高等數(shù)學(xué)微課堂教學(xué)設(shè)計(jì)初探

屈娜　李應(yīng)岐　劉華

摘 要 在微積分基本公式的微課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、探究、猜想等不完全歸納思想到完備的理論證明，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力以及創(chuàng)新意識(shí)。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思維能力 微積分基本公式 幾何探究

中圖分類(lèi)號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.05.051

Discussion on the Teaching Design of Micro Course in Higher Mathematics

——Take calculus basic formula as an example

QU Na， LI Yingqi， LIU Hua

（Rocket Force University of Engineering， Xian， Shaanxi 710025）

Abstract For the teaching design of N-L formula， through incomplete induction such as observation， inquiry and conjecture to complete proof theory， the design cultivates students' mathematical thought and consciousness of innovation.

Keywords mathematical thought； N-L formula； geometrical inquiry

0引言

微課是近幾年來(lái)出現(xiàn)的一種新型教學(xué)形式，以短小精悍的微型流媒體教學(xué)視頻為主要載體，針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或教學(xué)環(huán)節(jié)而精心設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)的一種情景化、可視化的數(shù)字化學(xué)習(xí)資源包。微積分基本公式是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，適合微課的選題。傳統(tǒng)教學(xué)中，微積分基本公式是以積分上限函數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行學(xué)習(xí)證明的。但積分上限函數(shù)是學(xué)生接觸的一種新型的抽象函數(shù)，對(duì)其定義的理解以及導(dǎo)數(shù)的研究是高等數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)內(nèi)容，在學(xué)生的認(rèn)知水平上產(chǎn)生了一個(gè)斷層，用難點(diǎn)證明重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)理解來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是雪上加霜。

在引進(jìn)新概念、新理論時(shí)，應(yīng)盡力做到使學(xué)生在思想上有所準(zhǔn)備，不覺(jué)突然，盡可能地看到這些內(nèi)容的引進(jìn)是自然的、必要的。維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論認(rèn)為：學(xué)生的發(fā)展有兩種水平，一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過(guò)教學(xué)所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)。教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能?；谝陨峡紤]，貫徹“以知識(shí)為載體，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”的理念，為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，本次微課設(shè)計(jì)遵循明暗兩條線(xiàn)，以幾何探究為重點(diǎn)討論過(guò)程，收到了較好的教學(xué)效果。

1 “微積分基本公式”的教學(xué)實(shí)施

1.1 提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

定積分是一種特定和式的極限，其中區(qū)間的分法以及子區(qū)間 的取法均任意。由定義的可逆性，我們可通過(guò)構(gòu)造和式取極限來(lái)求得定積分，比如計(jì)算，但是該方法具有明顯的局限性。為了推廣定積分的應(yīng)用，必須尋求計(jì)算定積分的一般方法，在復(fù)習(xí)鞏固舊知的基礎(chǔ)上提出新問(wèn)題。

1.2 分析問(wèn)題，培養(yǎng)思維能力

基于建構(gòu)主義及學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)理論，任何一種理論方法的形成都與其相關(guān)概念產(chǎn)生的背景或者一些先驗(yàn)知識(shí)有關(guān)。因此為了解決定積分的計(jì)算問(wèn)題，首先回到定積分概念產(chǎn)生的物理背景——變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程，營(yíng)造探究解決問(wèn)題的課堂環(huán)境。

討論1（物理觀察）

假設(shè)汽車(chē)做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，位置函數(shù)、速度函數(shù)分別為，現(xiàn)求汽車(chē)在內(nèi)所走過(guò)的路程。該問(wèn)題可啟發(fā)學(xué)生從兩個(gè)角度進(jìn)行討論，過(guò)程如下：

定積分角度： 初等數(shù)學(xué)角度：

注意到兩個(gè)函數(shù)之間內(nèi)在的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生可將結(jié)論轉(zhuǎn)化為如下形式：

（1）

（1）式說(shuō)明：速度函數(shù)在區(qū)間上的積分值可以用它的一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間上的增量來(lái)表示，為定積分的計(jì)算提供了一個(gè)新的思路。進(jìn)一步在這個(gè)物理模型的啟發(fā)下，帶動(dòng)學(xué)生討論：對(duì)于一般的函數(shù)，該結(jié)論是否普遍成立？注意到速度函數(shù)的連續(xù)性，引導(dǎo)學(xué)生將所要討論的問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述，給出本次課要解決的核心問(wèn)題：

問(wèn)題：假設(shè)在上連續(xù)，是在上的一個(gè)原函數(shù)，則

（2）

接下來(lái)從幾何上做進(jìn)一步的探究，注意到（2）中兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合之前已有的知識(shí)基礎(chǔ)，在幾何上將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找函數(shù)增量及其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系。

討論2（幾何探究）

目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)特定學(xué)習(xí)環(huán)境，在幾何上試圖建立函數(shù)增量及其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系。一般來(lái)講，連續(xù)函數(shù)在幾何上表示一條連續(xù)曲線(xiàn)（特例研究）。等式（2）右端的函數(shù)增量在幾何上表現(xiàn)為曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處縱坐標(biāo)的增量。提出問(wèn)題：能否在幾何上建立起此增量與導(dǎo)函數(shù)之間關(guān)系呢？

對(duì)于曲線(xiàn)縱坐標(biāo)的增量，學(xué)生并不陌生。學(xué)習(xí)微分概念時(shí)，微分思想中的“以直代曲”表明：該段增量可以用點(diǎn)處的切線(xiàn)上縱坐標(biāo)的增量來(lái)近似。表現(xiàn)在代數(shù)形式上即成立如下結(jié)果：

（3）

而（3）式就是關(guān)于函數(shù)增量及導(dǎo)函數(shù)之間的一個(gè)關(guān)系式，事實(shí)上它也是近似計(jì)算函數(shù)增量的一個(gè)方法。但是這個(gè)關(guān)系式顯然與（2）式相差甚遠(yuǎn)。如何解決問(wèn)題呢？提示學(xué)生注意到“以直代曲”的局限性：它僅僅在局部范圍內(nèi)近似的比較好。進(jìn)一步提出問(wèn)題：如何建立起增量和導(dǎo)函數(shù)之間更好的關(guān)系式呢？由近似計(jì)算的啟發(fā)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如何提高這種近似計(jì)算的精度？

為了提高精度，回想在求曲邊梯形面積時(shí)采取的方法，討論過(guò)程如下：

首先：在中任意插入個(gè)分點(diǎn)，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)做平行于軸的直線(xiàn)，這樣可將曲線(xiàn)在整個(gè)區(qū)間上縱坐標(biāo)的增量分成個(gè)子區(qū)間上縱坐標(biāo)的增量。

其次，在每個(gè)子區(qū)間上“以直代曲”。即在第個(gè)子區(qū)間上，用左端點(diǎn)處切線(xiàn)上縱坐標(biāo)的增量來(lái)近似曲線(xiàn)在該區(qū)間上縱坐標(biāo)的增量。

第三步，將個(gè)近似量相加，便可得到一個(gè)好的近似值。事實(shí)上，利用matlab軟件進(jìn)行曲線(xiàn)縱坐標(biāo)的逼近實(shí)驗(yàn)。我們發(fā)現(xiàn)，隨著分點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，誤差越來(lái)越小，近似程度越來(lái)越好。當(dāng)n=200時(shí)，兩者吻合得已經(jīng)相當(dāng)好了。

代數(shù)形式上我們得到如下關(guān)系式：

（4）

當(dāng)分點(diǎn)給定后，注意到（4）式永遠(yuǎn)只是近似的關(guān)系。能否得到兩者之間精確的關(guān)系呢？由逼近結(jié)果以及定積分的思想得到解決問(wèn)題的思路：只需對(duì)區(qū)間無(wú)限細(xì)分。

第四步，令小區(qū)間的最大長(zhǎng)度取極限，兩者精確關(guān)系式便可建立。而另一方面連續(xù)，（4）式右端和式的極限并不依賴(lài)于區(qū)間的分割以及子區(qū)間的任意取點(diǎn)，由定積分定義，它恰為在區(qū)間[]區(qū)間上的定積分，即成立下式。

（5）

通過(guò)幾何上的逐步尋找討論，得到了與求物理背景中的路程問(wèn)題同樣性質(zhì)的結(jié)果。在該過(guò)程中，通過(guò)一步步的引導(dǎo)分析，鍛煉了學(xué)生的聯(lián)系已知，探索未知，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決遇到新問(wèn)題的能力。

討論3（理論證明）

通過(guò)物理觀察和幾何探究得到的結(jié)果，定積分的計(jì)算貌似可以轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)的增量。但該結(jié)論要嚴(yán)格成立，必須給予理論上的證明。在證明過(guò)程中，啟發(fā)學(xué)生由幾何探究得到的啟示，借助于已有知識(shí)基礎(chǔ)——微分中值定理進(jìn)行理論證明。

1.3 解決問(wèn)題，介紹數(shù)學(xué)史，融入數(shù)學(xué)思想

由上述遞進(jìn)的討論過(guò)程得知，該結(jié)論是普遍成立的。介紹數(shù)學(xué)史，牛頓從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度入手，而萊布尼茨從幾何學(xué)的觀點(diǎn)，運(yùn)用分析學(xué)的方法研究的。后人為了紀(jì)念他們的偉大成就，將此公式稱(chēng)為牛頓-萊布尼茨公式。定理的重要意義在于，其一給出了求定積分的一般方法，其二建立了積分學(xué)中的定積分與微分學(xué)中原函數(shù)概念之間的關(guān)系，將微分和積分統(tǒng)一起來(lái)，微積分學(xué)才成為一門(mén)真正的學(xué)科。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，牛頓萊布尼茨公式在微積分的發(fā)展史上起著里程碑的作用，因此也將其稱(chēng)為微積分基本公式。

2 小結(jié)

微課重在設(shè)計(jì)，它更多的取決于教學(xué)設(shè)計(jì)和教師的教學(xué)智慧，麻雀雖小五臟俱全，微課的短小精悍最終必須落腳在“精”和“悍”?！熬斌w現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)的精彩，“悍”體現(xiàn)在學(xué)習(xí)效果的震撼。本次微課從物理觀察、幾何探究、嚴(yán)格的理論證明三個(gè)方面對(duì)該重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行了設(shè)計(jì)，不僅加深了學(xué)生對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的理解，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力收到了良好的效果。

參考文獻(xiàn)

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