從歷史的角度看“講理”的數(shù)學(xué)課堂

彭如武

“雜交水稻之父”袁隆平院士曾說過，他最喜歡外語、地理、化學(xué)，最不喜歡數(shù)學(xué)。袁隆平不喜歡數(shù)學(xué)的緣由來自其在少年時期的一些求學(xué)經(jīng)歷。當(dāng)他去問老師“為什么負(fù)負(fù)得正”，老師蠻不講理地告訴他“不要問為什么，記住就行”。后來他又去請教一個定理時，得到的結(jié)果還是一個不講理的回答。由此，袁隆平就覺得數(shù)學(xué)“不講理”，沒有親和力，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就失去了興趣，成績也不盡如人意。綜觀我們?nèi)缃竦慕虒W(xué)現(xiàn)象，有多少孩子喜歡我們的數(shù)學(xué)，特別是“放寬了尺度”的基礎(chǔ)“學(xué)科數(shù)學(xué)”。這就印證了章建躍教授說過的一句話：以邏輯性著稱的數(shù)學(xué)學(xué)科，“不知所以然”的教學(xué)，“把原本講道理的數(shù)學(xué)搞成了‘不講理的學(xué)問，使原本最容易學(xué)的學(xué)科變成了最令人懼怕、生厭的學(xué)科”。

近日，筆者觀摩了一堂由重慶市特級教師郭莉老師上的“用字母表示數(shù)”的課，讓筆者的認(rèn)識有了較大的轉(zhuǎn)變，不是“數(shù)學(xué)不講理”，而是我們沒有上到“講理”的那一層面，如果我們知道了所授知識的“前世今生”，知道了科學(xué)教學(xué)方法的掌握和運用，知道了教學(xué)知行合一的過程，我們的課堂就是講道理的課堂，也是學(xué)生樂意接受的課堂。“用字母表示數(shù)”是代數(shù)知識的第一堂“正式”課，也是小學(xué)階段的“種子課”，它是對學(xué)生認(rèn)識上的一種顛覆，也是學(xué)生從算術(shù)過渡到代數(shù)知識的轉(zhuǎn)折課。學(xué)生對這個知識點是很不樂意接受的，因為歷史上從算術(shù)到代數(shù)的過渡經(jīng)歷了一千多年，漫長的過程濃縮到一堂課，讓學(xué)生的認(rèn)識發(fā)生改變，難度是夠大的（學(xué)生在這之前對于代數(shù)知識也并不是一片空白）。怎么在課堂上用好代數(shù)的演變過程，這就是教師智慧的體現(xiàn)。

課堂上，郭老師分三個層次讓學(xué)生理解用字母表示數(shù)。第一個層次，通過4張撲克牌玩“24點”的游戲，引出字母可以表示“具體的數(shù)”；第二個層次，通過師生的年齡差，引出字母可以表示“一定范圍的數(shù)”及“數(shù)量關(guān)系”；第三個層次，通過擺三角形計算小棒的根數(shù)，引出字母可以表示“任意一個自然數(shù)”。其中在第二個層次中，郭老師為了引出一個“萬能的式子”將學(xué)生的思維歷程如同字母的歷史演變過程一樣，讓學(xué)生自己“陳述”在黑板上：“學(xué)生的年齡+31”“X+31”“B+31”“a+31”……其中“X”特指“學(xué)生的年齡”（“學(xué)”字的第一個大寫字母就是“X”）。郭老師通過對比、演示及學(xué)生的質(zhì)疑，讓學(xué)生“乖乖”地回到共識中來——“a+31”。三個層次中對于第一個層次“字母可以表示具體的數(shù)”，學(xué)生很樂意接受，因為它與學(xué)生的認(rèn)識一致，算術(shù)的教學(xué)就是具體性教學(xué)，而后兩個層次是代數(shù)的符號性教學(xué)，它與學(xué)生的認(rèn)識相悖，數(shù)量關(guān)系還勉強能接受，特別不能接受的是“a+31”怎么會是一個結(jié)果呢？平常的教學(xué)學(xué)生往往一直在尋找a+31=。究其原因，是因為長期算術(shù)的思維方式讓他們關(guān)注加工數(shù)的結(jié)果，而代數(shù)的思維方式更為關(guān)注不斷變化的結(jié)果背后是依據(jù)什么數(shù)量關(guān)系加工出來的。這個轉(zhuǎn)折性的認(rèn)識不是一堂課所能完全轉(zhuǎn)變的。郭老師就是認(rèn)識到這種轉(zhuǎn)折的不易性，在第二層次中，學(xué)生用一個式子表示老師年齡時，學(xué)生開始呈現(xiàn)的式子是亂七八糟的，經(jīng)過郭老師有心的排序展現(xiàn)在學(xué)生面前的是“從算術(shù)到代數(shù)的發(fā)展過程”——“文辭代數(shù)”→“縮寫代數(shù)”→“符號代數(shù)”，其實，數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程也就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程。

“文辭代數(shù)”歷史階段的代表人物是8世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米，他用普通文辭來表達(dá)數(shù)學(xué)，比如其書中有這樣一道題：把一個正方形面積加上其中一邊的長度之10倍等于39時，此正方形必是什么？（用現(xiàn)代符號表示即為x2+10x=39）他的解答用語言描述就更為復(fù)雜。鑒于此種表達(dá)，不僅煩瑣而且易起歧義，已經(jīng)徹底拋棄，我們現(xiàn)在只是享用他提出的“代數(shù)”“移項”“合并”等術(shù)語，但他是當(dāng)時人類的一個進(jìn)步。郭老師課堂上學(xué)生的“學(xué)生的年齡+31”表示老師年齡的方法，就如同當(dāng)時人類的認(rèn)知一樣，雖然煩瑣但接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，更利于他們的接受與理解。

“縮寫代數(shù)”歷史階段的代表人物是3世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家的丟番圖，他用音節(jié)的首字母縮寫來表示數(shù)。在其著作《算術(shù)》中首先用符號“ζ”表示未知數(shù)，據(jù)說這是因為在用字母表示數(shù)的希臘計數(shù)制中，只有這個字母還沒有用來表示數(shù)。在此基礎(chǔ)上，丟番圖又給出了表示未知數(shù)各次冪（到六次冪）的符號，并創(chuàng)造了表示相減的符號以及表示相等的符號。丟番圖的符號雖然不完美，但畢竟是代數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個創(chuàng)舉。而且我們現(xiàn)在還在用縮寫的辦法來表達(dá)意義，比如，長度單位“米”的英文單詞是“meter”，所以單位“米”用字母“m”來表示；在“meter” 加前綴“centi”就表示米的百分之一，所以厘米“centimeter”就縮寫為“cm”。課堂中學(xué)生用“X+31”（X特指學(xué)生年齡“學(xué)”字的第一個字母）表示老師年齡的方法，它比用文辭表示有了更大的優(yōu)越性，學(xué)生的認(rèn)識又推進(jìn)了一層，只不過它具有特定性，不具有普遍性。

16世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)提出了“字母表示數(shù)”的思想，引領(lǐng)了“符號代數(shù)”歷史階段。韋達(dá)是歷史上第一個有意識、系統(tǒng)地使用字母的數(shù)學(xué)家，他用統(tǒng)一的字母表示未知量、已知量及其運算，被公認(rèn)為對世代代數(shù)傳統(tǒng)的突破，是代數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上的一座重要里程碑。韋達(dá)的符號還不徹底，也不成體系，但韋達(dá)超越了各類數(shù)量的具體特點，從一般意義上用字母來表示它們，省略了數(shù)學(xué)關(guān)系的實際情境，去掉了實際語言帶來的差別，字母只是一個符號而已，若用一個小方塊、一個小花圖也絲毫不影響所列代數(shù)式的意義，它將人的認(rèn)識和推理提高到一個更高的理性水平，呈現(xiàn)了代數(shù)化本質(zhì)——抽象，是數(shù)學(xué)思想的進(jìn)化。在郭老師巧妙地引導(dǎo)下，部分學(xué)生說出用“B+31”“a+31”來表示老師的年齡時，說明這部分學(xué)生已經(jīng)步入了代數(shù)的“佳境”，郭老師沒有就此停步，而是通過對比、質(zhì)疑、辯論，讓更多的學(xué)生觸及代數(shù)的本質(zhì)，人人都接受用字母表示數(shù)。

“文辭代數(shù)”（8世紀(jì)）與“縮寫代數(shù)”（3世紀(jì)）的再現(xiàn)歷史與數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯不一致，說明數(shù)學(xué)的發(fā)展與數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯有時不會并駕齊驅(qū)，它充滿著反復(fù)、曲折、直覺乃至錯誤。歷史的順序不是數(shù)學(xué)內(nèi)部的順序，也不是教育的順序。郭老師很好地把握了這一點，將學(xué)生的思維成果按內(nèi)部邏輯展示、評價、順應(yīng)、提升，最終趨向抽象。

三個層次的教學(xué)，實際上就是一個從具體到抽象的過程，數(shù)字到字母的提升，實際上就是一個完整版的數(shù)學(xué)發(fā)展史。我們了解了數(shù)學(xué)的發(fā)展史，實際也就懂得了學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的思維歷程，只要我們遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程那我們就是一個“講道理”的好老師。反之，我們就會被應(yīng)試教育所左右，課堂上就會出現(xiàn)不求數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，不問知識的來龍去脈，采用精講多練、變式訓(xùn)練來掌握解題技藝，缺乏對數(shù)學(xué)本質(zhì)及思想真正感悟的現(xiàn)象。

（四川省南江縣東榆鎮(zhèn)小學(xué) 636600）