深刻經(jīng)歷過程 真正悟得思想

宋建琴 吳培鋼

【摘 要】“數(shù)與形”的教學(xué)，可以用更具挑戰(zhàn)性的教學(xué)情境，用更扎實(shí)到位的教學(xué)步點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生深刻感受數(shù)與形之間的聯(lián)系，真正掌握“以形解數(shù)”的竅門，深刻悟得“數(shù)形結(jié)合”的思想。

【關(guān)鍵詞】教學(xué)情境；以形解數(shù)；數(shù)與形

這兩道例題都旨在引導(dǎo)學(xué)生初步感受數(shù)與形之間可存在聯(lián)系，利用圖形直觀形象的特點(diǎn)，可表示出數(shù)的規(guī)律，或解決一些復(fù)雜的、抽象的、不好解釋的關(guān)于數(shù)的問題。

解讀教材之后，我們覺得，倘若簡單地按照教材呈現(xiàn)的方式展開教學(xué)，那么這道例題的教學(xué)價(jià)值似乎挖掘得不夠充分，學(xué)生恐怕也難以真正獲得對數(shù)形結(jié)合思想（尤其是其優(yōu)越性）的感悟。原因有二。

一是學(xué)習(xí)材料的直接呈現(xiàn)，學(xué)生只需簡單地?cái)?shù)方格、填空、觀察，就可得出規(guī)律。這樣的形式，不能讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合思想解決問題的一個(gè)重要步驟——數(shù)至形的轉(zhuǎn)化。

二是計(jì)算數(shù)據(jù)的過于簡單，如加數(shù)個(gè)數(shù)直接可數(shù)，算式之間前后相接，學(xué)生很容易“推導(dǎo)”得出結(jié)果，這同樣無法讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合思想解決問題的另一個(gè)重要之處——抓兩者關(guān)鍵聯(lián)系，巧妙解決問題。

基于以上分析，我們認(rèn)為，把例1單獨(dú)做成一節(jié)課，以更具挑戰(zhàn)性的教學(xué)情境，以更扎實(shí)到位的教學(xué)步點(diǎn)，去引導(dǎo)學(xué)生深刻經(jīng)歷問題解決的探究過程，真正悟得數(shù)形結(jié)合的思想方法，也許是一個(gè)值得嘗試的做法。效果如何，需要課堂來檢驗(yàn)。

【課堂實(shí)錄】

課前談話，整理學(xué)具，學(xué)生統(tǒng)計(jì)學(xué)具袋里不同顏色的正方形紙片，得出數(shù)量分別為1，3，5，7，9個(gè)，教師板書數(shù)據(jù)。

一、提出問題，暴露學(xué)情，激發(fā)興趣

1.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)特征。

根據(jù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的數(shù)據(jù)特征，板書“從1開始的連續(xù)奇數(shù)”。

教師將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成算式1+3+5+7+9，學(xué)生口算答案。變化算式，加至79，再求答案。

2.學(xué)生展現(xiàn)已有經(jīng)驗(yàn)。

生（很多學(xué)生舉手示意會(huì)做）：這是等差數(shù)列，可以用“（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2”來計(jì)算。

生：就是（1+79）×40÷2，答案是1600。

教師根據(jù)學(xué)生回答，引導(dǎo)全班學(xué)生理解算式中每個(gè)數(shù)的含義，再用遞等式計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果是1600。

3.教師展示計(jì)算“竅門”，激發(fā)學(xué)生探究興趣。

師：同學(xué)們，你們的公式是對的，答案也是正確的。但老師計(jì)算這道題目，根本就不需要用這個(gè)公式，我只要眼睛瞄一下算式，就能馬上想到答案。你們信不信？

教師將算式繼續(xù)加至119，學(xué)生又想用公式嘗試計(jì)算，教師已報(bào)出答案3600，學(xué)生確認(rèn)。

再次續(xù)加，加至179，教師又快速得出答案，學(xué)生很驚訝！

師：同學(xué)們，老師算這樣的題目速度特別快，那是因?yàn)槲矣懈[門。你們想知道我的竅門是什么嗎？（學(xué)生都很想知道）

師：這是一道關(guān)于數(shù)的計(jì)算問題（板書“數(shù)”），而老師的竅門就是借助幾何圖形來解決它（板書“形”）。

學(xué)生充滿了興趣，教師引領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)新知探究的環(huán)節(jié)。

【設(shè)計(jì)說明】直接出示數(shù)的計(jì)算問題，有利于凸顯數(shù)形結(jié)合解決問題的真實(shí)來源（現(xiàn)實(shí)需求）。計(jì)算至79，雖增加計(jì)算的難度，但通過后續(xù)學(xué)習(xí)以數(shù)形結(jié)合解決問題后，就能襯托出數(shù)形結(jié)合解題的優(yōu)越性。不遮掩學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，但快速轉(zhuǎn)至教師有“竅門”，既照顧了學(xué)生，又吸引了學(xué)生。

二、新知探究，逐步深入，自主建構(gòu)

1.初步感知——“數(shù)”可以轉(zhuǎn)化成“形”。

（1）教師試擺，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)常規(guī)擺法無助于問題解決。

師：這個(gè)算式1+3+5+7+9+……我用一個(gè)小正方形，就代表1（貼在黑板上），接下去+3呢？（在1個(gè)后面繼續(xù)擺上3個(gè)） 再+5呢？（在3個(gè)后面又?jǐn)[上5個(gè)）然后呢？（示意后面可繼續(xù)擺7個(gè)、9個(gè)……）

……

師：是啊，如果把這些正方形只是這樣簡單擺一下，最后求和還是很麻煩。那么，到底怎么擺才好，才能讓我們比較容易地求出算式的和呢？

師：請你以1+3+5為例，用桌上的小正方形，自己擺一擺，研究其中的竅門。

（2）學(xué)生自己擺，發(fā)現(xiàn)“數(shù)”轉(zhuǎn)化成合適的“形”，有利于計(jì)算。

學(xué)生分小組合作試擺，教師巡視，請學(xué)生上黑板擺出兩種典型方法（圖1、圖2）。

教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩幅圖都擺出了1+3+5，而且各有特點(diǎn)——一個(gè)擺成了三角形，一個(gè)擺成了正方形。

師：你們更喜歡哪一種擺法？為什么？

生：我認(rèn)為擺出正方形好，因?yàn)檫@樣可以只看邊長，用邊長×邊長，三三得九，總數(shù)就一下子算出來了。（其他同學(xué)復(fù)述，大家紛紛認(rèn)可）

師：那么擺成三角形的樣子，有什么不好呢？

生：擺成三角形，最后還是要一層一層個(gè)數(shù)相加的。（這樣擺也可用三角形面積公式求和，但若加數(shù)多了，層數(shù)是幾還是要算，所以此法無益——筆者注）

師：我同意大家的觀點(diǎn)，把算式擺成一個(gè)正方形，只要看邊長就可快速計(jì)算出總數(shù)，這樣的方法非常簡單，是好方法。同學(xué)們已經(jīng)觸摸到這個(gè)“竅門”啦！

【設(shè)計(jì)說明】遇到“數(shù)”的問題，卻要用“形”來解決，這之間的轉(zhuǎn)化（這種意識(shí)及行為），是數(shù)形結(jié)合的關(guān)鍵步驟。教師先自己擺正方形，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)擺法無助于問題的解決，再引導(dǎo)學(xué)生探究“好的擺法”。學(xué)生經(jīng)歷了嘗試，也看到了不同的擺法，在對比分析之后，感受到擺成正方形的好處。如此過程，有效地引領(lǐng)學(xué)生走上“數(shù)”至“形”的轉(zhuǎn)化之路。

2.再次感知——“數(shù)”與“形”之間有聯(lián)系。

（1）擺1+3+5+7和1+3+5+7+9。

師：那接下去是+7，你們能再擺一擺嗎，看看能擺出什么圖形？

學(xué)生再次動(dòng)手操作，組織反饋，發(fā)現(xiàn)能擺出一個(gè)正方形——每條邊上有4個(gè)小正方形，得數(shù)是4×4=16。（圖略）

師：接下去是+9，同學(xué)們覺得還能擺成正方形嗎？是怎樣的正方形呢？

學(xué)生都說是邊長為5的正方形，教師組織學(xué)生再次操作，驗(yàn)證猜想。（圖略）

師：看來加到9，的確能擺成邊長為5的正方形，答案一看就知道是25。

（2）引導(dǎo)學(xué)生感受“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系。

師：同學(xué)們，我們剛才幾次都將算式轉(zhuǎn)化成了正方形，請你來觀察對比一下，這樣的轉(zhuǎn)化究竟好處是什么呢？

生：這樣一轉(zhuǎn)化，算式的和就是正方形最邊上一列小正方形個(gè)數(shù)的平方。

師：你們講得完全正確，恭喜你們，老師的竅門正在被你們慢慢破解！

3.深入理解——找到“數(shù)”與“形”的關(guān)鍵聯(lián)系。

（1）探究1+3+5+7+9+……+79。

師：那么1+3+5+7+9+……+79，會(huì)得到怎樣一個(gè)圖形？和又是幾呢？

組織學(xué)生討論，教師巡視，理解學(xué)生想法，適時(shí)參與討論，然后組織反饋。

生：加到79，會(huì)得到一個(gè)邊長為40的正方形，和是40×40=1600。（學(xué)生紛紛贊同）

師：憑什么說加到79，會(huì)得到正方形，而且它的邊長就是40 呢？

生：我們可以借助圖形來解釋。

一組學(xué)生主動(dòng)要求上黑板，利用之前黑板上的正方形進(jìn)行解釋（如圖3）。

生：我們之前加到5的時(shí)候，5+1再除以2，就是邊長為3的正方形；加到7的時(shí)候，7+1再除以2，就是邊長為4的正方形；加到9的時(shí)候，就是9+1再除以2，所以邊長是5。

學(xué)生邊說邊示意，教師適時(shí)引導(dǎo)其他學(xué)生看圖理解，并得出以下板書：

5→3 7→4 9→5

（5+1）÷2=3 （7+1）÷2=4 （9+1）÷2=5

師：老師有一點(diǎn)不明白，為什么都要先加1呢？

生：因?yàn)槿绻麅蓷l邊上的個(gè)數(shù)加起來，角上的正方形就多算了一次。所以如果先加1，再除以2，兩條邊上的正方形個(gè)數(shù)就一樣多了。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖，理解算式的道理。（若有另外算法的，同樣予以引導(dǎo)理解）

生：現(xiàn)在加到79，如果79加1，就是80，80分到兩條邊上，每條邊就是40，所以肯定是邊長為40的正方形。

其他學(xué)生報(bào)以熱烈的掌聲，教師板書跟進(jìn)（79+1）÷2=40，并組織學(xué)生再次同桌互說，理解其中的道理。

師：同學(xué)們太厲害了，利用之前的學(xué)習(xí)，推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)出了數(shù)與形之間的聯(lián)系，找到了規(guī)律，解決了問題。這個(gè)想法和答案完全正確！老師的竅門馬上要被你們破解了。

【設(shè)計(jì)說明】“數(shù)”能夠轉(zhuǎn)化成“形”，還不足以解決問題，發(fā)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系，找到關(guān)鍵處（突破點(diǎn)），需要通過對比、分析、推理等一系列思維的過程。這個(gè)過程不是一蹴而就的，拉長這個(gè)探究的過程本來就是有意義的學(xué)習(xí)目標(biāo)——學(xué)生思維的提升。因此，教師分解步驟，+7和+9，確認(rèn)能轉(zhuǎn)化，并感知這個(gè)加數(shù)與邊長的關(guān)系；+79，沒法運(yùn)用材料擺放，逼迫學(xué)生通過想象和思考，找尋加數(shù)與邊長的關(guān)系；回到+7和+9，深入研究，確認(rèn)聯(lián)系，得出算式（模型）……以上過程，雖曲折，但學(xué)生由此卻深刻地感受到了如何“由形解數(shù)”。

（2）運(yùn)用規(guī)律，抽象概括。

師：那么加到119呢？

生：（119+1）÷2=60，60×60=3600。

師：加到179呢？

生：（179+1）÷2=90，90×90=8100。

師：看來同學(xué)們已經(jīng)知道其中的竅門了，誰能來說一說？

多位學(xué)生介紹經(jīng)驗(yàn)：只要看最后一個(gè)加數(shù)，把這個(gè)加數(shù)加1，再除以2，就是正方形的邊長。再邊長乘邊長，就可計(jì)算出總數(shù)。

師：同學(xué)們，這正是老師之前計(jì)算這些題目用到的方法。祝賀大家，現(xiàn)在我的竅門已經(jīng)被你們真正掌握了！

教師組織回顧所學(xué)，歸納小結(jié)從1開始的連續(xù)奇數(shù)求和問題的解決方法。（板書：見數(shù)思形，以形解數(shù)。揭題：數(shù)與形）

三、學(xué)生提問，再次解答，鞏固所學(xué)

1.鼓勵(lì)學(xué)生提出類似的數(shù)的計(jì)算問題。

師：同學(xué)們，剛才我們研究的問題是“從1開始的連續(xù)奇數(shù)求和問題”，現(xiàn)在你們能不能也來提一個(gè)類似的問題，讓我們繼續(xù)研究？

學(xué)生提出的問題如下：

◆2+4+6+8+……+100（從2開始的連續(xù)偶數(shù)求和）

◆3+5+7+9+11+……（從3開始的連續(xù)奇數(shù)求和）

◆2+3+5+7+11+13……（從2開始的連續(xù)質(zhì)數(shù)求和）

……

2.選一個(gè)問題進(jìn)行研究，再次體驗(yàn)以形解數(shù)。

師：同學(xué)們提出的問題都是好問題。我們選一個(gè)試著來研究一下吧。比如說選從2開始的連續(xù)偶數(shù)求和這道題。這樣的算式，不知道能不能也像剛才那樣轉(zhuǎn)化成一個(gè)形，然后用形的特征來解決問題？你可以擺一擺，想一想。

學(xué)生小組合作，用小正方形擺圖，探究。

教師組織反饋，學(xué)生展示將算式轉(zhuǎn)化成長方形，并借助圖形介紹解決的竅門：最后一個(gè)加數(shù)除以2，得到的數(shù)就是長方形的寬，再加1就是長方形的長，長乘寬就可計(jì)算出總數(shù)（如圖4）。

最后一個(gè)加數(shù)100，就應(yīng)該是100÷2=50，50+1=51，51×50=2550。

【設(shè)計(jì)說明】讓學(xué)生提出問題，本就是一種能力的培養(yǎng)。學(xué)生自己提出類似的問題，并再次經(jīng)歷“見數(shù)思形，以形解數(shù)”的過程，這既讓“數(shù)形結(jié)合”的思想再次強(qiáng)化，又讓學(xué)生有學(xué)以致用的收獲。

3.正確引導(dǎo)，延伸興趣。

師：同學(xué)們真厲害，再次“見數(shù)思形，以形解數(shù)”。那么黑板上另外幾個(gè)計(jì)算問題，能不能也借助形來解決呢？

學(xué)生都認(rèn)為行，教師告知學(xué)生并不是所有的計(jì)算問題都能這樣解決，有興趣的同學(xué)可以在課外再去研究另兩個(gè)算式。如果都研究出來了，那將是數(shù)學(xué)上的一個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)。

（浙江省海鹽縣天寧小學(xué) 314300）