把握本質(zhì) 感受價值

程佳杰

【摘 要】數(shù)與形是數(shù)學研究對象中兩個十分重要的方面，“數(shù)形結(jié)合”不僅是一種解題方法，而且是一種重要的數(shù)學思想。在教學中要了解數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生與發(fā)展的背景，把握數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)，設計合理的教學環(huán)節(jié)，使學生充分感受數(shù)形結(jié)合的價值，形成良好的數(shù)學意識。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；數(shù)學史；思想價值

數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對應關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。這里的數(shù)與形既對立又統(tǒng)一，在一定條件下是可以轉(zhuǎn)化的。

北京教育學院劉加霞老師認為，借助于直觀形象模型理解抽象的數(shù)學概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系是小學生學習數(shù)學的重要方法，但這一方法與數(shù)學意義上的“數(shù)形結(jié)合”方法的內(nèi)涵不一致，它至多只能是“數(shù)形結(jié)合”方法的雛形。在教學中，要充分了解數(shù)學思想產(chǎn)生與發(fā)展的背景，把握這種思想的本質(zhì)。只有這樣，才能設計出合理的教學環(huán)節(jié)，使學生充分感受數(shù)學思想的價值，形成良好的數(shù)學意識。本文就結(jié)合人教版六年級上冊“數(shù)與形”例1的教學，談一談這方面的體會。

一、打通“式”“數(shù)”和“形”之間的聯(lián)系，找到隱藏的規(guī)律

“數(shù)與形”例1的素材原型是古希臘的擬形數(shù)。畢達哥拉斯學派在研究數(shù)時，常常和平面上的點聯(lián)系起來，按照點的形狀將數(shù)進行分類，同時結(jié)合圖形的性質(zhì)來研究數(shù)的性質(zhì)，這是一次成功的嘗試，由于“形”的介入，有力地推動了“數(shù)”的發(fā)展。古希臘的擬形數(shù)有很多，常見的有三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等（如圖1）。

例1研究的是正方形數(shù)，深入分析后不難發(fā)現(xiàn)，這里要打通的是“代數(shù)式”“數(shù)”與“形”之間的關(guān)系，因為“數(shù)形結(jié)合”中的“數(shù)”有時是一個數(shù)，也可以是數(shù)量關(guān)系，還可以是一個代數(shù)式，進入第三學段后，數(shù)形結(jié)合中的“數(shù)”更多的是以方程和函數(shù)式的形式出現(xiàn)。在例1 的素材中，代數(shù)式與正方形是一種對應統(tǒng)一的關(guān)系，代數(shù)式中的每一項都能在正方形中找到對應的那個“零件”，而這個式子加起來的和又與“形”中小正方形的總數(shù)相對應。厘清了這些基本要素后，要考慮的是以怎樣的路徑切入，是由“數(shù)”到“形”呢，還是由“形”到“數(shù)”呢？經(jīng)過思考，我認為由“形”到“數(shù)”更加合理，一是符合擬形數(shù)的產(chǎn)生背景，二是有利于學生自主探究活動的實施。具體教學環(huán)節(jié)如下。

1.為學生提供大小一樣，4種顏色（紅色1個，綠色3個，黃色5個，藍色7個）共16個小正方形。并提出活動要求：分一分、擺一擺，根據(jù)擺法寫出對應的算式。

2. 學生完成后，教師組織反饋活動。學生借助擺成的邊長為4的正方形，得到了“1+3+5+7”和“4×4”之間的相等關(guān)系。把“4×4”改寫成“42”后，得到等式：1+3+5+7=42。

3.根據(jù)算式“1+3+5+7=42”和拼成的正方形，引導學生思考：你還想到了哪些問題？學生很自然地想到：如果把這個邊長為4的正方形再變大一些能得到怎樣的算式呢？或者再變小一些能得到怎樣的算式呢？在問題引領(lǐng)下，學生進一步開展探究活動，得到了下面的等式：

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+9=52

1+3+5+7+9+11=62

……

4.引導學生找到規(guī)律，并準確表述。

通過觀察、操作和思考，引導學生利用若干個數(shù)、式、形中存在的有限的規(guī)律，推理得到一般性結(jié)論，并進行準確的表述。

二、逐步提升問題的難度，感受以形助數(shù)的價值

在學生找到了“數(shù)”與“形”之間的規(guī)律后，就需要讓他們在實踐運用中體會“以形助數(shù)”的優(yōu)勢。這個環(huán)節(jié)安排了這樣三道習題。

第1題：1+3+5+7+9+11+13+15=（ ）2

第2題：1+3+5+7+……+（ ）=202

第3題：1+3+5+7+……+2017=（ ）2

這三道習題在難度上呈現(xiàn)層層遞進的態(tài)勢。第1題的難度比較低，意圖是讓學生運用第一環(huán)節(jié)的研究成果，初步感受數(shù)形結(jié)合的價值。第2題在第1題的基礎(chǔ)上增大了數(shù)據(jù)，其目的是引導學生結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)拼成后的大正方形邊長與最外層“┓”數(shù)量之間的關(guān)系。在正方形數(shù)中，最外層“┓”數(shù)量是一個很關(guān)鍵的數(shù)據(jù)，因為它決定了拼成的正方形的邊長，換言之，最外層“┓”數(shù)量決定了正方形的量化特征。通過查閱相關(guān)資料，我們了解到古希臘人也是循著這條路徑去研究的，他們把這個形狀稱作“磬折形”，畢達哥拉斯學派很重視這方面的研究。因為找到了最外層“┓”數(shù)量與正方形邊長之間的關(guān)系就等于找到了一條連接“數(shù)”與“形”的快速通道。在尋找這條“通道”的過程中，加深了學生對數(shù)形結(jié)合思想價值的理解。第3題在第2題的基礎(chǔ)上，繼續(xù)提升難度，增加數(shù)列的項數(shù)，同時改變了思考方向，其目的還是引導學生借助對圖形的想象與思考，使其對最外層“┓”數(shù)量與正方形邊長之間的關(guān)系更加清晰，使學生對數(shù)形結(jié)合價值的體會更加深刻。

三、引導學生研究新的問題，深化對數(shù)形結(jié)合思想的認識

從數(shù)學文化的角度來講，數(shù)學文化最核心的內(nèi)容是數(shù)學的思想、精神和研究方法，那么，怎樣才能接近這些核心的部分呢？一條有效的途徑就是讓學生提出有價值的問題并解決這個問題，在思考和實踐的過程中感受數(shù)學的思想和方法?；谶@樣的思考，在學生通過探究活動溝通了等差數(shù)列1，3，5，7……的和與正方形之間的關(guān)系后，引導學生思考：由此你還想到了什么問題？果然是一石激起千層浪，學生提出了很多新的問題，既然有正方形數(shù)，是不是還有三角形數(shù)、長方形數(shù)、梯形數(shù)等其他多邊形數(shù)呢？還有的學生則從數(shù)列的角度提出了：剛才研究了從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加與正方形有關(guān)，那么從2開始的連續(xù)偶數(shù)相加可以擺成什么圖形呢？從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加又可以擺成什么圖形呢？雖然這些問題是從兩個角度提出的，但有一點是一致的，那就是都在原有活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，試圖去尋找更多的關(guān)于“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，結(jié)合“形”的特征來得到更多“數(shù)”的性質(zhì)。這種想法與古希臘擬形數(shù)的產(chǎn)生背景和發(fā)展歷程是一致的，充分體現(xiàn)了數(shù)學文化的核心價值，是非?？少F的。

在學生提出了多個問題后，讓學生選擇其中一個共同研究，大多數(shù)學生選擇了“從2開始的連續(xù)偶數(shù)的和可以擺成什么形狀”這個問題。于是把這個問題拿出來共同研究，為了激發(fā)學生的挑戰(zhàn)欲，把算式的末項定為2018，就得到了這樣的式題：2+4+6+8+……+2018=（ ）。學生在研究新問題的過程中，果然遷移了上面的研究方法，也采用了擺一擺、畫一畫的方法。從第1項“2”開始，再到“2+4”，“2+4+6” ，“2+4+6+8”……學生依次畫出了這樣的圖形（如圖2），也有學生把小方塊簡化為一個圓點，畫出了這樣的圖形（如圖3）。

在此基礎(chǔ)上，學生開始關(guān)注最外層“┓”數(shù)量與長方形的長、寬之間的關(guān)系，有的學生發(fā)現(xiàn)最外層“┓”數(shù)量再加上1的話，就把右上角重疊的那一個補上了，就得到了長與寬的和，因為拼成后的長方形長總是比寬多1，把得到的和拆成兩個連續(xù)自然數(shù)，就得到了長和寬。如圖2最右邊的長方形中，最外層“┓”數(shù)量是8，加上1后得到9，把9拆成相鄰的兩個自然數(shù)得到4和5，4就是長方形的寬，5就是長方形的長，于是得到總數(shù)為4×5=20。還有的學生發(fā)現(xiàn)把最外層“┓”數(shù)量除以2就是寬，寬加上1就得到了長。不管是哪一種方法，說明學生都關(guān)注到了這個數(shù)列中的最大數(shù)，因為這個數(shù)決定了拼成后的長方形的量化特征。把這個規(guī)律一般化后，學生借助對圖形的想象和分析，很快找到了“2+4+6+8+……+2018=（ ）”的解決辦法。在上述過程中，有方法的遷移，也有思維的碰撞，更多的是對數(shù)形結(jié)合思想的感悟與運用。

數(shù)學的學術(shù)形態(tài)通常是冰冷的，但是若能了解其發(fā)生和發(fā)展的過程，就能更好地把握其本質(zhì)，設計出合理的教學環(huán)節(jié)，引發(fā)學生火熱的思考，讓學生在思考與實踐中感受數(shù)學的價值與魅力。

參考文獻：

[1]劉加霞.“數(shù)形結(jié)合”思想及其在小學數(shù)學教學中的滲透（上）[J].小學教學（數(shù)學版），2008（4）.

[2]Mario Livio.數(shù)學沉思錄——古今數(shù)學思想的發(fā)展與演變[M].黃征，譯.北京：人民郵電出版社，2010.

（杭州師范大學附屬乍浦實驗學校 314201）