管中窺豹

汪世利

摘 要 通過對2018年4月浙江省學(xué)業(yè)水平考試18題多種解法的探究，揭示其幾何本質(zhì)：圓錐模型，并借助圓錐模型解決動(dòng)態(tài)幾何問題。并由此總結(jié)：在平時(shí)課堂教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”能力和數(shù)學(xué)建模的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 動(dòng)態(tài)立體幾何;圓錐模型;直觀想象

中圖分類號：G623 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）06-0047-02

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，對培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、綜合應(yīng)用能力方面有著重要性。而立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問題滲透著運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，是立體幾何的一大難點(diǎn)。所謂“動(dòng)態(tài)”性立體幾何題，是指在點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)變化的幾何圖形中，探尋點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系或進(jìn)行有關(guān)角與距離的計(jì)算。是學(xué)考、高考的難點(diǎn)，也是學(xué)考、高考的亮點(diǎn)。

一、似曾相識燕歸來，小園香徑滿芬芳

例1：如圖1，設(shè)矩形ABCD所在平面與梯形ACEF所在平面相交于AC。若AB=1，BC=，AF=FE=EC=1，則下列二面角的平面角大小為定值的是（ ）（2018年4月浙江省學(xué)考試卷第18題）

A.F-AB-C B.B-EF-D C.A-BF-C D.B-AF-D

作為一道選擇題，按照小題小做的思想，排除法是一種非常有效的解題方法，只有一個(gè)二面角的平面角為定值，其他二面角都在變化的，可以取兩種特殊的情況計(jì)算，排除其他三個(gè)答案。但對于課堂教學(xué)來講，我們不應(yīng)只滿足于找出問題的答案，而應(yīng)從多角度分析，尋求問題的幾何本質(zhì)。上述問題轉(zhuǎn)化為證明二面角B-EF-D的平面角為定值。

思路1：（坐標(biāo)向量法）如圖2：建立空間坐標(biāo)系，設(shè)二面角F-AC-B的大小為θ，則 ， ， ， ?？汕蟮闷矫鍮EF的一個(gè)法向量為 ，平面DEF的一個(gè)法向量為 ， ， ，即二面角B-EF-D為直二面角。

思路2：（幾何法）如圖3：過F作FG⊥AC于G，過E作EH⊥AC于H，過B作BB平行且等于AC，連接BG、DG、DH、ED、BB。易證得AC⊥平面BFG、平面DEH，EF∥AC，得EF⊥平面BFG、平面DEH，可得EF⊥BF，ED⊥EF，∠DEB為二面角B-EF-D的平面角，設(shè)∠EHB=α EB2=EH2+HB2-2EH·HBcosα=3/2（1-cosα），

上述三個(gè)思路是立體幾何問題的常規(guī)解法，但不論是利用坐標(biāo)法、幾何法還是向量法，盡管能求出結(jié)果，但解題過程都比較復(fù)雜。也總感覺還有什么東西沒有揭示出來，總覺得意猶未盡。

例2：如圖5，在 中， ， .若平面 外一點(diǎn) 和線段 上的點(diǎn) ，滿足 ， ，則四面體 的體積的最大值是。（2016年浙江省高考理科第14題）

從“運(yùn)動(dòng)”的視角仔細(xì)分析條件，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P、D在動(dòng)，但運(yùn)動(dòng)過程中，“ ”，“ ”這兩個(gè)等量關(guān)系始終保持不變，且三條線段有公共點(diǎn)B，那么可以看成三以B為頂點(diǎn)的圓錐的三條母線，因此可以構(gòu)造如圖6所示的圓錐模型，點(diǎn)P在圓錐的地面圓周上運(yùn)動(dòng)。要使四面體 的體積最大，即三棱錐 的體積最大，當(dāng)?shù)酌?面積和點(diǎn) 到平面 的距離最大時(shí)，體積最大。當(dāng)平面 平面 時(shí)，點(diǎn) 到平面 的距離最大值為1，此時(shí) 為圓錐底面圓的直徑，則 ，在 中，設(shè) ，因?yàn)?，則 ， ， ， 為等腰三角形， ，即 為 的中點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)， 面積的最大值為 ， = 。

二、千磨萬擊還堅(jiān)勁，任爾東南西北風(fēng)

1.培養(yǎng)學(xué)生的“直觀想象能力”，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)是學(xué)生最必要的基本素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)知識、方法的本質(zhì)體現(xiàn)，在平時(shí)立體幾何的課堂教學(xué)中，應(yīng)從注重學(xué)生學(xué)習(xí)過程，還課堂給學(xué)生，要留足時(shí)間給學(xué)生深入觀察、分析、解決與探究幾何圖形，對幾何圖形會(huì)想、會(huì)畫、會(huì)準(zhǔn)確描述，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

2.借助數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。一般來說，“動(dòng)態(tài)”立體幾何問題中的翻折問題都可以借助“圓錐模型”將動(dòng)態(tài)變化過程轉(zhuǎn)化到圓周變化，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)，找到解決方案。因此，在平時(shí)立體幾何的課堂教學(xué)中，可以有意識的培養(yǎng)學(xué)生借助模型：如長方體、正方體、圓錐等解決問題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬茂年，吳曉明.動(dòng)態(tài)幾何策略引領(lǐng)理性探索——例說立體集合“動(dòng)態(tài)”題型解題策略[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2014（2）.