解題中選擇知識、方法、程序的若干視角

【摘要】為數(shù)甚多的學生在高三復習后期，面對一道綜合的數(shù)學題，仍會受困于選擇知識等.因此要著力培養(yǎng)學生的“選擇”能力.評判選擇優(yōu)劣的主要視角有熟知性，直接性，先知性，獨立性.

【關鍵詞】解題；選擇；有效；視角

在教學中，我們會發(fā)現(xiàn)，很多學生出現(xiàn)這樣的狀況，已經(jīng)掌握了較多的數(shù)學知識，積累了較為豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，再解答之前曾經(jīng)做過的題目，反而不如過去迅捷.如，在學習完向量的全部內容后，解答一道早前做過的向量題，會在選擇幾何法、坐標法、向量代數(shù)法上前思后想，猶豫不決，止步不前.又如，為數(shù)甚多的學生到了高三復習后期，仍不時地出現(xiàn)面對一道綜合數(shù)學題，受困于怎樣選擇知識、方法，如何安排諸步驟、諸環(huán)節(jié)的序次等問題，有的時候僅是跟著感覺走，往往無功而返.其實，學生出現(xiàn)這樣的解題現(xiàn)象很正常.因為在學習新授課的時候，課后作業(yè)主要是鞏固性練習，學生用當天所學的知識、方法就可以解決，基本上不需要做出選擇，而一旦到了復習階段，特別是到了復習后期，解一道較為陌生的數(shù)學綜合題，因為沒有解題方面的暗示，解題的工具多了起來，就需要通盤考慮，謀劃全局，在多方面做出選擇：在理解題意的基礎上，先分析題目的諸要素，綜合考慮已知條件和求解（證）目標，然后類比聯(lián)想，借助解題經(jīng)驗，預判選擇什么知識、方法，如何分步驟解決，以及怎樣安排諸步驟的序次才能夠有效、簡單，繼而制訂出解題計劃，最后才是實施、監(jiān)控、完善解題計劃.毫無疑問，學生在解題中所做的種種選擇，是需要深入思考、靈活決策的，是偏于評價、反省認知成分的高層次思維活動，表現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)的高低，決不是簡簡單單的機械性反復訓練所能培養(yǎng)的數(shù)學智能.因此，數(shù)學教師在復習教學中應該著力培養(yǎng)學生在解題時的“選擇”能力. 事實上，譬如對于運算能力的培養(yǎng)，曹才翰、章建躍兩位先生就特別強調要重點培養(yǎng)學生的“選擇”能力[1].

在解題中，如何選擇知識、方法、程序，才能使得解題快捷、簡單，可能沒有規(guī)則可循，僅有一些評判其優(yōu)劣的基本視角.本文試圖給出這樣的一些視角.

視角一：熟知性.優(yōu)先選取較為熟悉，清楚知道的知識、方法，如果有機械性的運作程式可以選取，一般將它作為首選.若有多種知識、方法可選用，則要盡可能選擇那些爛熟于心的知識、方法.這樣做，易于減少思考，同構連類，激活相關知識、方法，進而敏捷地探索出解題的思路.

視角二：直接性.選擇的知識、方法和所要解決的問題盡量要有較為密切的聯(lián)系，最好能同時與已知條件、求解（證）都有聯(lián)系，聯(lián)系越直接越好，這樣可使得解題的運算量小，推理直接、明了.數(shù)形結合的方法，處理問題的全局觀念，體現(xiàn)了結構性聯(lián)系，在特定條件下此聯(lián)系最為直接；選擇畫個圖觀察，取幾個特例歸納[2]，都是獲得猜想的最為基本的直接的方法.

視角三：先知性.優(yōu)先求出或設出題目中能夠確定下來的量，優(yōu)先揭示出題目中存在的一些對象間的邏輯關系、位置關系.對于必須用到的某些對象的值或對象間的邏輯關系、位置關系，如果較容易獲得，就要先進行探究、明晰，以便于在解題的初始階段就使用.對于先求什么后求什么的程序選擇，也關系到建立起解題信心問題.如果能先求出一些有用的東西，自然會增添繼續(xù)解答下去的信心.反之，則可能打退堂鼓. 對于有多個已知條件的數(shù)學題，應該優(yōu)先選擇那些能夠獲得明晰結論、結果的條件加以利用.

視角四：獨立性.要盡可能地選擇相互獨立的元作為表征其它量的基本元，因為選擇獨立的元作為基本元，可以避免變元間的相互制約、干擾.分離參數(shù)法就是基于這種想法.選擇相互獨立的元表征其它元，與函數(shù)思想相通.要做到熟練高效地選擇獨立元，則需要積累一些經(jīng)驗，掌握一些常見模型.如，一般地，對于一元二次方程，當方程根的性狀已知，且兩根獨立時，則選擇根作為基本元來表示其方程的系數(shù)等[3]；對于等差（比）數(shù)列，則選擇首項、公差（比）作為基本元表征其它量；對于平面（空間）向量問題，則選擇位于交匯處的不共線（面）的兩（三）個向量作為基本元；而對于線面垂直的推理判斷問題，亦可以看成是在面內找兩條獨立的直線元和這條直線垂直.值得指出的是，在解題的初始階段，為了便于表征所有的相關對象，也可以先多選一些元來表征其它元，盡管它們不是獨立的，可以通過在解題的后續(xù)階段消元，再轉化為獨立變元問題.

下文中給出的例子，是全國高考2012年安徽理科數(shù)學的一道填空題，我曾經(jīng)選用它作為我們學校一次測試的一道考題.考后成績統(tǒng)計，得分率很低.經(jīng)問詢，得知同學們這道題目做得不好的主要原因就是難以選擇知識、方法進行切入.由此可見，該題雖然是一道填空題，但窺一斑而知全豹，可以讓我們從中認識到：對知識、方法、程序做出有效的快捷的選擇，對于解題的成功、簡單、快速起著關鍵性作用.特別地，它是一道填空題，還能讓我們認識到選擇知識、方法、程序，對于正確、快捷解答各類題型都具有意義.

例已知向量a、b滿足|b-2a|≤3，

求a·b的最小值.

分析為對稱計，設2a=c，則原問題就等價的轉化為：已知向量b、c滿足|b-c|≤3，求12b·c的最小值.

解法1由于是求12b·c的最小值，又由于b、c可以是非零向量， b、c的夾角可以大于直角，從而僅考慮非零向量b與c的夾角大于直角的情形.

設非零向量b、c的夾角為θ，θ大于直角，

因為b·c=|b||c|cosθ≥-|b||c|，

所以|b||c|≥-b·c.

由|b-c|≤3，得9≥（b-c）2=b2+c2-2b·c≥2|b||c|-2b·c≥-4b·c.

從而b·c≥-94，其中等號成立，當且僅當b和c是相反向量，且b和c的模均為32.

故a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

解法2由解法1知，9≥2|b||c|-2b·c，

同上分析，僅考慮非零向量b與c的夾角θ大于直角的情形，endprint

因為，2|b||c|-2b·c=2|b||c|（1-cosθ），

從而，9≥2|b||c|（1-cosθ），|b||c|≤92（1-cosθ）.

因為，b與c的夾角θ大于直角，所以cosθ<0，

所以，b·c=|b||c|cosθ≥9cosθ2（1-cosθ）=92（1-cosθ）-92≥-94，

于是12b·c≥-98.等號成立，當且僅當|b-c|=3，|b|=|c|，b與c的夾角θ等于π.

故，a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

解法3僅推演非零向量b與c的夾角θ大于直角的情形.

圖1如圖1，作向量OC=b，OB=c，作⊙C以CB為半徑，CB≤3，作點B在直線CO上的射影D.因為向量OB、OC的夾角大于直角，

故O在圓內，D不在圓外，且O在線段CD上.

根據(jù)向量的數(shù)量積的幾何意義，b·c=-OC·OD.

因為，OC·OD≤OC+OD22=CD42≤CB42≤94，所以，b·c=-OC·OD ≥-94，其等號成立，當且僅當O為線段CB的中點，且CB=3.

故而，a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

圖2解法4如圖2所示，作向量DC=b，DB=c，則向量BC=b-c，|BC|≤3.

以直線CB為x軸，線段CB的中垂線為y軸，建立直角坐標系.設點B（12d，0），C（-12d，0），其中0≤d≤3，又設D（m，n）.

于是，DC=（-12d-m，-n），DB=（12d-m，-n），

所以b·c=DC·DB=m2+n2-d24≥-d24≥-94，其等號成立，當且僅當m=n=0，d=3.

所以，a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

解法5由對稱性以及求最小值，猜測當b與c是相反向量時，從而求得a·b，也就是12b·c的最小值是-98.

由于解法5，雖然有一定的判斷和合理性，但缺少必要的邏輯推理，故而舍棄對它的討論、分析. 對于上面的前四種解法，我們明顯地感到解法4明快、直接、直觀、簡單，盡管解法1和解法2，步驟看似不多，但多次放縮讓人有點“膽顫心驚”.對于解法1的放縮，只有在猜測出：“當兩個向量b、c是相反向量，且在|b-c|≤3取等號時，12b·c取得最小值”，才是有方向性、有目的性的放縮，否則只能說是“碰巧”.解法3是向量幾何法，盡管它比較直觀，但還是要借助許多幾何知識，多次對幾何量放縮.

在下面，我們將比較這五種解法在選擇方面的差異，重點闡釋解法4的選擇是符合選擇知識、方法、程序，使得解題快捷、簡單的基本視角的.

首先，選擇的坐標法，是熟知的，是用較為機械的程序化運作來代替大部分推理，把計算過程書寫下來就保證了可靠性，這里一切都看得見，一切都可以檢驗，一切都由精確的運算規(guī)則所確定，運算算法化，推理條分縷析，不需要過多地去考慮解題思路和推理的邏輯.

其次，選擇坐標表示三個點，由于類似于求橢圓、雙曲線的標準方程，精巧地選擇了對稱的兩向量b與c的終點在x軸上，且這兩終點關于原點對稱，三個點雖然有六個坐標，其實只涉及了三個變量d、m、n.由其中的一個變元d的范圍，便簡潔等價地表示了題目中的|b-c|≤3這一不太好處理的條件.不僅如此，三個變量d、m、n還和求解目標直接地聯(lián)系了起來，并且這一聯(lián)系是無縫對接，消弭了不易把控的代數(shù)變形. 這樣就保障了直接性.

再次，對于向量b-c的長度，我們先把它看作是確定的量，這如同先知性地預知一般，盡管它是在一定范圍內變化的.于是，求解問題一下子就轉化成了“在一個三角形（含退化的三角形）中，兩個頂點確定，第三個頂點運動，求兩邊所對應的向量的數(shù)量積的最小值”這一問題，而這個問題是便于坐標運算處理的.

最后，由于所選擇建立的直角坐標系恰當，既保障了三個點的坐標中的變元具有獨立性，又使得求解目標中的b·c這一多元函數(shù)，其變元彼此之間沒有制約關系，一個變元的增減性就可以決定b·c的增減性，于是就可以“隨心所欲”地逐個處置變元了，沒有中間過程，一氣呵成.

學生在解題中做出合理的有效的“選擇”，既依賴于直覺、經(jīng)驗，也依賴于邏輯推理.對于學生在“選擇”方面能力的培養(yǎng)，需要長期著力培養(yǎng)方會有所建樹，而最為有效的時機是在進行定理、公式、法則的新授課時，亦或在解決陌生的綜合的數(shù)學題時.

參考文獻

[1]曹才翰，章建躍著.中學數(shù)學教學概論（第3版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012（7）：89-90.

[2]李廣修.歸納和演繹的選擇與聯(lián)動.中學數(shù)學雜志[J].2016（9）：9-11.

[3]李廣修.教師解數(shù)學題欠缺意識之憂.數(shù)學教學[J].2012（3）：34-36.endprint