淺談中學(xué)數(shù)列中的探索性問題

楊光

【摘要】本文采用了文獻分析法、實例分析法，分析了知果索因數(shù)列和結(jié)論數(shù)列中的探索性問題，旨在為中學(xué)數(shù)列探索性問題研究提供有效參考.

【關(guān)鍵詞】中學(xué)；數(shù)列；探索

一、知果索因數(shù)列探索性問題分析

（一）解題思路以及注意事項

解答知果索因數(shù)列探索性問題的思路是先根據(jù)結(jié)論進行逆向推導(dǎo).假設(shè)結(jié)論成立，一步步進行計算、分析，由結(jié)果推導(dǎo)條件進行論證，最后論證結(jié)論成立.在解答這類數(shù)列問題時，需要注意三點：一是全面考慮數(shù)列結(jié)論成立的充分條件，避免重復(fù)運算，或漏算、誤算.有些數(shù)列探索性問題會出現(xiàn)多余條件，是為了迷惑我們解題，但是這種情況并不多見，一般出題教師不會加入多余條件.在判斷數(shù)列探索性問題條件是否多余時，應(yīng)根據(jù)該題所證結(jié)論，或者所求條件確定已知條件是否多余，不能憑空下結(jié)論；二是根據(jù)實際情況解答數(shù)列問題，在推理時理清必要條件和充分條件，避免二者混淆；三是注意知果索因數(shù)列問題所求的一般是問題的充分條件，求充要條件的并不多見.因這類數(shù)列問題需要運用聯(lián)想力、觀察力和邏輯思維能力，所以應(yīng)重點培養(yǎng).

（二）實例分析

已知正項數(shù)列{an}滿足Tn+Tn-1=Ka2n+2（n≥2，K>0），其中a1=1，Tn是{an}的前n項和.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）如果Sn=1anan+1，那么求出K的取值范圍，使其對所有Sn<2，n∈N*恒成立.

解 （1）因為a1=1，Tn+Tn-1=Ka2n+2，所以a2=Ka22.

因為n≥2，K>0，所以a2不可能為0，所以a2=1K.

因為Tn+Tn-1=Ka2n+2，①

所以Tn-1+Tn-2=Ka2n-1+2（n≥3）.②

①-②得an+an-1=K（a2n-a2n-1）.③

將③進行因式分解可得：

（an+an-1）[1-K（an-an-1）]=0.④

因數(shù)列{an}屬于正項數(shù)列，

所以an>0，所以an+an-1>0，

所以an-an-1=1K（n≥3）.⑤

由⑤可知{an}從第二項開始是等差數(shù)列，公差為1K，

所以an=1，n=1，n-1K，n≥2.

（2）因為Sn=1anan+1，所以s1=K.

當(dāng)n≥2時，

Sn=K+K211×2+12×3+…+1n（n-1）

=K+K21-1n.

若使K>0，Sn<2對所有n∈N*恒成立，

只需2-KK2>1-1n對所有n∈N*恒成立即可.

因為1-1n恒小于1，所以只需求證2-KK2≥1即可，

由2-KK2≥1解得0

二、結(jié)論數(shù)列探索性問題分析

（一）理論分析

結(jié)論不清晰或者有多個答案的數(shù)列題屬于結(jié)論探索性問題.這類問題因結(jié)論涉及的情況比較復(fù)雜，學(xué)生條件反射性認為比較難，不敢去解題，其實只要細心并考慮周到便可解決.因結(jié)論不唯一，探索空間比較發(fā)散，多做多練就有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和觀察力.這類數(shù)列探索性問題解法比較靈活、形式豐富多樣，不能套用統(tǒng)一解題模式.

（二）解題思路以及注意事項

解答結(jié)論性數(shù)列探索問題的思路是先根據(jù)已知條件進行分析、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)該類問題的數(shù)列規(guī)律，然后利用規(guī)律推理、計算得到最終結(jié)論.解這類數(shù)列題時，需要注意三點：一是充分挖掘已知條件.這類數(shù)列探索性題目每個條件都對應(yīng)一步解題關(guān)鍵，如果漏掉一個或者挖掘不充分，很容易得出錯誤結(jié)論或遺漏.因此，在解題時應(yīng)充分挖掘已知條件；二是推理全面縝密.因結(jié)論探索性數(shù)列問題的結(jié)論大多不唯一，在教學(xué)生解這類題時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進行全面縝密推理，避免遺漏可能性結(jié)論；三是不能怯場.有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)這類數(shù)列問題得出的結(jié)論不唯一，習(xí)慣性認為自己解錯了，不敢解答，或者解答的似是而非，條理不清晰.教師應(yīng)幫助學(xué)生樹立自信心，不要因結(jié)論不唯一而怯場.

（三）實例分析

已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2×3n+k（k∈R，n∈N）.

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足an=4（5+k）anbn，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和.判斷3-16Tn與4（n+1）bn+1的大小，并證明你的結(jié)論.

解 （1）因為Sn=2×3n+k（k∈R，n∈N），

所以當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=4×3n-1.

由于{an}是等比數(shù)列，所以a1=s1=4，

解得k=-2，所以an=4×3n-1.

（2）由（1）知{an}的通項公式，

將{an}的通項公式代入an=4（5+k）anbn，

可得bn=n-14·3n-1.

因為Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，

所以Tn=b1+…+bn=14×3+24×32+…+n-14×3n-1，

3Tn14+24×3+34×32+…+n-14×3n-2，

兩式相減可得

2Tn=14+14×3+14×32+…+14×3n-2-n-14×3n-1，

所以Tn=18+18×3+18×32+…+18×3n-2-n-18×3n-1=316-2n+116×3n-1.

3-16Tn-4（n+1）bn+1=3（2n+1）-n（n+1）3n.

由以上可知：當(dāng)n≥6時，有3-16Tn<4（n+1）bn+1，

當(dāng)1≤n≤5時，有3-16Tn>4（n+1）bn+1.

三、結(jié)束語

中學(xué)數(shù)列探索性問題有很多，其中主要的問題有知果索因型、結(jié)論型.知果索因是指給出結(jié)論求條件，結(jié)論型數(shù)列問題的結(jié)論不唯一，探索空間比較大.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多做多練這類型數(shù)列題，提高學(xué)生發(fā)散性思維能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力.

【參考文獻】

[1]伏春玲，董建德.淺談中學(xué)數(shù)列中的探索性問題[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報，2012（1）：94-99.

[2]蔣鑫.數(shù)列教學(xué)中的四個探索性問題探討[J].廣西教育，2015（46）：65-66.