩點(diǎn)間的距離，從而求得|PF|+|PA|的最小值．

變式已知點(diǎn)M是拋物線(xiàn)y2=4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，A在圓C：(x-4)2+(y-1)2=1上，則|MA|+|MF|的最小值為 ．

(參考答案：依題意得|MA|+|MF|≥

(|MC|-1)+|MF|=(|MC|+|MF|)-1，由拋物線(xiàn)的定義知|MF|等于點(diǎn)M到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)x=-1的距離，結(jié)合圖形不難得知|MC|+|MF|的最小值等于圓心C(4，1)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)x=-1的距離，即為5，因此所求的最小值為4．)

2．切線(xiàn)法

變式在拋物線(xiàn)y=4x2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線(xiàn)y=4x-5的距離最短．

3．參數(shù)法

評(píng)注:根據(jù)曲線(xiàn)方程的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)，把所求的最值歸結(jié)為求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)的最值的方法．本題充分利用了橢圓的參數(shù)方程，把兩個(gè)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題，簡(jiǎn)潔優(yōu)美．

4．函數(shù)法

解析:先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過(guò)圓心O1時(shí)|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值．設(shè)Q(x,y)，則|O1Q|2=x2+(y-2)2①

因?yàn)镼在橢圓上，則x2=9(1-y2)②

評(píng)注:把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)求最值，是求各類(lèi)最值最為普遍的方法．本題將所求最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，使問(wèn)題的解答過(guò)程酣暢流利．

變式在拋物線(xiàn)y=4x2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線(xiàn)y=4x-5的距離最短．

5．幾何法

圖2

評(píng)注:將圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題中的最值問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)，如對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、三角形三邊關(guān)系、平行線(xiàn)間距離等求解，本題的解答恰好利用了對(duì)稱(chēng)的思想，同時(shí)也充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想．

圖3

(參考答案：根據(jù)橢圓定義，有|MB|+|MC|=2a=8，∴|MA|+|MC|=|MA|+(8-|MB|)=8-(|MB|-|MA|)，為使|MA|+|MC|取得最小值，只需|MB|-|MA|取得最大值，此時(shí)必有A、B、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)才可以取得，這時(shí)有|MB|-

6．基本不等式法

(2)求直線(xiàn)AB的方程(用x0,y0表示)；

(3)求△MON面積的最小值．(O為原點(diǎn))．

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則PA、PB的方程分別為x1x+y1y=4,x2x+y2y=4，而PA、PB交于P(x0,y0)，即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，

∴AB的直線(xiàn)方程為：x0x+y0y=4．

評(píng)注:先將所求最值的量用變量表示出來(lái)，再利用基本不等式求這個(gè)表達(dá)式的最值．這種方法是求圓錐曲線(xiàn)中最值問(wèn)題應(yīng)用最為廣泛的一種方法．本題在最后一問(wèn)求解面積的最值時(shí)用到了基本不等式．

變式已知定點(diǎn)F(0，1)和直線(xiàn)l1：y=-1，過(guò)定點(diǎn)F與直線(xiàn)l1相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C．

(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；

圖4

解析：(1)由題設(shè)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離，∴點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．∴所求軌跡的方程為x2=4y．

(2)由題意直線(xiàn)l2的方程為y=kx+1，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，得x2-4kx-4=0．如圖4，記P(x1，

y1)，Q(x2，y2)，則x1+x2=4k，x1x2=-4．

∵直線(xiàn)PQ的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為