例談數(shù)學教學中學生“直觀想象”能力的培養(yǎng)

鄔烈榮++毛敏君

摘 要：直觀想象無論哪種表現(xiàn)形式，都離不開“圖形”這一載體，而作圖、識圖能力的提高需要教師結合具體教學內(nèi)容精心設計、引導.可以通過設置直覺想象的意境和動機誘導，把主動權交給學生，將學生的思維放飛，去探索發(fā)現(xiàn).

關鍵詞：直觀想象；章頭圖；新思維、

直觀是指通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認識.想象是指人在頭腦里對已儲存的表象進行加工改造形成新形象的心理過程.因此，所謂“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程.直觀想象在數(shù)學教學中主要表現(xiàn)形式有：首先利用圖形描述數(shù)學問題和構建數(shù)學問題的直觀模型；其次利用圖形理解數(shù)學問題；最后利用圖形探索和解決數(shù)學問題等.由此可見直觀想象無論哪種表現(xiàn)形式，都離不開“圖形”這一載體，而學生作圖、識圖能力的提高，需要教師根據(jù)教學內(nèi)容認真編排和精心設計在教學過程中逐漸培育的.下面就談談如何培育學生直觀想象核心素養(yǎng)的一些做法，愿與大家分享.

一、剖析章頭圖

數(shù)學教材的每一章開始都配有章頭圖，對本章內(nèi)容起到導入作用.教師應對此引起足夠重視[1]，引導學生通過章頭圖的意境去感悟“為什么學本章”，并對章頭圖進行挖掘與延伸，指導學生去探索“本章將學習什么”以及“怎么學本章”，明確本章的學習目標與學習方法，為本章的學習做好鋪墊工作.這樣，知識內(nèi)容與現(xiàn)實生活一開始便有了直觀聯(lián)系，既有助于學生知識體系的形成，同時也能豐富學生的直觀想象能力.

如人教版數(shù)學必修4第一章的章頭圖如下：

圖1中所展示的是“月相”和“簡諧運動”的場景，可以讓學生直觀感受循環(huán)往復、周而復始的自然現(xiàn)象，這正是本章要學習的“周期性”.我們可以引導學生在實際生活中再尋找一些有關“周期性”的事物，如“摩天輪”“潮汐變化”等，讓這些現(xiàn)實的直觀激勵起學生學習本章的興趣和激情，架起直觀想象的思維.同時利用好此圖引導學生進行一個學習的預期：如何刻畫周期性的變化規(guī)律？指導學生對知識點進行預鋪：用怎樣的函數(shù)刻畫？該函數(shù)有哪些性質(zhì)？該函數(shù)能發(fā)揮哪些作用？從而形成一張知識網(wǎng)絡，再逐一探究，使學生感受到學習內(nèi)容不光是數(shù)學知識本身，更是來源于現(xiàn)實生活的直觀展示.

二、駕馭直觀圖形

數(shù)學語言包括文字、符號和圖形三大語言，很多時候?qū)W生的思維斷檔緣于題設中的文字、符號語言到相應的圖形語言的通道并不清晰.這便需要教師選擇幾何背景豐富的知識點（如函數(shù)、向量等）為例，讓學生體會用圖形描述、理解、解決數(shù)學問題的過程，感悟直觀圖形的必要性和重要性，并進行經(jīng)驗的積累，潛移默化中提升直觀想象能力.

如（2016，全國卷2，12）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為，則（ ）

教師不妨引導學生構建一個直觀模型如一次函數(shù)，借助該函數(shù)的直觀性來解決此題.

由圖可知，交點有2個，即，且，故選.

對抽象事物性質(zhì)的探究，一直以來讓學生感到不知所措，如果教師能引導學生學會主動尋找對應的具體事例，使自己的思維得到該具體事例的支撐，將“一般”的抽象通過“具體”的直觀模型巧解題目，如此，不僅讓抽象不再抽象，同時也能讓學生更直觀地理解抽象性質(zhì)的本質(zhì)：函數(shù)關于點（0，1）對稱，從而想象出個交點分對，每對橫坐標之和為0，縱坐標之和為2，即所求答案為.

又如（2016，浙江卷文，15）：已知平面向量a，b，，，若e為平面單位向量，則的最大值是_________.

向量是聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁，代數(shù)偏坐標法的運算，幾何偏作圖識圖能力.在此題的解法上，很多學生都會首選坐標法，其中一種做法如下：

如圖建系，設

，

，

此處的范圍，便可借助直線與圓的位置關系直觀求解， 不妨令，，

，經(jīng)檢驗等號可取，

的最大值為.

坐標法雖是用代數(shù)方法解決數(shù)學問題，但代數(shù)和幾何本就是“同根生”的關系，且不說本題借助直線與圓的位置關系直觀求解，即便是建系和設點，也都離不開圖形的支持，它也是用圖形來描述和理解問題的手段.對坐標法解題我們表示肯定，但向量的幾何背景也提醒著教師從“形”的角度來引導學生理解向量，培養(yǎng)作圖識圖的思維習慣，提升直觀想象能力.此題從“形”角度解題如下：

圖4

若與同號，

，

由圖可知取等時與同號， 的最大值為；

若與異號或其中之一為0時，

，取等號時，綜上，的最大值為.

向量的題型出題時多用符號、文字進行描述，反過來，不妨引導學生對圖形進行再探究，用圖形的變化對試題進行反思創(chuàng)新，又何嘗不可呢？如上述圖中，點位置會隨點位置的改變而改變，原題是已知點求點，不妨改編為已知點求點，即已知的最大值求的最值，此題便是2016年浙江高考數(shù)學理科試卷第15題的出題方向，所以只要抓住了向量的圖形屬性，借助圖形語言識圖、辨圖，無論題目如何改變，我相信通過長期的有效經(jīng)驗的積累，學生能逐漸理解“萬變不離其宗”的規(guī)律.

三、促生新思維生成

直覺思維，是指對一個問題未經(jīng)逐步分析，僅依據(jù)內(nèi)因的感知迅速地對問題答案作出判斷、猜想和設想.著名數(shù)學家徐利治教授指出：“數(shù)學直覺是可以后天培養(yǎng)的，實際上每個人的數(shù)學直覺也是不斷提高的.”數(shù)學直覺完全可以通過有意識的訓練和培養(yǎng)來提高.

如：垂徑定理的逆定理：是圓的一條弦（非直徑），且是中點，則OMAB即.

在橢圓中是否有類似結論呢？于是通過圖形變化以及數(shù)據(jù)驗證促生出橢圓的一個性質(zhì)：不過原點的直線與橢圓，

相交于兩點，是的中點，則.

橢圓作為圓錐曲線其中一員，在雙曲線與拋物線中是否也具有這樣的結論呢？我們再次通過數(shù)據(jù)驗證促生出雙曲線的一個性質(zhì)：不過原點的直線與雙曲線相交于兩點，是的中點，則.（與橢圓的結論高度統(tǒng)一）

同時也促生拋物線的一個性質(zhì)：不過原點的直線與拋物線相交于兩點，是的中點，則（其中是中點的橫坐標）.

像這樣，僅僅依據(jù)橢圓與圓的直覺聯(lián)系，便可將兩種不同事物融匯成一種內(nèi)在相同的本質(zhì)與規(guī)律，這種跳躍式思維雖然具有不可靠性，但卻能幫助學生作出創(chuàng)造性預見，在創(chuàng)造活動中有著非常積極的作用.

如：（2015年溫州市高三第一次適應性測試）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率等于.點分別為橢圓的左右頂點，是橢圓上不同于頂點的兩點，且的面積等于.

（?。┣髾E圓的方程.（略）

（ⅱ）過點作交橢圓于點，求證：.

學生對“”的等價代數(shù)條件“”的驗證手段并不明確，教師不妨引導學生在橢圓題型中遇到“疑難雜癥”時，利用橢圓與圓的仿射變化，將橢圓問題“回歸”到圓的角度中來.通過圓的一個性質(zhì)：直徑所對的圓周角是直角，即，促生出橢圓的一個性質(zhì)：

經(jīng)過橢圓中心的任意一條弦的兩端與橢圓上任一點的連線的斜率乘積為.于本題而言，意味著，故只需驗證是否成立即可.讓學生體會“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的直覺感受，同時為本題提供了另一種嶄新的思維方式.

總之，德國教育家第斯多惠曾說過：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞.”因此，教師在有意識地培育學生“直觀想象”的核心素養(yǎng)中，不妨通過設置直覺想象的意境和動機誘導，把主動權交給學生，對學生的大膽設想予以肯定，對其合理成分進行鼓勵，激發(fā)學生自發(fā)性直覺思維去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題.從而在解決問題時插上“直觀想象”的翅膀，讓思維放飛.

參考文獻：

[1]任偉芳.為培育核心素養(yǎng)凸顯概念教學過程而設計——對“空間幾何體的結構”一課的點評[J].中學數(shù)學教學參考（上旬），2016（11）：16-17.