數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計研究

張昆+羅增儒

【摘要】數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計具有系統(tǒng)性，構(gòu)成它具有三個環(huán)節(jié)節(jié)點：其一，教師要認(rèn)真獨(dú)立地解題，盡可能窮盡解決數(shù)學(xué)問題的所有方法；其二，基于某些目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，從教師所獲得的解題方案中，選擇某一種、或兩種解法進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計；其三，設(shè)計方案經(jīng)由課堂教學(xué)實施后的反思.通過實例具體說明完善教學(xué)設(shè)計活動，滲透數(shù)學(xué)觀念的教學(xué)目標(biāo)的途徑，實現(xiàn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的價值.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；解題教學(xué)；數(shù)學(xué)觀念；教學(xué)目標(biāo)

新一輪課改以來，數(shù)學(xué)解題教學(xué)受到了多項詬病.多數(shù)情況下，特別是數(shù)學(xué)教育理論家認(rèn)為，解題教學(xué)總是教師將解題探究好了的方法與過程直接傳遞于學(xué)生，因而與實現(xiàn)新課程所設(shè)置的諸多教學(xué)目標(biāo)失去了聯(lián)系，甚至于干擾教學(xué)這些目標(biāo)的實現(xiàn).這些是將某些教師（為數(shù)確實不少）的教學(xué)（技藝）方式上的一些薄弱環(huán)節(jié)無端地與解題教學(xué)價值（教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)在依據(jù)）及其實現(xiàn)混為一談，這是有失公正的.其實，與數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理一樣，數(shù)學(xué)解題活動是極具創(chuàng)造性的課程資源，甚至于比數(shù)學(xué)概念原理更具培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的教學(xué)價值，學(xué)生由探究稍微復(fù)雜些的數(shù)學(xué)問題，可以感受到更具直觀的體驗.問題是，教師必須通過創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計途徑，才能實現(xiàn)這種教學(xué)目標(biāo).

1數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的課例

一方面，在數(shù)學(xué)新課程實施過程中，偏重于利用優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)知識資源，培養(yǎng)受教育者的創(chuàng)新能力，它需要多方面的素材，這些素材中解題活動占有舉足輕重的地位；另一方面，不管是有意還是無意，從某種程度上說，數(shù)學(xué)解題（特別在高考復(fù)習(xí)時）必定內(nèi)含了數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的成分，部分地具有發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的指揮棒的功能.因此，解題教學(xué)應(yīng)該有意識地納入新課程數(shù)學(xué)教育的評價目標(biāo)之中，而不能游離于這個體系之外，才能引領(lǐng)數(shù)學(xué)課程的實施方向[1].本研究通過解題教學(xué)設(shè)計指向教學(xué)目標(biāo)的實例，旨在糾正數(shù)學(xué)解題教學(xué)落后的手段與教學(xué)目標(biāo)之間混淆與混亂的認(rèn)識，從而達(dá)到厘清解題教學(xué)理念的目的.

課例 （2016年全國高考天津卷·理21·Ⅱ問）設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）3-ax-b①，其中x∈R，a>0.若f（x）存在極值點x0②，且f（x1）=f（x0）③，其中x1≠x0④，求證：x1+2x0=3⑤.

教學(xué)方案1師：在過去的解題教學(xué)活動中，已經(jīng)生成的解題經(jīng)驗是：問題的解決總是從問題的條件產(chǎn)生結(jié)論的.對這個問題，同學(xué)們有什么想法？

生1：在這四項條件中，條件③應(yīng)該是起著主導(dǎo)性作用的條件，因為通過它可以將其他條件集中起來[2].因此，可以從條件③入手：

由條件③與條件①，知（x0-1）3-ax0-b=（x1-1）3-ax1-b，知（x0-1）3-（x1-1）3+a（x1-x0）=0，知（x0-x1）[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-a（x0-x1）=0，知（x0-x1）{[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-a}=0⑥，……

師：哪位同學(xué)就生1中斷的思路提出新的想法，從而提供思維活動展開的動力？

生2：結(jié)論⑤作為解題的目標(biāo)，它一定隱含在等式⑥中，如何從等式⑥導(dǎo)出結(jié)論⑤，發(fā)現(xiàn)應(yīng)該消去等式⑥中一個與結(jié)論⑤無關(guān)的元素a.由條件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，即a=3（x0-1）2，代入⑥，知（x0-x1）{[（x0-1）2+（x0-x1）（x0+x1）+（x1-1）2]-3（x0-1）2}=0，知（x0-x1）[（x1-1）2+（x0-x1）（x0+x1）-2（x0-1）2]=0，繼續(xù)分解因式，知（x0-x1）2（x1+2x0-3）=0 ，由條件④，知x1+2x0-3=0，知結(jié)論⑤成立.

師：大家從生1與生2同學(xué)合作所得到的這種解法中，可以獲得哪些有價值的東西？

生3：問題的條件具有層級性，在解題時，必須通過試探與選擇，確定主導(dǎo)性條件，由此啟動思維，逐步將輔助性條件納入解題的思路中，這些構(gòu)成了解題思路的關(guān)鍵性的環(huán)節(jié).

生4：問題的結(jié)論在解題活動中始終具有指向性作用，在探究解題思路時，結(jié)論的指向性作用可以提示著某些數(shù)學(xué)觀念的生成，從而在這種觀念指導(dǎo)下展開新的思維活動.

教學(xué)方案2師：生4同學(xué)對方案1中的收獲的要旨是有價值的.更有甚者，在探究解題思維活動的思路中，我們也可以將結(jié)論轉(zhuǎn)化為條件，從而將綜合性的思維活動轉(zhuǎn)化為分析性的思維活動，以此可以提高了解題的效率[3].對于本例，我們也可以運(yùn)用這種觀念嗎？

生5：在“如何運(yùn)用題設(shè)條件f（x1）=f（x0）③”時，這個等式中有兩個自變量x1與x0，使我感到特別不舒服.我想通過消元化去一個自變量，將條件③這個等式中的自變量變成一個，肯定對問題的解決有幫助，但是……

師：生5提出了一種有價值的消元的觀念.如何消元？

生6：考慮到結(jié)論⑤，知x1=3-2x0.于是，將x0與x1=3-2x0代入①，得f（3-2x0）=8（1-x0）3-a（2-3x0）-b⑦，f（x0）=（x0-1）3-ax0-b⑧，……

師：怎么辦？

生7：由于計算復(fù)雜，我沒有完成計算過程.

師：可以找到途徑簡化計算過程嗎？

生8：考慮簡化（x0-1）3的計算.由條件②，知f′（x0）=3（x0-1）2-a=0，知（x0-1）2=a3，將其分別代入⑦、⑧，化簡，得f（3-2x0）=-2a3x0-a3-b，f（x0）=-2a3x0-a3-b，從而，知f（x0）=f（3-2x0）⑨，由于3-2x0≠x0（否則a=3（x0-1）2=0，與條件a>0矛盾），于是，可設(shè)3-2x0=x1⑩，從而結(jié)論⑤成立.

師：通過生6與生8同學(xué)合作的這種解法，你獲得哪些有價值的東西？

生9：問題的條件與結(jié)論是可以轉(zhuǎn)化的一對矛盾.在探究解題思路時，往往將結(jié)論轉(zhuǎn)化為條件，參與條件的計算或推理，使我們更容易啟動思維，獲得思路.endprint

生10：函數(shù)f（x）與它的自變量x也是一對矛盾，在談?wù)撟宰兞恐g的關(guān)系時，往往需要借助于函數(shù)這個支點來達(dá)到目的，反之亦然.這種解法由⑨導(dǎo)出⑩就是最好的體現(xiàn).還有一對我們早已熟悉的矛盾：就是一元與多元的矛盾，我們經(jīng)常將多元化為一元.

師：可以更為一般地說，數(shù)學(xué)解題活動的思維過程是符合辯證法精髓的，辯證法的集中體現(xiàn)就是矛盾法則，矛盾是對立的，在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化，因而又是統(tǒng)一的，解題活動過程就是要找到矛盾統(tǒng)一時需要轉(zhuǎn)化的條件.

2兩種方案折射出問題內(nèi)含的教學(xué)價值比較

因為在解題教學(xué)活動時，教師引領(lǐng)學(xué)生獲得問題思路的分析手段具有相似性，所以這一個例子不失一般性.方案1使用的數(shù)學(xué)觀念學(xué)生通過自己解題經(jīng)驗的積累，已經(jīng)非常熟悉了：其一，證明的過程就是在從題設(shè)過渡到結(jié)論的數(shù)學(xué)觀念指令下進(jìn)行的，這是非常自然的；其二，目標(biāo)觀念，是產(chǎn)生其中的一個關(guān)鍵性思維環(huán)節(jié)的動力，它是以變量替換常量（即用a=3（x0-1）2等式中的3（x0-1）2替換等式⑥中的a）的結(jié)果，這也是自然而然的.

正如學(xué)生所揭示的，方案2隱含著所需要解決的幾對矛盾的數(shù)學(xué)觀念：其一，已知（條件）與未知（結(jié)論）的矛盾，它的解決的方法是將未知直接作為已知，⑦式就是這種轉(zhuǎn)化的具體運(yùn)用；其二，函數(shù)與自變量的矛盾，一方面，當(dāng)我們學(xué)習(xí)“反函數(shù)”概念后，就會明確地意識到函數(shù)與自變量是相對的，在某些條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的；另一方面，又是互相依存的，當(dāng)我們討論自變量的問題時，我們一定要利用函數(shù)這個支點，本例中的等式⑨就是它的具體體現(xiàn)，反之，討論函數(shù)的關(guān)系時，也一定要借助于自變量這個支點；其三，一元與多元的矛盾，例如，條件③就是這對矛盾的體現(xiàn)，本例中通過結(jié)論的關(guān)系，將二元轉(zhuǎn)化為一元，解決了矛盾.這三對矛盾的解決構(gòu)成方案2的三個主要環(huán)節(jié)，這三個環(huán)節(jié)也就構(gòu)成了啟動與推動學(xué)生解題思維活動的三個支點，教學(xué)設(shè)計就是教師需要啟發(fā)學(xué)生妥善處理這三個支點，而不是將教師找到的現(xiàn)成的思路“奉獻(xiàn)”給學(xué)生.

如果我們以解題思維活動的自然流暢、水到渠成，產(chǎn)生思路時學(xué)生思維用腦量的多少為標(biāo)準(zhǔn)，那么方案1絕對地優(yōu)于方案2，這是我們應(yīng)該同意的；但是，如果我們以發(fā)揮這兩種解法的教育價值（滲透數(shù)學(xué)觀念）這個標(biāo)準(zhǔn)來說，那么方案2就要優(yōu)于方案1.

因為我們發(fā)現(xiàn)：方案1的數(shù)學(xué)觀念有兩點：其一，數(shù)學(xué)解題就是從已知過渡到未知，從題設(shè)條件過渡到題段結(jié)論；其二，目標(biāo)觀念.但是這兩個觀念，學(xué)生已經(jīng)通過大量的解題活動，刻入學(xué)生的智囊了，不需要再通過這個例子進(jìn)行鞏固了.方案2所具有的除了方案1產(chǎn)生的數(shù)學(xué)觀念的價值以外，它重在體現(xiàn)于我們已經(jīng)分析出的三對矛盾，探究解題思路活動的過程，就是充分暴露這些矛盾及其相互轉(zhuǎn)化的過程，經(jīng)由這種轉(zhuǎn)化的思維活動，滲透解題活動中的某些數(shù)學(xué)觀念，它們變成了學(xué)生駕馭將來面對新問題的手段.

3選擇某種方案在課堂上實施教學(xué)設(shè)計的依據(jù)與標(biāo)準(zhǔn)

教學(xué)目標(biāo)是選擇某種方案進(jìn)行教學(xué)活動的關(guān)鍵性依據(jù)，決定教學(xué)目標(biāo)的項目要素在于解題方法中內(nèi)含的教學(xué)價值與學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實的具體情況及其需要的配置.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)計途徑既不是來源于理論的推演，也不是來源于教師對流行的教學(xué)過程作形式上的模仿，而更多地來源于教師自己的教學(xué)實踐——對知識性質(zhì)分析與對學(xué)生發(fā)生知識的心理過程分析，而知識發(fā)生的心理過程又是因人而異的，所以，教學(xué)目標(biāo)設(shè)計就顯示出極其靈活性的一面.要提高教學(xué)目標(biāo)設(shè)計水平，設(shè)計出恰如其分的課堂教學(xué)目標(biāo)，除了需要教師整合教育教學(xué)的理論，積累教學(xué)目標(biāo)設(shè)計的經(jīng)驗以外，歸根結(jié)底，從解題活動中發(fā)現(xiàn)伴隨著知識的發(fā)生，能夠形成人的某些優(yōu)秀心理品質(zhì)與學(xué)生對某些核心要素的實際需要.

就滲透數(shù)學(xué)觀念這項目標(biāo)而言，我們理解了方案2的價值優(yōu)于方案1的價值，但是，也不能抽象概括地說，教師在選擇某種方案進(jìn)入課堂教學(xué)時，就一定要選擇方案2.其實，選擇還要受到一些關(guān)鍵性條件的限制，例如，其一，當(dāng)我們在上高一學(xué)生的函數(shù)起始課，需要合適的材料啟發(fā)學(xué)生理解函數(shù)概念成為當(dāng)務(wù)之急時；其二，即使是在進(jìn)行高考復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)解題課的教學(xué)時，作為高考壓軸題的第Ⅱ個問題，已經(jīng)具有相當(dāng)?shù)碾y度，因此，如果所授課的班級是一個一般性的學(xué)校，我們也應(yīng)該首選方案1，或者在完成方案1教學(xué)的基礎(chǔ)上，再設(shè)計方案2；其三，即使在一個普通學(xué)校，如果學(xué)生在一位優(yōu)秀教師長期教學(xué)熏陶下，方案1真的不足以提高學(xué)生數(shù)學(xué)觀念水平了，此時，我們就應(yīng)該選擇第二種方法.

由此可知，解題（其他知識也是一樣）教學(xué)設(shè)計時，教師必須在某種標(biāo)準(zhǔn)下選擇一種、或兩種方法真正地進(jìn)入課堂.這種選擇的標(biāo)準(zhǔn)需要整合兩個方面：其一，數(shù)學(xué)問題資源所提供的教學(xué)價值；其二，由學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實所處的具體情況.教師要善于比較在對自己所找到的方案中的每一種方案所隱含的教學(xué)價值，認(rèn)真地進(jìn)行體會與甄別，然后，仔細(xì)分析學(xué)生的心理需要，他們已經(jīng)存有的數(shù)學(xué)觀念，在這些數(shù)學(xué)觀念中，穩(wěn)定性、清晰性程度如何？某種解法所能提供的一種新數(shù)學(xué)觀念，這種新的數(shù)學(xué)觀念對學(xué)生今后自己獨(dú)立解題的重要性程度如何？還有發(fā)展學(xué)生計算技能方面的考量，等等.

這些構(gòu)成一節(jié)解題教學(xué)設(shè)計課設(shè)置課堂教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)，解題教學(xué)目標(biāo)的生命所在與力量所系在于發(fā)揮數(shù)學(xué)習(xí)題所隱含的教學(xué)價值，教學(xué)價值是教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)在形式，教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)價值的外在表現(xiàn)[4]，由于每一個數(shù)學(xué)問題中所隱含的教學(xué)價值可能是多方面的，這其中的某些價值在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實中已經(jīng)具有了，此時，盡管是非常好的教學(xué)價值，我們往往也不將其作為教學(xué)目標(biāo)的一個項目，某些價值在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實中雖然存在，但是，穩(wěn)定性、清晰性程度不高，我們可以將其設(shè)置為輔助性的教學(xué)目標(biāo)，某些價值在學(xué)生當(dāng)下的數(shù)學(xué)現(xiàn)實中還不存在，而這種教學(xué)價值又是學(xué)生必備的品質(zhì)，恰好那個題目又是這個教學(xué)價值的非常好的承載體，那么我們就一定要將其設(shè)置為主導(dǎo)的教學(xué)目標(biāo).

到此，我們可以總結(jié)系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計的一般環(huán)節(jié)，這具有三個方面的節(jié)點：其一，教師要認(rèn)真獨(dú)立地解題，盡可能窮盡解決數(shù)學(xué)問題的所有方法（當(dāng)然一般很難達(dá)到，但教師一定要如此努力.我們特別反對某些教師自己不解題而使用他人提供的答案的做法，可以預(yù)言，這樣的教師絕不會有所成就）；其二，基于某些目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)（問題性質(zhì)中所隱含的教學(xué)價值，學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實情況，學(xué)生需要鞏固的具體知識點與數(shù)學(xué)觀念，滲透全新的數(shù)學(xué)觀念，甚至于形成學(xué)生的某些優(yōu)良的心理品格，正當(dāng)興趣的發(fā)生、實現(xiàn)與加深，情感的皈依等等.這些又構(gòu)成了層級等次，也需要視具體問題、具體學(xué)生、學(xué)生處于具體的學(xué)習(xí)階段而定，這是考量數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計水平、提升教學(xué)效率的關(guān)鍵一環(huán)），從教師所獲得的解題方案中，選擇某一種、或兩種解法進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計；其三，設(shè)計方案經(jīng)由課堂教學(xué)實施后的反思.數(shù)學(xué)教師只有嚴(yán)格地執(zhí)行這三個環(huán)節(jié)，才能提升教學(xué)設(shè)計水平，實現(xiàn)數(shù)學(xué)解題教學(xué)價值，實現(xiàn)教學(xué)的有效性.

4簡要結(jié)語

教師與學(xué)生通過課堂活動兩者都受益，學(xué)生獲得知識，教師除了加深理解知識以外，還獲得傳授知識的技藝.數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計是一種技藝，在于它猶如揉面，要善于掌握松緊、彈性、力度；譬如作曲，要善于掌握節(jié)奏的快慢疾徐、音調(diào)的抑揚(yáng)頓挫；恰似演戲，要善于鋪墊、烘托、煽情，將觀眾的思維吸引進(jìn)入舞臺的情境，順著演員的思維前進(jìn).教師如果不對所要教學(xué)的數(shù)學(xué)知識透熟于胸，不對學(xué)生發(fā)生具體的數(shù)學(xué)知識的心理環(huán)節(jié)及其構(gòu)成環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)化的途徑了如指掌，那就不可能做到掌握恰當(dāng)?shù)姆执纭⒒鸷?；也不可能做到有?jié)律，分輕重、疾徐，從容有致地展開.這正是教師數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的硬工夫、真工夫所在.

參考文獻(xiàn)

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[4]張昆. “理性”與“實用性”：何長何消——對平面幾何知識進(jìn)入義務(wù)課程的一些思考[J]. 課程·教材·教法，2007.

作者簡介張昆（1965—），安徽合肥人，已在《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》、《課程·教材·教法》等發(fā)表教育教學(xué)論文500余篇.endprint