我命我超綱,你用你高明
——對(duì)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解答高考題的一點(diǎn)反思

江西省南昌市第三中學(xué) (330047)

張金生

在高考中能否用“洛必達(dá)法則”、“拉格朗日中值定理”等高等數(shù)學(xué)知識(shí)答題?會(huì)不會(huì)扣分?一直是中學(xué)一線教師關(guān)心的問題,2015年江西省恢復(fù)考全國(guó)卷,在高考閱卷工作快結(jié)束時(shí),全國(guó)卷命題專家到省考試院和中學(xué)閱卷教師代表座談,關(guān)于能否用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解答高考試題,專家用“我命我超綱,你用你高明”作答.2010年使用全國(guó)卷的某省在高考閱卷中，第21題中的第(2)問起初的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是使用洛必達(dá)法則即使結(jié)果正確也要扣一分，試評(píng)結(jié)束后經(jīng)過題長(zhǎng)和顧問的討論，決定不扣分.扣或不扣都有道理，但最終只會(huì)有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，所以使用超綱知識(shí)有時(shí)有一定風(fēng)險(xiǎn).

2010年和2011年高考中的全國(guó)新課標(biāo)卷中的第21題中的第(2)問，由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題，分析難度大，但用洛必達(dá)法則來處理卻可達(dá)到事半功倍的效果.

例1 (2010年全國(guó)新課標(biāo)理21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

原解在處理第(2)問時(shí)的解法考生較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：

另解:(2)當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,滿足f(x)≥0；

圖1

對(duì)于閱卷過程中發(fā)現(xiàn)的這種應(yīng)用高等數(shù)學(xué)空間解析幾何的解法,還是給予了肯定.

根據(jù)試評(píng)結(jié)果，該題在制定評(píng)分細(xì)則時(shí)給出4種參考解法，其中一種是使用“對(duì)數(shù)平均值不等式”作答.

2018年高考《考試大綱》和《考試說明》里，進(jìn)一步完善了對(duì)“一體四層四翼”高考評(píng)價(jià)體系的表述，將“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”作為高考的核心功能，重申“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”四個(gè)層次的考查內(nèi)容和“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”四個(gè)方面的考查要求.突出對(duì)“學(xué)習(xí)潛能”的考查.大學(xué)教授們命制高考試題，高等數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)滲透到高考命題當(dāng)中,它將高等數(shù)學(xué)的定義、定理用初等數(shù)學(xué)知識(shí)表述出來，即試題的設(shè)計(jì)來源于高等數(shù)學(xué)知識(shí)，但解決問題時(shí)是利用初等數(shù)學(xué)知識(shí).這樣，不僅顯示出命題的立意新、情景新、思維價(jià)值高，而且拓寬了考生的視野，為考生進(jìn)入高校學(xué)習(xí)新知識(shí)作了前期的準(zhǔn)備，符合考綱對(duì)高考試題命題的創(chuàng)新要求，還可以借此來有效地提高考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)也拓寬了試題命制的模式化.

高中階段時(shí)間是很短的(兩年多時(shí)間學(xué)完課程近一年時(shí)間復(fù)習(xí))，對(duì)于那些非超常的普通學(xué)生，尤其是那些連高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題、中檔題都做不好的學(xué)生，不去扎扎實(shí)實(shí)地學(xué)好高中教材內(nèi)容，不切實(shí)際地好高騖遠(yuǎn)，利用寶貴的一點(diǎn)點(diǎn)課余時(shí)間去學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，試圖通過學(xué)習(xí)高數(shù)(或奧數(shù))，來提高高考成績(jī)，得不償失，“遠(yuǎn)水不能解近渴”，它不能解決高中數(shù)學(xué)中諸多的“挖地三尺”或“彎彎繞”的試題.但對(duì)極少數(shù)的頂尖的中學(xué)生，他們很早就接觸了高等數(shù)學(xué)(或奧數(shù))，并在高等數(shù)學(xué)(或奧數(shù))的滋潤(rùn)下盛開數(shù)學(xué)之花，在高考中應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)快速解答取得佳績(jī).對(duì)教超常學(xué)生的重點(diǎn)班的教師，站在高數(shù)背景下講解數(shù)學(xué)考題，勢(shì)必會(huì)有一種高屋建瓴之氣勢(shì)，對(duì)于學(xué)生開拓視野，提升能力也極為有用.“不登高山，不知天之高也；不臨深谷，不知地之厚也”.