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    解析幾何中有關(guān)動(dòng)點(diǎn)最值題的解法探析

    2018-10-11 12:20:52江蘇省啟東市匯龍中學(xué)226200
    關(guān)鍵詞:動(dòng)點(diǎn)最值本題

    江蘇省啟東市匯龍中學(xué) (226200)

    殷春華

    動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是解析幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題,而且常常與解析幾何中的最值問(wèn)題有緊密的聯(lián)系.遇到此類問(wèn)題,學(xué)生經(jīng)常束手無(wú)策.在“動(dòng)”的過(guò)程中,尋找“定”,是解析幾何的核心問(wèn)題之一.這類問(wèn)題,??梢詫?duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探尋,利用點(diǎn)的軌跡來(lái)解決.現(xiàn)舉幾個(gè)例子加以分析說(shuō)明.

    類型一:動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線,利用點(diǎn)與直線的距離求最值.

    例1 過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作圓C:(x-3)2+(y-4)2=1的切線PQ,其中Q為切點(diǎn),若|PQ|=|PO|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則|PQ|的最小值為 .

    思路:本題中,點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn),PQ與PO均在變化.但圓C是個(gè)確定的圓,故PQ可利用切線長(zhǎng)定理求出,PO可利用兩點(diǎn)間距離公式求出.這兩個(gè)量在求解過(guò)程中,均要用到點(diǎn)P.因此,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),就可以得到關(guān)于x,y的等式,即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.由于|PQ|=|PO|,所以求|PQ|的最小值就是求|PO|的最小值.而動(dòng)點(diǎn)P的軌跡已經(jīng)求出,從而可以比較容易地解決問(wèn)題.

    解析:設(shè)點(diǎn)P(x,y),因?yàn)镻Q與圓C相切,所以PQ2=PC2-r2=(x-3)2+(y-4)2-1.又PO2=x2+y2.由PQ=PO知PQ2=PO2,得到(x-3)2+(y-4)2-1=x2+y2,化簡(jiǎn)可得3x+4y-12=0,即點(diǎn)P的軌跡是直線l:3x+4y-12=0.因?yàn)镻Q=PO,所以求PQ的最小值即求PO的最小值.而PO的最小值就是求一定點(diǎn)O到直線l:3x+4y-12=0上一動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值,顯然點(diǎn)O到直線l的距離最短.因此PQmin=POmin=

    類型二:動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓,利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求最值.

    解析:以AB邊所在的直線為x軸,AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系.

    類型三:動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線,利用直線與圓的位置關(guān)系求最值.

    例3 已知圓x2+y2=4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍為 .

    思路:在平面內(nèi),到直線12x-5y+c=0的距離為1的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是與該直線平行且距離為1的兩條直線l1和l2.現(xiàn)在圓x2+y2=4上要有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,因此,直線l1與l2均必須與圓x2+y2=4都有兩個(gè)公共點(diǎn),即直線l1與l2均必須與圓x2+y2=4都相交.利用直線與圓的位置關(guān)系就可以求出實(shí)數(shù)c的取值范圍.

    類型四:動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓,利用圓與圓的位置關(guān)系求最值.

    圖1

    由|PQ|=|PA|可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為一條直線,又由圓與圓的位置關(guān)系可把問(wèn)題解決.如果此題能從探索動(dòng)點(diǎn)的軌跡這個(gè)角度去思考,就能把比較難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

    上述動(dòng)點(diǎn)與最值結(jié)合的問(wèn)題,初看時(shí)均不知從何入手.經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析后,發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)均有一個(gè)共同特征:即動(dòng)點(diǎn)最終均滿足某個(gè)等式.從而可以探索出動(dòng)點(diǎn)所在的某個(gè)曲線,再解決最值問(wèn)題就顯得比較容易.

    類型五動(dòng)點(diǎn)的軌跡確定,利用對(duì)所求量變化趨勢(shì)的探索求最值.

    圖2

    例5 設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則實(shí)數(shù)x0的最大值為 .

    思路:本題點(diǎn)M與點(diǎn)N,事實(shí)上均為動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)M的軌跡已經(jīng)確定是直線y=1,點(diǎn)N的軌跡是圓O.如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng),本題將很難解決.

    因此,我們可以先假定點(diǎn)M“不動(dòng)”,為直線y=1上某一定點(diǎn).

    觀察發(fā)現(xiàn):當(dāng)點(diǎn)N在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OMN也在不斷地變化(如圖2).當(dāng)點(diǎn)O,M,N三點(diǎn)共線時(shí),∠OMN=0°,然后∠OMN慢慢變大;

    當(dāng)MN與圓O相切時(shí),∠OMN最大.

    上述幾種類型的解析幾何問(wèn)題,都存在著某些共同特征,重點(diǎn)是找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.無(wú)論問(wèn)題中的條件如何變化,很多問(wèn)題最終都可能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與線,點(diǎn)與圓,線與圓,圓與圓的位置關(guān)系來(lái)解決.當(dāng)然,在教學(xué)中,我們?nèi)匀恍枰粩嗟臍w納和總結(jié),才能更好地面對(duì)可能遇到的新的問(wèn)題.

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