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    “直觀(guān)想象”在全國(guó)卷數(shù)列試題中的應(yīng)用探析

    2018-02-05 16:36:45楊幼妹林新建
    福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2017年7期
    關(guān)鍵詞:直觀(guān)想象特殊化本質(zhì)特征

    楊幼妹+林新建

    “直觀(guān)想象”是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵.

    “直觀(guān)想象”是指借助幾何直觀(guān)和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程,

    “直觀(guān)想象”主要包括:借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立形與數(shù)的聯(lián)系;構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀(guān)模型,探索解決問(wèn)題的思路,

    “直觀(guān)想象”在解題上有重要作用,可以幫助我們快速探明問(wèn)題的解決方向,輕松將問(wèn)題予以解決.

    以下以全國(guó)卷試題為例,就“直觀(guān)想象”在數(shù)列解題上的應(yīng)用作一探析,以饗讀者.

    1運(yùn)用“直觀(guān)想象”預(yù)測(cè)數(shù)列問(wèn)題的變化規(guī)律

    運(yùn)用“直觀(guān)想象”策略,可以較好地預(yù)測(cè)數(shù)列問(wèn)題的變化規(guī)律,進(jìn)而依循規(guī)律使問(wèn)題獲得輕松解決,

    例1 (2012年高考全國(guó)新課標(biāo)卷I.理16)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1+(-l)nan=2n-1,則{an}的前60項(xiàng)和為_(kāi)___.

    分析本題是填空把關(guān)題,依常規(guī)方法求解極為繁瑣.其實(shí),由“直觀(guān)想象”不難預(yù)知,本題是填空題,故不論數(shù)列{an}如何變化,其前60項(xiàng)的和不因數(shù)列的變化而變化,由此我們可將首項(xiàng)特殊化予以求解.

    解析由an+1+(-l)nan=2n-1,

    得an+l= 2n-1-(-l)nan.

    令a1=1,則有a2=2,a3=1,a4=6,

    a5=1, a6=10, a7=1, a8=14,…

    至此可以發(fā)現(xiàn),數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)均為1;偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng),4為公差的等差教列,

    故S60=30×1+(30×2+(30×29)/2×4)=1830.

    評(píng)析上述求解輕松快捷,不亦樂(lè)乎,這得益于首項(xiàng)的特殊化,否則規(guī)律不易探明,求解勢(shì)必復(fù)雜耗時(shí),而想到運(yùn)用“特殊化”策略予以求解,這又取決于對(duì)數(shù)列變化規(guī)律的“直觀(guān)想象”,凸顯了“直觀(guān)想象”在預(yù)測(cè)數(shù)列問(wèn)題的變化規(guī)律上的重要作用.

    2運(yùn)用“直觀(guān)想象”剖析數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì)特征

    運(yùn)用“直觀(guān)想象”策略較好地剖析數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì)特征,進(jìn)而根據(jù)本質(zhì)特征可將問(wèn)題輕松予以解決,

    例2 (2014年高考全國(guó)卷I.理17)已知數(shù)列{an)的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù).

    (I)證明:an+2-an=λ;

    (Ⅱ)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說(shuō)明理由.

    分析本題難在第(Ⅱ)問(wèn),難在如何判斷λ是否存在,以及如何求出λ均值,解題似乎無(wú)從下手,

    其實(shí),由“直觀(guān)想象”不難得知,若存在滿(mǎn)足條件的λ,,使得{a}為等差數(shù)列,則{an}的前三項(xiàng)必成等差,由此可求出λ的值,問(wèn)題不難獲解,

    解析由a =1及anan+l= λSn一1,得a2=λ一1.

    又由a+2-an=λ,可得a3=λ+1.

    依題意,若存在滿(mǎn)足條件的λ,使得{an}為等差數(shù)列,則a1,a2,a3必成等差,則由2a2=a1+a3,即得λ=4,以下不難予以證明.

    評(píng)析基于數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì)特征——結(jié)論的一般性,我們運(yùn)用了前三項(xiàng)必成等差這一結(jié)論,使得問(wèn)題獲得輕松解決.

    而想到這樣子來(lái)求λ的值,則是源于對(duì)數(shù)列問(wèn)題本質(zhì)特征的“直觀(guān)想象”,凸顯了“直觀(guān)想象”在剖析數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì)特征上的重要作用.

    3運(yùn)用“直觀(guān)想象”構(gòu)建數(shù)列問(wèn)題的直觀(guān)模型

    運(yùn)用“直觀(guān)想象”策略,可以較好地構(gòu)建數(shù)列問(wèn)題的直觀(guān)模型,進(jìn)而借助模型可將問(wèn)題輕松予以解決.

    例3 (2014年高考全國(guó)卷Ⅱ.理17)已知{an}滿(mǎn)足a1 =1,an+l=3an+1.

    評(píng)祈問(wèn)題的解決得益于將右式的3/2轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和,如果沒(méi)有轉(zhuǎn)化,這一證明根本無(wú)從進(jìn)行.而之所以想到作這樣的“轉(zhuǎn)化”,則取決于對(duì)待證式子的“直觀(guān)想象”,凸顯了“直觀(guān)想象”在構(gòu)建數(shù)列問(wèn)題的直觀(guān)模型上的重要作用.

    例4 (2002年高考全國(guó)卷I.理22)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=an2-nan+1,n=l,2,3,…,

    (I)當(dāng)a1=2時(shí),求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式;

    (Ⅱ)當(dāng)a1>3時(shí),證明對(duì)所有的n≥l,有

    ①an≥n+2;

    同樣,問(wèn)題的解決得益于借助“直觀(guān)想象”將右式的1/2去轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和,如果沒(méi)有這種“直觀(guān)想象”,就不可能作這樣的轉(zhuǎn)化,解題根本無(wú)從進(jìn)行,凸顯了“直觀(guān)想象”在構(gòu)建數(shù)列問(wèn)題的直觀(guān)模型上的重要作用,

    “直觀(guān)想象”在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用,在直觀(guān)想象核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中,學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀(guān)和空間想象能力,增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí),提升數(shù)形結(jié)合的能力,感悟事物的本質(zhì),培養(yǎng)創(chuàng)新思維,平時(shí)教學(xué)和高考復(fù)習(xí)都應(yīng)予以足夠的重視.endprint

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