數(shù)學(xué)解題：何以能無咎

潘小明

摘 要：對數(shù)學(xué)解題過程與結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)性、正確性的審視，在于反省補(bǔ)過、謹(jǐn)慎小心、堅(jiān)忍純正，無疑是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要機(jī)制.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；周易；無咎觀

一般說來，學(xué)生作為數(shù)學(xué)解題的新手在自己的解題活動中很難避免一些錯誤，但這并不意味著教師就可以放任學(xué)生在數(shù)學(xué)解題活動中的數(shù)學(xué)錯誤，不注意通過有效的教學(xué)措施積極地引導(dǎo)學(xué)生防范、克服、反思和利用自己在解題中的錯誤.嚴(yán)謹(jǐn)性作為數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特點(diǎn)表明，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題實(shí)踐不能偏離“以正確為第一要務(wù)”的目標(biāo)追求，否則就容易異化數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)本性和學(xué)生解題訓(xùn)練的有效價值.如果說“問題和解是數(shù)學(xué)的心臟”，那么對數(shù)學(xué)問題求解過程和結(jié)果進(jìn)行“嚴(yán)謹(jǐn)性”“正確性”的審視無疑是保證提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要機(jī)制.本文擬在學(xué)習(xí)和借鑒中華文化的哲學(xué)根源性著作《周易》一書中關(guān)于“無咎觀”的一些基本認(rèn)識基礎(chǔ)上，結(jié)合來自中學(xué)一線的具體教學(xué)案例說明數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何引導(dǎo)廣大中學(xué)生建構(gòu)解題的無咎觀，以期引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會正確地看待自己有可能發(fā)生的數(shù)學(xué)解題錯誤，并能據(jù)此更有針對性地思考自己的數(shù)學(xué)解題活動“是否有錯”“何以出錯”“錯在何處”如何糾錯”.

一、反省補(bǔ)過——數(shù)學(xué)解題的無咎之基

就做人做事而言，“無咎者，善補(bǔ)過者也”是《周易》中非常值得學(xué)習(xí)和領(lǐng)會的一句話.這里的“無咎”本義是指“完美無缺”“萬無一失”或“沒有災(zāi)患”等之類的意思，而“補(bǔ)過”則是指“不但不犯某種錯誤了，而且還把原來所犯的過錯改正和補(bǔ)救過來”.人非圣賢，孰能無過？立足于人的行為和心態(tài)進(jìn)行考察，人在實(shí)踐中有所缺失其實(shí)是難免的事，關(guān)鍵是要善于對相應(yīng)的缺失有一種悔恨之心，并且要善于從行為中切實(shí)地補(bǔ)過自新，唯有如此，才能做到無咎.將《周易》中的這句話聯(lián)系到中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的指導(dǎo)，可以獲得非常有益的啟示，事實(shí)上，解題者數(shù)學(xué)解題的過程與結(jié)果如果要做到?jīng)]有任何毛病的話，必然需要解題者本人有“善于補(bǔ)過”的意識，特別是，解題者本人要隨時審察、反省自己解題的過程與最后的結(jié)果，要注意及時檢查那些能引發(fā)自己產(chǎn)生錯誤的可能性因素.只有通過必要的“回頭看”“檢視”“審查”“反思”，解題者才能使自己在一種良好的數(shù)學(xué)解題習(xí)慣中保證數(shù)學(xué)解題的無咎狀態(tài).

例1 解方程組

案例分析 上述題目是施老師布置給某鎮(zhèn)初級中學(xué)初二（1）班的一道課后探究題，對于施老師布置的作業(yè)，作為班級數(shù)學(xué)課代表的小紅給出了如下的解法：

[解：由得即 （3）

由（3）得 ，

代入（2），得 ，

整理，得 ，

解之得 ，

分別代入（3），得 ，.

所以，所求方程組的解為，

經(jīng)檢驗(yàn)，所求兩組解是原方程組的解. ]

對于自己的解答，小紅感到很滿意.但是，出乎意料的是，施老師并沒有象往常一樣對她的作業(yè)給出肯定的評價，而是在作業(yè)本子上寫下兩段話：“對于方程（1）和（2），非常顯然的一個事實(shí)是，當(dāng)時，它們的右邊都等于0，據(jù)此可求解相應(yīng)的或，這也就說明這兩組解也是原方程組的解.”“可見，你在作業(yè)中提供的解法肯定遺失了一些根，你能找找你自己失根的原因嗎？”

看到老師在作業(yè)批改中給出的反饋，小紅不禁一怔，自己的解法真的是失根了嗎？如果是，究竟是什么原因引起失根了呢？她開始深思起來.漸漸地，她發(fā)現(xiàn)，在自己的解法中，其實(shí)是有前提條件的，即只有在（2）不為0時，它們才能相除.這樣，就有可能失去使（2）為0的x與y的值，而它們確實(shí)又滿足（1）式，從而是原方程組的解.據(jù)此，可通過補(bǔ)解方程組考察它的解是不是也是（1）式的解.不難看出，這是比較顯然的（這是因?yàn)樵撌降膬蛇叿謩e有及）.于是，由就可得到原方程組的另兩組解

對于小紅提交的“訂正版作業(yè)”，施老師進(jìn)行了面批，他笑著對小紅說：“行呀！終于找到錯誤、改正錯誤了.知錯能改，善莫大焉！”不過，施老師并沒有就此結(jié)束對小紅作業(yè)的指導(dǎo)，而是進(jìn)一步引導(dǎo)：“小紅，你能否通過回避的方式來防止自己的失根呢？”小紅想了想說，“老師，可以的！”具體解法如下：

[將（2）代入（1），得

即 （4）

于是原方程組與同解.

而（4）與 （5）

及 （6）

同解.所以原方程組與及同解.

解得

解得 ]

施老師對小紅第二種解法“步步為營”的嚴(yán)謹(jǐn)性大加贊賞，并追問她兩個新的問題：比較兩種解法，能否更清楚地認(rèn)識第一種解法最初出錯的原因？能否將這類問題一般化，并據(jù)此提出它們的解？

小紅在施老師的指導(dǎo)下進(jìn)一步認(rèn)識到：

第一種解法之所以出錯是自己只解了方程，從而丟失了方程的解.

如果將本題所解方程組一般化，就是解形如 的解，可以猜想它與方程組及同解.在施老師的指導(dǎo)下，小紅對自己的猜想進(jìn)行了證明（略）.

“震無咎者存乎悔”，做人做事要達(dá)到無咎的狀態(tài)，必然要善于反思悔過.在上述的案例中，小紅在施老師的指導(dǎo)下先是識別錯誤，然后分析產(chǎn)生錯誤的原因，她不僅把在解題中所犯錯誤改正過來，而且把所犯的錯誤補(bǔ)救過來——即對一類方程求解的問題作了更為一般的猜想和論證，這顯然是數(shù)學(xué)解題活動中“反省補(bǔ)過”思想的一種具體體現(xiàn).在引導(dǎo)中學(xué)生對數(shù)學(xué)錯解進(jìn)行反思的教學(xué)過程中，不能僅僅停留在就錯改錯，而是要深入與特定問題有關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的審察，要深入解題中數(shù)學(xué)思維過程的反思，努力找出相應(yīng)環(huán)節(jié)可能出現(xiàn)的實(shí)質(zhì)性問題，既注意概括出條件化、一般化的問題題路和結(jié)論規(guī)律，又注意對不同的解法進(jìn)行橫向與縱向的比較.總之，數(shù)學(xué)解題活動中，要真正達(dá)到一種無咎的狀態(tài)，解題者在平時的解題練習(xí)中就要注意培養(yǎng)解題反思的習(xí)慣，注意隨時檢查、反思、改正在數(shù)學(xué)解題實(shí)踐中有可能出現(xiàn)的錯誤和毛病.

二、謹(jǐn)慎小心——數(shù)學(xué)解題的無咎之法

眾所周知，嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個基本特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)解題過程中自然需要強(qiáng)化學(xué)生思維上嚴(yán)密和嚴(yán)謹(jǐn)方面的要求.那么，如何做到這一點(diǎn)呢？《周易》上有一句話，“君子終日乾乾，夕惕若，厲無咎”.這句話的意思是，才德出眾的人每時每刻都會小心謹(jǐn)慎，勤奮自強(qiáng)而不敢有絲毫的松懈，即使到了晚上，他也會注意警醒；對于一個能經(jīng)常以危厲自警的人來說，雖然有可能會面臨一些危險，但是，他最終并不會有災(zāi)禍.就中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，教師有必要用《周易》上的這句話指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題活動.某種意義上，這也是教師教學(xué)水平高低與否的一種表征.高水平的數(shù)學(xué)教師，通常會注意引導(dǎo)學(xué)生保持一顆謹(jǐn)慎之心，并因此使他們更為自覺地避免一些不必要的數(shù)學(xué)錯誤.

例2 已知，求證：形如一定是合數(shù).

案例分析 初一（3）班的阿勝在唐老師給出題目后，很快就給出如下他自認(rèn)為正確的證法：

又當(dāng)時，.

當(dāng)時，一定是質(zhì)數(shù).

當(dāng)時，一定是合數(shù).

顯然，學(xué)生由于自己在思維上的不謹(jǐn)慎而離開了對原來命題的證明，本質(zhì)上是犯了邏輯性的數(shù)學(xué)解題錯誤.這是因?yàn)?，由“?dāng)時，是質(zhì)數(shù)”根本推不出“當(dāng)時，一定是合數(shù)”.從命題間的關(guān)系來說，這兩個命題是互為否定的關(guān)系，而不是互為逆否的關(guān)系，所以，“當(dāng)時，是質(zhì)數(shù)”不能作為論證“當(dāng)時，一定是合數(shù)”的充足理由.那么，如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識錯誤并改正錯誤呢？唐老師（簡稱T）和阿勝（簡稱S）進(jìn)行了如下的互動.

T：我先問你一個問題，如果， 那么，對嗎？

S：當(dāng)然對呀！

T：如果， 那么，對嗎？

S：肯定不對呀！

T：為什么呢？

S：比如，，但是，這時.

T：好的.那么，由“如果， 那么”推不出“如果， 那么”，對嗎？

S：當(dāng)然.

T：那么，“當(dāng)時，是質(zhì)數(shù)”能推出“當(dāng)時，一定是合數(shù)”嗎？

S：不能！教師，我知道自己剛才錯了.

T：知道自己錯了，就改呀！你重新試試！

阿勝在唐老師的指導(dǎo)下，給出如下正確的答案：

，（在這一推理中阿勝自言自語地補(bǔ)充說，否則或1，這與已知條件矛盾），

，即當(dāng)時，

當(dāng)時，一定是合數(shù).

當(dāng)時，一定是合數(shù).

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展通常具有一定的階段性特征.對初中生而言，他們貌似很“邏輯”和“推理”，但他們的思維更多地只是處于一種類似“少年老大人”“雖一半趨向于成熟，但一半仍固化于幼稚”的狀態(tài)，這種思維特點(diǎn)很容易使他們偏離謹(jǐn)慎，在解題的過程中也容易不知不覺地偏離原先問題的要求，這種情況下，他們要么未按題意要求解答原問題，要么雖有解答但終因邏輯不當(dāng)而致解答混亂、錯誤.由此，教師要注意通過有效的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生謹(jǐn)慎小心地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和問題解答的習(xí)慣.

三、堅(jiān)忍純正——數(shù)學(xué)解題的無咎之憑

《周易》云：“無平不陂，無往不復(fù)，艱貞無咎.”其含義是：沒有平地不會成山坡，沒有去了而不能回來，只有在艱難困苦中堅(jiān)守純正才能有好的結(jié)果.強(qiáng)調(diào)莊稼在生長過程中總會有一些反復(fù)和挫折，甚至有可能會出現(xiàn)災(zāi)害，但是只要堅(jiān)貞不渝地進(jìn)行精心管理，總會有好的收成.如果把數(shù)學(xué)教學(xué)看成一種播種與收獲的過程，那么，《周易》中的這句話無論是對數(shù)學(xué)教師的教，還是對學(xué)生的學(xué)都有一定的“醒世”意義.數(shù)學(xué)史表明，數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科和科學(xué)，發(fā)展道路并非平坦沒有坎坷的，數(shù)學(xué)中的一系列優(yōu)美成果也并非脫離夯實(shí)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)創(chuàng)新，更非是數(shù)學(xué)家茶余飯后輕松愉快的妙手偶得.對大多數(shù)數(shù)學(xué)家而言，他們之所以會取得豐碩的數(shù)學(xué)成果，更多的是源于他們在艱難困苦的數(shù)學(xué)研究中進(jìn)行了堅(jiān)守.然而，在當(dāng)前的一些數(shù)學(xué)教學(xué)改革中，有一些人在思維上好像存在著一定的偏誤，比如，他們只看到數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重要性，卻沒有看到打基礎(chǔ)的必要性，只看到數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)思想方法的閃閃躍動；卻沒有深思數(shù)學(xué)思想方法畢竟源于數(shù)學(xué)研究者艱難困苦的數(shù)學(xué)探究.由于看不到或故意忘卻了“艱難困苦”和“堅(jiān)忍純正”對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，他們在教學(xué)實(shí)踐上往往容易隨大流式地鼓吹所謂“看起來毫不費(fèi)勁”“聽起來舒心愉快”“做起來難能成功”的快樂式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不可能總是在一種毫不費(fèi)勁的愉快狀態(tài)中實(shí)現(xiàn).對于大多數(shù)并非天才的尋常人來說，只有在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中強(qiáng)化“堅(jiān)忍純正”的意識，才能在較高的層次上體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，才能更深入地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精神價值.

例3 已知求的值.

案例分析 初一（5）班的小敏觀察了待求值的代數(shù)式和已知條件中的代數(shù)式，覺得可以將所要求值的代數(shù)式先進(jìn)行因式分解，即，由已知條件，可以進(jìn)一步將待求值的代數(shù)式變?yōu)?，如果能求出的值，那么所求的問題就能獲得解決.如何求的值呢？聯(lián)系到給定的第二個條件，可以考慮求出的值，于是構(gòu)造，看來，還得求出的值，如何求呢？小敏的求解思路突然被卡住.但是，小敏是一個不輕意言敗的人，她覺得自己能求出的值.如何求？還是回到條件，從已知的兩個式子中能不能產(chǎn)生出？

可以，這是因?yàn)椋?/p>

所以AB=[（A2+B2）-（A-B）2]=×（13-52）=-6.

于是，

，.

至此，小敏將答案求出來.

不過，她一看自己的解題過程，還是覺得有點(diǎn)煩瑣了，“能不能將解法優(yōu)化一下？”她回顧自己剛才的解法發(fā)現(xiàn)，自己其實(shí)“兜了許多圈子”，壓縮前面的一些過程，自己的解法可以是：

.

看到自己用了簡短的幾行字將題目解了出來，小敏內(nèi)心感到無比愉悅.

俗話說“代數(shù)繁”“幾何難”，但是，這種繁和難最終能被具有“堅(jiān)忍純正”意志的學(xué)習(xí)者化解.從該解題的過程可以看出，小敏正是由于擁有這種意志，才能不厭其煩地綜合運(yùn)用觀察、分析和構(gòu)造三種方法進(jìn)行習(xí)題解答及其過程優(yōu)化的探索，并且，她經(jīng)由這一過程深切感受到數(shù)學(xué)解題的快樂.由此可見，數(shù)學(xué)解題有時確實(shí)需要培養(yǎng)學(xué)生勇于歷經(jīng)艱難困苦式的數(shù)學(xué)思維過程，或許在這一過程中，學(xué)生才能獲得一種并非世俗化的學(xué)習(xí)快感.