自選數(shù)值有文章 取值范圍記心上

李長(zhǎng)春

分式的化簡(jiǎn)和求值歷來(lái)是中考必考知識(shí)點(diǎn).近幾年各地中考中頻繁出現(xiàn)一類開(kāi)放性分式化簡(jiǎn)求值試題，這類題型一般要求將給定的分式先化簡(jiǎn)，然后選取一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為相關(guān)字母的值，代入求值.命題者往往喜愛(ài)在自選“合適的數(shù)”上大做文章，設(shè)置陷阱.解答這類問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們往往容易疏忽“分式的分母不能為零”這一個(gè)隱含條件，所選數(shù)值有時(shí)恰好使原分式的分母為零或使化簡(jiǎn)過(guò)程中的分式分母為零，從而出錯(cuò).下面從2017 年中考數(shù)學(xué)試卷中采擷幾道相關(guān)試題，結(jié)合口訣“自選數(shù)值有文章，取值范圍記心上”進(jìn)行分析，供大家參考.

一、在給定的幾個(gè)數(shù)值中選取合適的數(shù)

【例1】（2017·邵陽(yáng)）先化簡(jiǎn)[x2x+3·x2-9x2-2x][+xx-2]，再在-3，-1，0，[2]，2中選一個(gè)適合的x值代入求值.

【分析】根據(jù)分式的乘法和加法運(yùn)算法則，先將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到最簡(jiǎn)結(jié)果后，再?gòu)乃峁┑膞的值中選取合適的數(shù)代入求值.要注意選擇雖多，但并不是每一個(gè)都可以！要根據(jù)題意確定x的取值范圍，即要使原式和計(jì)算過(guò)程中的所有分式的分母均不為零.

【解】原式=[x2x+3·x+3x-3xx-2+xx-2]

=[xx-3x-2+xx-2=x2-3x+xx-2=x2-2xx-2=xx-2x-2]

[=x]，因?yàn)楫?dāng)x=-3、0或2時(shí)，原分式無(wú)意義，所以合適的x的值為-1或[2].所以，當(dāng)x=-1時(shí)，原式=-1，或當(dāng)x=[2]時(shí)，原式=[2].

【點(diǎn)評(píng)】在提供的5個(gè)數(shù)中選一個(gè)適合的x值，看似自由，實(shí)有“分式的分母不為零”的限制，最后可以選取的只有兩個(gè).同學(xué)們稍不留神就會(huì)掉進(jìn)陷阱.

二、在給定的范圍內(nèi)選取合適的數(shù)

【例2】（2017·威海）先化簡(jiǎn)[x2-2x+1x2-1][÷x-1x+1-x+1]，然后從[-5]

【分析】根據(jù)分式的加、減法和除法法則可以化簡(jiǎn)原式，然后在[-5]

【解】原式=[x-12x+1x-1÷x-1-x-1x+1x+1]

=[x-1x+1×x+1x-1-x2+1=-1x]，

因?yàn)榉质接幸饬x時(shí)，x+1≠0，x-1≠0，x≠0，所以x≠-1，x≠1，x≠0，又因?yàn)閇-5]

當(dāng)x=-2時(shí)，原式=[-1-2=12]；當(dāng)x=2時(shí)，原式=[-12] .

【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解、分式的化簡(jiǎn)求值、分式有意義的條件和估算無(wú)理數(shù)的大小.解答本題容易疏忽“分式的分母不能為零”這一隱含條件，應(yīng)注意所選的x的值必須使得原分式有意義.

三、在給定的不等式組解集中選取合適的數(shù)

【例3】（2017·鄂州）先化簡(jiǎn)，再求值：[x-1+3-3xx+1÷x2-xx+1]，其中x的值從不等式組[2-x≤3，2x-4<1]的整數(shù)解中選取.

【解】原式[=x2-1x+1+3-3xx+1÷xx-1x+1]

[=x2-3x+2x+1×x+1xx-1=x-1x-2x+1×x+1xx-1]

[=x-2x].解不等式組[2-x≤3，2x-4<1，]得：-1≤x<[52]，所以不等式組的整數(shù)解為-1、0、1、2.又因?yàn)榉质接幸饬x時(shí)，x+1≠0，x-1≠0，x≠0，所以x≠±1、0，從而x=2.當(dāng)x=2時(shí)，原式=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值及解一元一次不等式組的能力，熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和法則是解題的關(guān)鍵.

四、在給定的方程的解中選取合適的數(shù)

【例4】（2017·安順）先化簡(jiǎn)，再求值：[x-1÷2x+1-1]，其中x為方程x2+3x+2=0的根.

【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求出方程x2+3x+2=0的根為-1和-2，特別要注意的是當(dāng)x=-1時(shí)，分式[2x+1]無(wú)意義，所以x=-1必須舍去.

【解】原式=[x-1][÷2-x-1x+1=x-1÷1-xx+1]

=[x-1×x+11-x=-x-1]

解方程x2+3x+2=0，得x1=-1，x2=-2.

當(dāng)x=-1時(shí)，分式[2x+1]無(wú)意義，所以x=-1舍去；

當(dāng)x=-2時(shí)，原式=-（-2）-1=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值及解一元二次方程的能力.倘若擔(dān)心化簡(jiǎn)出錯(cuò)，可以將x=-2代入原式直接計(jì)算，進(jìn)行驗(yàn)證，但答卷上必須先化簡(jiǎn)，再求值.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）