培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)的HPM視角

【摘要】直觀想象是修訂中的普通高中數(shù)學課程標準專家組提出的六大核心素養(yǎng)之一，而作為一線教師則面臨著如何在課堂教學實踐中落實到位的問題.從“數(shù)學史與數(shù)學教育”（HPM）的視角去設(shè)計和實踐不失為一種好的選擇，尤其是借鑒古代數(shù)學家的思想與智慧，應(yīng)用“圖說一體”、“幾何模型”和“經(jīng)典反例”等實例來提高學生從直觀想象到推理論證和理解的能力，以逐漸培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】直觀想象；圖說一體；幾何模型

修訂中的普通高中數(shù)學課程標準專家組提出了六大核心素養(yǎng).作為工作在第一線的高中數(shù)學教師，該如何在課堂教學的實踐中使這些核心素養(yǎng)落地呢？當然，在具體的落實措施中會仁者見仁，智者見智.本文僅對“直觀想象”核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，從HPM（數(shù)學史與數(shù)學教育）的角度來談?wù)?

1直觀想象的涵義

美國著名數(shù)學教育家M·克萊因說：“數(shù)學的直觀就是對概念、證明的直接把握”；德國哲學家康德也認為“缺乏直觀的概念是盲目的”；著名數(shù)學家希爾伯特則說得更明白：“要幫助我們的學生學會用圖形來描述和刻畫問題，學會用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問題的思路”.可見，無論是數(shù)學家還是哲學家或是教育家，都認為直觀想象是認識事物的一種基本方式，學生要理解掌握必須先要有直觀認識，尤其是借助幾何直觀來認識.

高中數(shù)學課程標準修訂組對直觀想象的定義是這樣的：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程.主要包括：借助空間認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

修訂中的課標說明，直觀想象更多的是借助幾何直觀和空間觀念去感知、理解、探索和解決數(shù)學問題.因此，結(jié)合高中數(shù)學教材中的內(nèi)容，借鑒歷史上數(shù)學家們的一些理論或方法，可以更好地培養(yǎng)學生的直觀想象能力，從而使該核心素養(yǎng)落實到位.

2培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的HPM視角

2.1“圖說一體”：從直觀到想象

所謂“圖說一體”，就是指利用幾何圖形進行某種數(shù)學方法的論說、某個數(shù)學命題的證明或數(shù)學公式的推導，也稱之為“無字證明”.其實該法在我國古代和古希臘都有其歷史淵源.比如，我國古代數(shù)學家在對勾股定理證明時所用的“出入相補”原理，古希臘的“形數(shù)理論”等等，都是“圖說一體”的典型例子[1].

應(yīng)用“圖說一體”的無字證明，正好與直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)相吻合.因為首先給出圖形可讓學生有一個直觀認識，然后通過圖形的特征、規(guī)律等進行簡單推理想象，最后得出一個結(jié)論或公式.

案例1畢達哥拉斯學派的“形數(shù)理論”應(yīng)用[2].

人教版高中數(shù)學教材《必修5》第二章《數(shù)列》的21節(jié)，教材一開始就介紹了畢達哥拉斯學派的“形數(shù)理論”：“三角形數(shù)”與“正方形數(shù)”（如圖1、2）.

圖1圖2這是學生首次遇到，讓他們先有一個直觀感知：可以用點擺成某種形狀來構(gòu)造一系列數(shù).當講到23節(jié)《等差數(shù)列的前n項和》時，教師可讓學生作進一步想象，用“形數(shù)理論”來推導和理解數(shù)學方法.如圖3，在三角形數(shù)旁邊補一個倒立的三角形數(shù)，就推導出了一次冪和公式：1+2+3+…+n=n（n+1）2，而且還讓學生直觀地理解了“倒序相加法”.同樣，正方形數(shù)從一點出發(fā)，按圖4所示的方法劃分出3，5，7，…，2n-1，就得出了前n個連續(xù)正奇數(shù)和公式：“1+3+5+…+（2n-1）=n2”.圖3圖4如果繼續(xù)挖掘“形數(shù)理論”，還可進一步提升直觀想象的能力.在講到25節(jié)的《等比數(shù)列的前n項和》時，教材上有一道例題3，需要用到二次冪和的公式：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6.由于教材上沒有證明，學生不明白從何而來，此時可應(yīng)用三角形數(shù)的形式來推導.如圖5-1，首先畫一個三角形數(shù)，接著把每個點擴大為一個小圓，然后在每個小圓里按規(guī)律填上數(shù)字：第1行的小圓填1，第2行的所有小圓都填2，…，第n行的所有小圓都填n，再將這個三角形按順時針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)120°兩次，分別得到如圖52、53的形狀，最后將這三個三角形對應(yīng)位置上的小圓里的數(shù)相加，就得到第四個三角形（圖54），于是就可推導出二次冪和公式.

圖51圖52圖53圖54由于前三個三角形的每一個小圓內(nèi)的數(shù)之和正好是：12+22+…+n2，而第四個三角形中所有小圓內(nèi)的數(shù)之和恰好等于前三個三角形的所有數(shù)之和，于是可得到等式：

3（12+22+…n2）=12n（n+1）（2n+1），

所以得公式：12+22+…n2=16n（n+1）（2n+1）.

畢氏學派的“形數(shù)理論”，貫穿了《數(shù)列》的整一章知識.從最初第一節(jié)的介紹讓學生產(chǎn)生直觀認知開始，一直到最后解決了一些公式的推導、理解及方法，整個過程正好吻合直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)過程：讓學生在腦中建立起了形與數(shù)的聯(lián)系，既建構(gòu)了公式的直觀模型，又拓展了學生的思維彈性和想象力.

2.2幾何模型：從直觀到論證

古代數(shù)學家構(gòu)造幾何模型來推導、證明或解題是很正常的做法.比如，古希臘歐幾里得的《幾何原本》中解一元二次方程就是通過構(gòu)造幾何圖形來解的[3].

在《幾何原本》卷2中的命題5，就解決了古巴比倫時期的一類二次方程：x2+c=bx.

圖6方法如下：先把此方程變形為：x（b-x）=c，也就是說把長度是b的線段分割成兩部分x和（b-x），使得構(gòu)成的矩形面積為已知數(shù)c.即構(gòu)造圖6，使AB=b，D為所求的點，而DB=x，假設(shè)已求得D，則AD=b-x.再作矩形AKND，使得AK=BD=x，設(shè)S矩形AN=c.取AB的中點C，分別在DB和CB上作正方形DM和CF.顯然，K、N、M共線，B、N、E共線.

由于S矩形CN=S矩形NF，故S矩形CM=S矩形DF，因此有S矩形AL=S矩形DF，兩邊同時加S矩形CN，則有等式：endprint

S矩形AN=S矩尺形CLNGFB=c，因為S正方形LG=S正方形CF-S矩尺形CLNGFB=（b2）2-c，所以得CD=（b2）2-c，于是有：x=DB=CB-CD=b2-（b2）2-c，AD=b2+（b2）2-c，此即為方程的兩個根.

歐幾里得這種構(gòu)造幾何圖形來解方程的方法，對后來的歐洲數(shù)學家解一元二次方程起著十分重要的影響.可以說在數(shù)學史上，應(yīng)用幾何法來解決代數(shù)問題流行了很長的時間，因為在當時的數(shù)學家們看來，用幾何法解方程才更具直觀性.

當然，現(xiàn)在象解方程這類題型不必再用幾何法了，但可借鑒古人的智慧和思想，適當構(gòu)造一些“幾何模型”來幫助學生直觀地理解公式或定理，繼而可以進一步想象或推導也是值得提倡的，而且對培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)也是大有益處的.

案例2基本不等式的幾何模型[4].

人教版《必修5》第三章的34節(jié)《基本不等式》，教材一開始就給出了“勾股弦圖”（圖7）來推出不等式：“a2+b2≥2ab”，然后用代數(shù)法得出基本不等式：ab≤a+b2，接著又給出了“半圓模型”（圖8）來幾何解釋該不等式.其實這個“半圓模型”圖7圖8也可作為基本不等式的幾何直觀模型.有了教材上這兩個幾何模型，老師也可進一步引導學生探究其他的幾何模型.比如受比較面積大小而得出不等式的勾股弦圖啟發(fā)，可構(gòu)造出“等腰直角三角形模型”.如圖9，構(gòu)造兩個等腰直角△ACB與△ADE，不妨設(shè)AD=DE=a，AC=BC=b，則

圖9圖10有：S△ACB=12b，S△ADE=12a，S矩形ACFD=ab.由圖顯然有，S矩形ACFD

這些幾何模型的構(gòu)造，不僅可以讓學生進一步理解和解釋基本不等式，也可以繼續(xù)加強形與數(shù)的聯(lián)系，提高學生的直觀想象能力，使他們逐步能達到解決問題的創(chuàng)新水平.

2.3反例建構(gòu)：從直觀到認同

在數(shù)學發(fā)展史上，也有過許多謬論或錯誤，如果要認清其本質(zhì)或糾正其錯誤，有時往往只需要一個直觀的反例就足夠了，特別是在一些定義或定理的理解上.

案例3棱柱的歐氏定義反例[5].

圖11人教版《必修2》的第一章《空間幾何體》的11節(jié)，一開始就講到了棱柱的定義，隨后老師往往會讓學生判斷：“有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱”是否正確.學生基本上都認為這句話是正確的，這時教師會給出一個反例（圖11）來說明此話為假.但問題是這個反例有缺陷，學生有可能會提出質(zhì)疑，因為教材上的多面體一般是指凸的，而此反例是凹多面體，學生很可能不認同.此時，教師必須給出一個凸的反例才能讓學生心服口服.

其實要判斷的這句話是有歷史背景的，它就是歐幾里得在《幾何原本》中對棱柱下的定義，史稱棱柱的“歐氏定義”.在數(shù)學史上，此定義經(jīng)歷了二千多年，許許多多數(shù)學家都認為是正確的，原因就是找不到一個凸的反例.而那個凹的反例也許歐幾里得本人也知道，但由于前提是凸多面體，故已排除在外了.正因為如此，歐氏定義錯誤了二千多年，直到1916年，美國數(shù)學家斯頓、米利斯和郝克斯等人給出了歐氏定義凸的反例（見圖12），數(shù)學家們才相信歐氏定義是錯誤的，才逐漸完善成教材上的定義.由此可見，一個好的直觀反例能認清某個定義或定理的正確性.

圖12圖13現(xiàn)在教師在講棱柱的歐氏定義反例時，可用圖13來說明，讓學生通過這個凸的經(jīng)典反例的直觀認識來深刻理解棱柱的正確定義.由此可見，直觀的反例建構(gòu)可得到學生對知識的普遍認同，否則有時會難于描述清楚.

3結(jié)語

從HPM的視角去落實核心素養(yǎng)，可以最大限度地利用古人的智慧，讓他們的博大精深的數(shù)學思想為現(xiàn)在的學生所用.上述幾個案例，也僅僅是在培養(yǎng)“直觀想象”素養(yǎng)落地實踐方面的拋磚引玉，面對浩翰無邊的數(shù)學史料，實屬滄海一粟.愿中學一線教師攜手共進，從數(shù)學史這塊寶藏中挖掘出更多為落實核心素養(yǎng)而用的材料.

參考文獻

[1] 汪曉勤.HPM：數(shù)學史與數(shù)學教育[M].北京：科學技術(shù)出版社，2017，5.

[2] 沈金興.畢氏學派的“形數(shù)理論”及應(yīng)用[J].數(shù)學通訊，2013（10）：13.

[3]沈金興.《幾何原本》中的命題應(yīng)用：從歷史到高考[J].數(shù)學通訊，2015（8）：6365.

[4] 沈金興.“形神兼?zhèn)洹敝挡坏仁叫蕾p.中學數(shù)學教學參考[J].2015（9）：710.

[5]沈金興.數(shù)學史視角下的棱柱定義“學習單”設(shè)計[J].數(shù)學教學，2016（11）：4548.

作者簡介沈金興（1971—），男，中學數(shù)學高級教師，大市級數(shù)學名師，碩士.現(xiàn)主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育關(guān)系的研究，已在各類中學數(shù)學雜志上發(fā)表論文近50篇.