電潤濕雙液體透鏡的建模仿真

陳博偉　吳之舟　王正強

摘要：研究了微型化和無機械透鏡的變焦，即電潤濕雙液體透鏡的性能，通過COMSOL軟件進行了流體動力學(xué)的建模，分析了雙液體界面面型隨電壓的變化，并導(dǎo)出了其中幾組電壓下界面面型數(shù)據(jù)，其次再用MATLAB對數(shù)據(jù)進行擬合，求出曲面的函數(shù)解析式，最后將數(shù)據(jù)導(dǎo)入ZEMAX軟件中，在ZEMAX軟件中進行光學(xué)建模，結(jié)果表明，在105v-150v的電壓范圍內(nèi)，電潤濕雙液體透鏡的焦距變化范圍是從29.597mm變化到395.6mm，可以在大范圍內(nèi)實現(xiàn)變焦，可以同時滿足手機攝像鏡頭的微型化和精確變焦的需求。

關(guān)鍵詞：液體透鏡；介質(zhì)上電潤濕效應(yīng)；COMSOL軟件；MATLAB軟件；Zemax軟件

中圖分類號：TP302.7 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2018）15-0192-04

1 引言

電潤濕效應(yīng)是指改變液滴和絕緣板之間的電壓，從而改變接觸角，使液滴發(fā)生形變或位移的微流體現(xiàn)象。借助于介質(zhì)上電潤濕效應(yīng)研究的液體透鏡可以實現(xiàn)焦距可調(diào)，變焦迅速，低功耗，低成本等優(yōu)點，并且在微型化、系統(tǒng)響應(yīng)能力上也有著明顯的優(yōu)勢。液體透鏡比傳統(tǒng)變焦透鏡有著電壓直接驅(qū)動、易于加工等優(yōu)點，其優(yōu)越的性能是傳統(tǒng)的光學(xué)系統(tǒng)無法可比的[1 2]。

變焦透鏡一般包含兩種，一種是光學(xué)變焦，另一種是數(shù)碼變焦。光學(xué)變焦是通過鏡頭、物體和焦點三方的位置發(fā)生變化而產(chǎn)生的，通過改變變焦鏡頭中的各鏡片的相對位置來改變鏡頭的焦距。一般鏡頭越長的數(shù)碼相機，內(nèi)部的鏡片和感光器移動空間更大，所以變焦倍數(shù)也更大，但是這就會使得鏡頭的體積較大，無法做到微型化。

而手機攝像鏡頭采用的是數(shù)碼變焦。數(shù)碼變焦是利用軟件對已有像素周邊的色彩進行判斷，并根據(jù)周邊的色彩情況插入經(jīng)特殊算法加入的像素，把圖片內(nèi)的每個像素面積增大，從而達到放大目的。數(shù)碼變焦基本都是插值運算，相當(dāng)于將一個完整照片的小部分截取下來，然后經(jīng)過運算放大。焦距越大，截取的部分越小，圖像越模糊。雖然數(shù)碼變焦可以實現(xiàn)透鏡微型化，但是因為它并沒有改變鏡頭的焦距，只是通過改變成像面對角線的角度來改變視角，照片成像質(zhì)量會有一定影響。數(shù)碼變焦是以犧牲分辨率和圖像質(zhì)量為代價的變焦，對于那些要求高品質(zhì)像質(zhì)的精密工作來說仍然是不夠的，然而應(yīng)用液體透鏡，相機模塊可以做得更薄的同時，還可以解決色差問題，且具有較高的光學(xué)質(zhì)量，鏡頭的耐用性也更好[3]。

2 用COMSOL對雙液體透鏡仿真

仿真的大體過程為選擇模塊、建立模型、定義參數(shù)、移動網(wǎng)格細分和對求解器求解[4 5]。本文選用的是流體流動中的層流兩相流移動網(wǎng)格（tpfmm），構(gòu)建了一個底面半徑為2mm，高為4mm的物理模型，如下：

本文所選的材料為：下層NaCl溶液，密度1000（kg*m-3），動力黏度1.5e-3（Pa*s）；上層為硅油溶液，密度為1000（kg*m-3），動力黏度為8e-3（Pa*s）。接下來在層流兩相流移動網(wǎng)格選項中對移動網(wǎng)格進行細分，使液體透鏡界面面型能夠顯示出來，最后對求解器配置進行設(shè)置，模型就建立完成。

如上圖2、3、4分別為加電壓80V、100V、120V時液體透鏡界面的仿真圖，從圖中可以明顯看出當(dāng)電壓逐漸增加時，NaCl溶液與器壁的接觸角不斷變化，液體透鏡界面面型將經(jīng)歷由凸到平再到凹的過程，最后當(dāng)電壓達到155V時，接觸角不再變化，達到了接觸角飽和的狀態(tài)。

3 MATLAB對液體透鏡仿真數(shù)據(jù)

3.1 擬合過程

將COMSOL中導(dǎo)出的三維取點數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB中，再對數(shù)據(jù)進行線性擬合。在擬合過程中我們給出了如下的函數(shù)解析式

z=a+b*（x^2+y^2）+c*（x^2+y^2）^2+d*（x^2+y^2）^3+e*（x^2+y^2）^4+f*（x^2+y^2）^5

式中：a，b，c，d，e，f皆為解析式的參數(shù)，為本次擬合所求解。導(dǎo)入不同電壓下的曲面三維數(shù)據(jù)，會得出不同的參數(shù)，并且繪制出的圖形也不一樣。

3.2 擬合部分結(jié)果

Vapp=130V時：

解析式參數(shù)

a =1.712 （1.711， 1.713）

b = 0.1322 （0.128， 0.1363）

c = 0.01273 （0.007208， 0.01826）

d = -0.007573 （-0.01071， -0.004439）

e = 0.002353 （0.001563， 0.003143）

f = -0.0002485 （-0.0003214， -0.0001755）

繪制的三維圖

3.3 擬合后總結(jié)

在COMSOL的仿真過程中，測試到該雙液體透鏡系統(tǒng)閾值電壓在99V附近，當(dāng)對雙液體透鏡所加電壓高于這一電壓值后，系統(tǒng)才可以如所預(yù)想的工作，即形成一個凸透鏡形狀，能夠?qū)饩€聚焦和成像。并且在后續(xù)高電壓測試中，雙液體界面的曲率半徑數(shù)值逐漸減小，通過對雙液體界面三維取點數(shù)據(jù)的MATLAB擬合，得出了更加直觀的頁面圖形。對于后續(xù)實驗，該階段的意義為，得出了每一特定電壓形成的雙液體界面的函數(shù)解析式，有希望將其導(dǎo)入ZEMAX中進行光學(xué)仿真，從而建立一個電潤濕雙液體透鏡。

4 應(yīng)用ZEMAX對透鏡進行光學(xué)性質(zhì)分析

此次實驗主要探究單個電潤濕雙液體透鏡的球差，光程差，像質(zhì)，焦距的光學(xué)性質(zhì)[6]。

4.1 球差（Rayfan 圖）

球差是指光軸上的點發(fā)出的同心光束，經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)各個面折射之后，

不同孔徑角的的光纖交光軸于不同點上，相對于理想點的位置有不同的偏離，球面像差表示此位置的離焦程度，是指像面上的橫向光線像差。

在ZEMAX 中，Rayfan圖表示的是光學(xué)系統(tǒng)的綜合誤差，即測驗球差的大小。 它的橫坐標(biāo)是光學(xué)系統(tǒng)的入瞳標(biāo)量，從-1 到+1 變化，0的位置是光軸在入瞳中心的焦點。歸一化光瞳坐標(biāo) Py 表示子午光扇上的任一條光線，歸一化光瞳坐標(biāo) Px 表示弧矢光扇上的任一條光線?？v坐標(biāo)則是主光線在像面（IMA）上的位置數(shù)值。Ex/Ey 指該視場光扇內(nèi)特定光瞳上的光線入射到像面上，在像面上的高度與該視場的主光線在像面上的高度之差。

總而言之，曲線上點的縱坐標(biāo)的絕對值表示球差，縱坐標(biāo)的絕對值越高，球差越大。在理想的光學(xué)透鏡系統(tǒng)中Rayfan圖應(yīng)該是一條與x 軸重合的線，而實際中的單一透鏡一定會有初級球差。一般而言，單個透鏡不能矯正球差，正透鏡產(chǎn)生負球差，負透鏡產(chǎn)生正球差。

實驗電壓從100V變化到150V，以10V為間隔，在 100V-140V 間，圖像近似正斜率正比例曲線。在150v及以上時，圖像呈蛇型曲線。

從得出的一系列圖像中可知，電壓在100V到140V間變化時，其rayfan 圖近似斜率為正的正比例曲線，說明球差可控。電壓在150v 左右時曲線斜率最小， 最貼合X軸，即球差最小，離焦最弱，成像最好，此時可以類比成一般透鏡，不需要進行特殊補償。而一旦電壓變化到150V 及以上，圖像發(fā)生較大畸變，呈現(xiàn)為蛇型曲線，說明成像極差，液體透鏡出現(xiàn)高級球差，即在遠軸處出現(xiàn)了復(fù)雜的離焦情況。此時在使用中需要多級光路補償，實用性較低。

4.2 光程差（OPDfan 圖）

OPD即光程差和波前差，它是通過計算物體面上的光線傳輸至像面的過程中產(chǎn)生的光程差來判斷波前的形變。從波前的形變上，可以反映系統(tǒng)的像差。出瞳是光欄在像空間的像，表示像空間光束有清晰邊界。在出瞳上測量位相誤差有效地評價了像質(zhì)。圖像上橫坐標(biāo) PX和PY是光學(xué)系統(tǒng)的入瞳標(biāo)量，從-1變化到+1 。縱坐標(biāo)EX和EY即表示波像差。

實驗電壓從100V變化到150V，以10V為間隔，在 100V-140V 間，圖像近似拋物線。在150V及以上時，圖像不再符合拋物線性質(zhì)，原先趨向縱坐標(biāo)軸的遠軸端曲線轉(zhuǎn)而趨向橫坐標(biāo)軸。由此可得，隨著電壓增大變化，雙液體透鏡從近軸處到遠軸處的光程差有較為復(fù)雜的變化趨勢。

4.3 像質(zhì)分析（調(diào)制傳遞函數(shù)MTF）

MTF曲線是用來評價光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的，它包含對比度和頻率兩個方面。對比度代表著透鏡表現(xiàn)光線亮和暗的能力，對比度越高高，圖片內(nèi)容越清楚。它是表示各種不同頻率的正弦強度分布函數(shù)經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)成像后，其對比度的衰減程度。簡單來說，就是當(dāng)某一頻率的入射光的對比度下降到零時，則該頻率的光強無亮度變化，即頻率被截止?？v坐標(biāo)是傳遞函數(shù)，即對比度；橫坐標(biāo)是線對/毫米（lp/mm），即空間頻率。從MTF曲線的變化情況，看出某一頻率的對比度大小，及對比度的變化情況。

實驗電壓從100V變化到150V，以10V為間隔，可以看出隨著電壓的增大，1）MTF與空間頻率圍成的面積也在隨之增大；2）截止頻率也在隨之增大。

MTF與空間頻率圍成的面積反映光學(xué)系統(tǒng)所傳遞的信息量的多少，即反映像質(zhì)的好壞，面積越大像質(zhì)越好。圖中的黑線代表了衍射極限，對像質(zhì)要求非常高的光學(xué)系統(tǒng)，其像差一般要校正到衍射極限。由圖可以得出隨著電壓的增大，透鏡的像質(zhì)越好，但是根據(jù)對前面球差和光程差的數(shù)據(jù)分析，150v的電壓會造成較大的問題，所以在使用時要進行復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計，進行合理的修正。

4.4 焦距

液體透鏡的焦距，即有效地焦點長度，可以通過ZEMAX的System date得到[7]。

從表2可以得出：電潤濕雙液體透鏡的焦距變化范圍是從29.597mm變化到305.6mm，則它的變倍比為10.325（變倍比是最大焦距和最小焦距的比值）[8]。一個變焦鏡頭的焦距，其連續(xù)調(diào)節(jié)的范圍是有限的，鏡頭的焦距越短，能拍到的范圍越廣，焦距越長，拍攝的范圍越窄。一般來說，焦距50mm左右的鏡頭被稱為標(biāo)準(zhǔn)鏡頭。焦距比50mm短的是廣角鏡頭，比50mm長的是遠攝鏡頭。由此可見，電潤濕雙液體透鏡相比于普通的光學(xué)變焦透鏡有著巨大的優(yōu)勢：1）變焦范圍廣；2）可以通過控制電壓實現(xiàn)對焦距的精確控制，相比于機械制動的光學(xué)變焦透鏡誤差更小；3）體積小，可以實現(xiàn)微型化，輕量化。

5 總結(jié)

本文面對現(xiàn)代手機攝像鏡頭對于透鏡的微型化、無機械部件的情況下實現(xiàn)精確變焦功能的要求，用COMSOL軟件進行了流體動力學(xué)的建模，分析了雙液體界面面形及曲率與電壓的關(guān) 系，并導(dǎo)出了其中多組電壓下界面面型數(shù)據(jù)，其次再用MATLAB軟件對數(shù)據(jù)進行擬合，求出曲面的函數(shù)解析式，最后將數(shù)據(jù)導(dǎo)入ZEMAX軟件中，在ZEMAX軟件中進行光學(xué)建模，結(jié)果表明，電壓在100V到140V間變化時，球差可控，一旦電壓變化到150V及以上，圖像發(fā)生較大畸變，液體透鏡出現(xiàn)高級球差。電壓從105V到150V間，電潤濕雙液體透鏡的焦距從29.597mm變化到305.6mm，可以在大范圍內(nèi)實現(xiàn)變焦，對于現(xiàn)在手機攝像鏡頭要求微型化和克服數(shù)碼調(diào)焦的缺陷，雙液體透鏡可以說是一個較好的解決辦法。本文為液體透鏡的進一步實用化提供了部分理論依據(jù)，是我們對于手機攝像鏡頭進一步發(fā)展的猜想和期望。

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