高中函數(shù)學習中直觀想象素養(yǎng)的培育探究

張先軍

摘 要：函數(shù)是高中數(shù)學的難點，需要直觀想象作為支撐.在教學實踐中，教師應創(chuàng)設直觀的情境，利用直觀的教具，借助多媒體技術手段，呈現(xiàn)直觀的事物刺激學生的想象，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想，提升學生直觀想象的素養(yǎng).

關鍵詞：函數(shù)；直觀想象；數(shù)形結合

函數(shù)是高中數(shù)學中最重要的內容，學生感覺比較難，主要的原因是函數(shù)的內容比較抽象，邏輯性比較強，需要學生有一定的抽象思維能力.直觀想象是培養(yǎng)抽象思維能力最好的方式，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程，包括借助空間認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律，利用圖形分析數(shù)學問題，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.根據(jù)函數(shù)知識特點，在學習過程中，教師應該善于發(fā)現(xiàn)和設計可供學生直觀想象的情景，精心設計問題，引導學生觀察與思考，在教學活動經歷中積累自己的“直觀想象”的經驗，培育學生直觀想象素養(yǎng).

一、創(chuàng)設直觀教學情境 激化學生課堂學習熱情

直觀想象素養(yǎng)中，有兩個關鍵詞——直觀和想象，直觀是感性的，是信息輸入的前提，而想象是理性的，是信息加工的結果.教師在教學中創(chuàng)設直觀教學情境，以觸動學生“最近發(fā)展區(qū)”，讓學生在直觀的情境中感知或類比獲取新知，能激化學生課堂學習熱情，起到良好的教學效果.

（一）運用形象資料展示直觀感知

對于剛進入高中的學生來說，函數(shù)是抽象的，不難發(fā)現(xiàn)，教材中許多章節(jié)不僅有文字的敘述，還有圖片說明，比如函數(shù)概念一節(jié)中，教材給出兩個實例，都配以圖片，第一張圖片直觀呈現(xiàn)給學生炮彈發(fā)射的場面，方便學生理解炮彈距地面高度隨時間變化的實際情境，第二張圖片給出南極上空臭氧層空洞面積的變化曲線圖，比文字或列表更加直觀，給學生提供了直觀想象的情境，讓學生能夠在直觀想象的基礎上建構數(shù)學知識.教材這樣的設計，就是運用形象的資料給學生直觀的感受，讓學生能直接從直觀的圖形中獲取信息.教師在教學實踐中創(chuàng)設直觀的教學情境，能讓學生迅速進入直觀想象的學習狀態(tài).

（二）利用形象資料類比獲取新知

類比本身就具備良好的教學作用，這種教學方式是通過舊知的呈現(xiàn)，類比學習新知，舊知是直觀，通過想象獲取新知，因為學生已經掌握類似的知識，學習過程中學生完全可以用類比的方法去猜想、對比、證明來獲得新知識，這種方式起到事半功倍的效果.函數(shù)學習中很多知識都可以使用類比，比如函數(shù)性質中單調遞增與單調遞減的類比，奇函數(shù)與偶函數(shù)的類比，最值中最大值與最小值的類比，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的類比等，將兩個知識點放在一起對比，用直觀想象分析它們相似之處，有利于學生接受新知，更有利于學生對知識的區(qū)分和記憶.

二、鼓勵學生動手實踐 激發(fā)學生直觀感受能力

心理學研究表明，學生在形成數(shù)學概念的最初階段，都必須借助于感覺先把對具體事物的觀察和接觸轉化成與具體事物無關的感性認識.單憑在黑板上用圖形文字表述缺少直觀感，對一些較抽象的、與函數(shù)有關的問題，可鼓勵學生動手實踐，自行操作演示，使學生能更好地完成從感性認識到理性認識的飛躍.圖形是一種視覺符號，與表象形成密切相關，學生在操作實踐中可通過不斷地對比、類比與轉換來培養(yǎng)想象的能力.

例題：兩塊相同的正三角形紙片，其中一塊剪拼成一個正三棱錐，另一塊剪拼成一個三棱柱模型，使得它們的全面積與原三角形的面積相等.請設計一種剪拼方法，并判斷所設計兩種幾何體體積的大小.

解析：本題可基于邊長為變量，將設計的幾何體體積用邊長的函數(shù)關系式表示，即可比較得出兩個幾何體體積的大小.

為方便計算，如圖1，將正三棱錐設計為正四面體，設邊長為[x]，則全面積[S（x）=3x2]，得[S底（x）=3x24]，[h錐（x）=63x]；設計正三棱柱的底面邊長也為[x]，在正三角形的三個角上剪出與四邊形[ADEF]全等的三個四邊形，其中[AD=AF=x2，][DE=FE，∠ADE=∠AFE=90°]，余下的部分按虛線折起，成為無上底的正三棱柱，而剪下的三個四邊形恰好拼成正三棱柱的上底，三棱柱的高[h柱（x）=x2tan30°=36x]，則三棱錐的體積[V錐（x）=212x3，][三棱柱的體積V柱（x）=18x3]，故[V錐

本例題具有一定開放性，設計的方案不同，結果就不一樣，如果學生能自制三角形的紙片，自己動手嘗試，去尋求合理的設計方案，自然會發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，更容易想到以上的方法，而不是拘泥于煩瑣的計算.有了設計方案后，就能更方便通過建立函數(shù)關系式來求解.如果教師讓學生將動手實踐的過程與方法用語言表達出來，就內化了知識，既培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識，也鍛煉了學生動手能力，進一步培養(yǎng)了學生直觀想象能力.

三、運用信息技術手段 激勵學生探究問題意識

教師在教學中應正確采用多媒體手段輔助教學.多媒體集文本、圖像、動畫、音視頻于一體，展示的內容豐富多彩，現(xiàn)在教師大多都利用多媒體呈現(xiàn)教學信息，組織教學活動，但是如果只是單純把現(xiàn)成的信息放電影似的強加到學生的大腦里，反而讓學生的想象力和思考能力受到抑制，學生只能被動接受大量信息，沒有思考的時間與空間.如何能正確使用多媒體來輔助教學呢？教師應該把多媒體的展示和學生的動態(tài)想象相結合，促進學生主動想象和思考.

比如，在正弦函數(shù)的圖象與性質的教學中，三角函數(shù)的圖象的生成可借助多媒體來完成，通過多媒體展示描點作圖的過程，學生發(fā)現(xiàn)點取得越多，圖象的趨勢愈加清晰，逐步形成“平滑”的圖象，驅動學生在大腦中構建正弦函數(shù)的圖象，這就是基于已有直觀圖象進一步想象的過程，經歷動態(tài)想象后，學生的經驗不會僅僅停留在淺層次的感知層面，學生在教師的引導下展開想象，頭腦中逐步形成清晰的形象，直觀想象能力就在想象過程中得到培養(yǎng).在學生以后五點法作圖時，就不會弄錯圖象的走勢.多媒體在本節(jié)課的教學中不僅提高教學的效率，而且對于直觀想象能力較為薄弱的學生來說，是一種輔助數(shù)學思維構建的策略，是學生思維對表象的加工，也是直觀想象素養(yǎng)培育的過程.

四、注重數(shù)形結合方法 激啟學生多元思考問題

函數(shù)具有雙重性，既有“數(shù)”的特征，也有“形”的特征，注重運用數(shù)形結合，激啟學生對問題的多元思考，使復雜問題形象化、簡單化，解題思路便豁然開朗.

（一）形中覓數(shù)，數(shù)中構形

例題：已知二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖象如圖2所示，則下列結論正確的是______.

①[b2-4ac>0]；②[abc>0]；③[2a+b>0]；④[9a+3b+c<0]；⑤[8a+c>0]

解析：引導學生形中覓數(shù)，分析圖象，通過對稱軸、特殊點等角度從圖象中讀取有效信息解決問題.

再比如2017年浙江高考第5題：若函數(shù)[f（x）=x2+ax+b]在區(qū)間[[0，1]]上的最大值是[M]，最小值是[m]，則[M-m]（ ）

A.與[a]有關，且與[b]有關 B.與[a]有關，但與[b]無關

C.與[a]無關，且與[b]無關 D.與[a]無關，但與[b]有關

解析：結合二次函數(shù)的圖象和性質，分類討論不同情況下[M-m]的取值與[a，b]的關系，綜合可得答案.但若進一步揭示本質，函數(shù)[f（x）=x2+ax+b]的二次項系數(shù)為1，它決定了函數(shù)圖象的開口和大小，而參數(shù)[a，b]決定了圖象的位置，改變[a]的值，圖象左右平移，改變[b]的值，圖象上下平移，[M-m]是區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值之差，不受圖象上下平移的影響，故選B.

該題形式新穎，但是考查內容常規(guī)，對學生科學思維的要求比較高，數(shù)中構形，直擊要點，便一目了然.平時教學中教師應注重科學思想與方法的培養(yǎng)，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

（二）靈活應用數(shù)形結合思想解題

“數(shù)形結合”就是把數(shù)學問題中的運算、數(shù)量關系與圖象結合起來進行思考，從而使得“數(shù)”與“形”各展其長，優(yōu)勢互補，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美統(tǒng)一起來，突破思維定式，數(shù)形相互滲透，培養(yǎng)思維靈活性.

例題：證明：函數(shù)[f（x）=|log2x|-（12）x]在[（0，+∞）]上恰好有兩個零點[x1，x2]且[x1x2<1].

解析：通過解對應方程的根來判斷是很困難的，用數(shù)形結合的方法，問題轉化為通過判斷函數(shù)[g（x）=|log2x|]與函數(shù)[h（x）=（12）x]交點的情況來判斷函數(shù)零點的問題就直觀得多了.如圖3，可判斷函數(shù)在[（0，+∞）]上恰好有兩個零點[x1，x2]，從圖象無法看出[x1x2<1]，故根據(jù)圖象特點，過[A]作[x]軸的平行線，與函數(shù)[g（x）=|log2x|]交于點[C]，若C點橫坐標為[x3，]則有[|log2x1|=|log2x3|]，所以[log2x1x3=0]，即[x1x3=1]，又[x2

數(shù)形結合思想在以數(shù)量關系分析圖象的性質或者以圖形的性質表現(xiàn)數(shù)量關系變化中得到很好的體現(xiàn)，即在解決函數(shù)問題時我們可以運用數(shù)和形之間的相互聯(lián)系、相互轉化、相互證明和相互補充來更準確理解題目含義，把握解題思路，培養(yǎng)學生形成數(shù)形結合的思考邏輯和解題思維.

五、加強形象思維訓練 激活學生靈動思維方式

（一）加強作圖訓練，把抽象問題形象化

圖形化是形象化教學的重要手段，利用圖象的直觀性大大簡化了學生對數(shù)學抽象問題的理解與掌握.

例題：若函數(shù)[f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）]的圖象關于[x=-2]對稱，則函數(shù)[f（x）]的最大值為_________.

解析：此題常規(guī)的做法為先求得函數(shù)[f（x）]的解析式，再用配方法去求最值，難度較大，大多數(shù)學生無法順利完成.若能應用直觀想象的思維方式，問題可以巧妙解決.

由解析式可知，[f（-1）=f（1）=0]，函數(shù)關于[x=-2]對稱，直觀想象函數(shù)圖象特點可知，[f（-3）=f（-5）=0]，故[f（x）=-（x+5）（x+3）（x+1）（x-1）]，若用換元，令[x+2=t]，則[f（x）=f（t-2）=][-（t+3）（t+1）（t-1）（t-3）=-t4+10t2-9]，當[t2=5]時，[f（x）]的最大值為16.

由直觀想象可知，此處的換元，是函數(shù)水平方向的平移，使得函數(shù)圖象對稱性更明確，計算更加便捷.

（二）注重形象儲備，把形象問題模型化

問題模型化是數(shù)學核心素養(yǎng)的重要內涵，是指通過模型的構建將問題轉化，最終使問題得以解決的解題策略與思想，模型化的前提是通過直觀想象，對一些問題模式進行識別，教師應該注重引導學生形象化問題的儲備、積累，建立模型后就能快速探明問題的方向，有效簡化問題求解的途徑.

例題：設函數(shù)[f（x）=ex-ax2-x-1]，若對任意[x≥0]，[f（x）≥0]，求[a]的取值范圍.

解析：對于[f（x）=ex-ax2-x-1]有[f（0）=0]，又因為[f（x）≥0]，直觀想象函數(shù)在[x=0]右側附近的圖象，應有[f'（x）≥0]，又[f'（x）=ex-2ax-1]，[f'（0）=0]，同理，直觀想象函數(shù)[y=f'（x）]在[x=0]右側附近圖象，應有[f'（f'（x））≥0]，即[f'（f'（x））=ex-2a≥0， a≤ex2]對[x=0]右側附近成立，從而[a≤12].有了這樣的判斷后，我們可以將問題分成[a≤12]和[a>12]兩種情況研究.

①當[a≤12]，且[x≥0]時[f'（f'（x））≥0]，所以[f'（x）=ex-2ax-1]是增函數(shù)，由[f'（0）=0]知，[f'（x）≥0]對任意的[x≥0]恒成立，所以[f（x）=ex-ax2-x-1]是增函數(shù)，又[f（0）=0]，所以對任意[x≥0]，[f（x）≥0].

②當[a>12]時，令[f'（f'（x））=0]，解得[x=ln2a]，當[x∈（0，ln2a）]，[f'（f'（x））<0]，函數(shù)[f'（x）]單調遞減；又[f'（0）=0]，所以當[x∈（0，ln2a）]，[f'（x）<0]；所以函數(shù)[f（x）]單調遞減；又[f（0）=0]，所以當[x∈（0，ln2a）]時，[f（x）<0]，與[f（x）≥0]矛盾，綜上，[a≤12].

本例應用數(shù)形結合思想，彰顯直觀想象法在探索解題思路、分解難題方面的重要作用，是分析解決問題的重要手段.

數(shù)學知識的形成依賴于直觀，數(shù)學知識的確定依賴于推理.也就是說，數(shù)學的很多結果是“看”出來的，看是一種直觀的判斷，它是依賴于經驗的，這種判斷又是建立在思考與想象基礎之上.培養(yǎng)學生的直觀想象是一個過程，讓學生積極變換視角，助推問題的解決和數(shù)學的理解，使學生的直觀想象素養(yǎng)真正得到提升.