淺析極值點偏移四種題型的解法

江西省南昌市豫章中學 (330006)

王 鑒

根據(jù)近幾年高考中的極值點偏移問題的題型，本人總結(jié)出了極值點偏移眾多類型中的四種類型：無參零點和、有參零點和、有參零點積、有參零點商的題型及其可行的解題思路.

一、無參零點和

例1 已知函數(shù)f(x)=xe-x，若x1≠x2，有f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

由x<1，則2x-2<0，即e2x-2<1，所以F′(x)>0,即F(x)在x<1時單調(diào)遞增.而F(1)=0，所以f(x)2.

此題是最基本的題型,由此題的解答過程，可得到解決這類題型的四個步驟：(1)求解原函數(shù)的單調(diào)性；(2)利用分析法反推，把自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的大小關(guān)系；(3)利用得出的函數(shù)大小關(guān)系構(gòu)造新函數(shù)；(4)對新函數(shù)進行求導，利用其單調(diào)性以及函數(shù)取值的上或下界限即可證.

二、有參零點和

例2 已知f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點x1,x2，證明x1+x2<2.

證明：由題意可知x1,x2是方程(x-2)ex+

構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(x)-g(2-x)(x<1)，對函數(shù)求導，得到F′(x)<0,即F(x)在x<1時單調(diào)遞減.而F(1)=0，所以g(x)>g(2-x)，所以g(x1)>g(2-x1).從而得證x1+x2<2.

此題包含了參數(shù)的問題，處理方法是把參數(shù)分離，利用同解方程的原理重新構(gòu)造一個函數(shù)，其目的是讓函數(shù)在求導時不被參數(shù)的范圍困擾.而其具體步驟也是按第一個問題的方式來求解.

三、有參零點積

例3 已知f(x)=lnx-ax，若x1,x2是f(x)=0的兩個根，證明x1x2>e2.

在此題的解答過程中，比前兩題多了一個步驟，就是轉(zhuǎn)化.我們把“零點積”問題轉(zhuǎn)化為“零點和”問題，而這種轉(zhuǎn)化利用了對數(shù)，因為只有對數(shù)在對待“積”的問題時，可以變成“和”的問題.當然這種轉(zhuǎn)化需要重新構(gòu)建方程，不能再用原方程.而一旦轉(zhuǎn)化成“零點和”問題，那么求解的方法就和第二題是一樣的.也就是說我們可以采用分離參數(shù)的方法把原函數(shù)改寫，讓參數(shù)在求導的過程中被消掉.

這時，我們總結(jié)步驟就發(fā)現(xiàn)由前兩種類型的四步變成了五步：(1)把證明目標轉(zhuǎn)化為x1+x2的形式；(2)求解原函數(shù)的單調(diào)性；(3)利用分析法反推，把自變量的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的大小關(guān)系；(4)利用得出的函數(shù)大小關(guān)系構(gòu)造新函數(shù)；(5)對新函數(shù)進行求導，利用其單調(diào)性以及函數(shù)取值的上或下界限即可證.

四、有參零點商

此題難度較大，其難度就體現(xiàn)在如何將“零點商”轉(zhuǎn)化為“零點和”.它是利用對稱性構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)因變量的關(guān)系反推自變量的關(guān)系，前三道例題的方法是通過自變量關(guān)系推因變量關(guān)系，利用推出的因變量關(guān)系構(gòu)造函數(shù)；但這題是反過來的，先構(gòu)造函數(shù)，然后通過因變量關(guān)系配合單調(diào)性反推自變量關(guān)系，從而把“零點商”問題轉(zhuǎn)化為“零點和”問題.而最后步驟也不一樣，此題最后是利用兩個自變量的范圍配合不等式的性質(zhì)最終得出結(jié)論.

綜合以上四道例題可以看出，上述四種類型中的第一種和第二種最重要，其它類型基本最終都可以化歸為第一種和第二種類型，也就是說“零點和”問題是解決此種題目的關(guān)鍵.