國際小學(xué)概率教與學(xué)的研究進(jìn)展與教學(xué)啟示

鞏子坤 滕林林 陳冬冬 殷文娣

【摘 要】第13屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-13）把概率教與學(xué)作為重要議題之一。基于ICME-13的文獻(xiàn)與報(bào)告，綜述了概率教與學(xué)的研究進(jìn)展。（1）數(shù)學(xué)教師對概率教學(xué)的態(tài)度較好，相比之下，對概率內(nèi)在知識的興趣稍低。職初教師對概率知識的理解較差；（2）小學(xué)生對事件隨機(jī)性的理解非常好?；诖?，結(jié)合我國的具體情況，提出教師教學(xué)的建議和學(xué)生學(xué)習(xí)的建議。

【關(guān)鍵詞】概率教與學(xué)；隨機(jī)性；數(shù)學(xué)理解；學(xué)生認(rèn)知

概率的教與學(xué)是當(dāng)前我國數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容之一。2016年第13屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-13）在德國漢堡召開，可以說，這是國際數(shù)學(xué)教育最高水平的會(huì)議。而“概率統(tǒng)計(jì)的教與學(xué)”是其中的一個(gè)專題。國際數(shù)學(xué)教育的同人們研究了哪些小學(xué)概率統(tǒng)計(jì)教與學(xué)的問題，在這些方面有哪些新的進(jìn)展，這些進(jìn)展對我們的教與學(xué)有哪些啟示？基于ICME-13會(huì)議中關(guān)于概率教與學(xué)的文獻(xiàn)與報(bào)告，進(jìn)行了綜述與分析，以期對我國小學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)提供借鑒。

“概率統(tǒng)計(jì)的教與學(xué)”專題研究小組（TSG14）給參與討論的研究人員提供了一個(gè)討論概率教與學(xué)問題的平臺(tái)，包括教師的教和學(xué)生的學(xué)。該專題主要包括以下三個(gè)方面：（1）小學(xué)教師對概率知識的理解情況與教學(xué)態(tài)度；（2）學(xué)生對隨機(jī)性的理解現(xiàn)狀；（3）在教師的教與學(xué)生的學(xué)兩方面上提出相對應(yīng)的建議。

一、關(guān)注教學(xué)態(tài)度，重視概念理解，優(yōu)化概率教學(xué)

（一）關(guān)注教師對概率教學(xué)的態(tài)度

在教育心理學(xué)中，教師對概率及其教學(xué)的態(tài)度通常是很難直接觀察到的。Assumpta Estrada等人分析了教師對概率及其教學(xué)態(tài)度的構(gòu)成成分，設(shè)計(jì)了一個(gè)教師態(tài)度的問卷，用于衡量小學(xué)教師對概率的認(rèn)識及其教學(xué)的態(tài)度。教師的態(tài)度由七個(gè)成分組成，其中，問卷的每個(gè)題目都與相應(yīng)的態(tài)度成分相對應(yīng)。而且所有這些選項(xiàng)都由5到7個(gè)畢業(yè)生驗(yàn)證過，因此，該問卷具有良好的可靠性。在實(shí)驗(yàn)中，參與的教師需要根據(jù)李克特量表對所有項(xiàng)目（從1分——非常不同意，到5分——非常同意）進(jìn)行打分。調(diào)查結(jié)果如表1所示。

分析發(fā)現(xiàn)，這些教師的態(tài)度總體上是積極的，特別是他們對概率教學(xué)的情感態(tài)度（AT）、概率教學(xué)的價(jià)值觀（VPT）以及概率教學(xué)的行為要素（BT）等的表現(xiàn)都比較好。相比之下，他們對概率知識的情感態(tài)度（AP）得分稍低。研究結(jié)果表明，小學(xué)教師對概率的認(rèn)知及其教學(xué)的態(tài)度較好，建議小學(xué)可以引入概率課程，同時(shí)加強(qiáng)培養(yǎng)小學(xué)教師對概率知識的興趣。

（二）重視教師對概率概念的理解

Gómez-Torres等人選擇了157名職初教師，調(diào)查他們對概率知識的理解情況。實(shí)驗(yàn)設(shè)置以下三個(gè)環(huán)節(jié)。職初教師先單獨(dú)回答測試問題，并在表單中詳細(xì)地解釋他們的解決方案。再集體討論對每個(gè)問題的不同解決方案。最后，兩人一組，對提出的問題進(jìn)行教學(xué)分析。主要分析學(xué)生在解決問題時(shí)可能遇到的困難以及一些模擬的教學(xué)活動(dòng)。測試問題如圖1所示。

解決以上問題所需的知識大多數(shù)是在西班牙小學(xué)的最后一年或中學(xué)的第一年學(xué)習(xí)的。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果并不樂觀。定量定性分析顯示，對于問題a，僅有20.4%的參與者給出了正確的反應(yīng)，14%的職初教師沒有反應(yīng)。這些結(jié)果比Fischbein和Gazit觀察到的44%要少得多。對于問題b，54.1%的職初教師給出了正確的估計(jì)（10或351）。但值得注意的是，仍有28.7%沒有反應(yīng)；僅有17%的職初教師正確地回答了這兩個(gè)問題。

訪談發(fā)現(xiàn)，其采用的策略分類如下：

（2）添加策略。例如，對于問題a，池塘中魚的總數(shù)等于魚樣本（250條魚）和最初放在池塘里的魚（200條標(biāo)記的魚）組成，所以兩者相加，減去交叉的魚數(shù)就是池塘中魚的總數(shù)，即250+200[-]25=425（條）。值得注意的是，在實(shí)驗(yàn)中，對于問題a，竟有35.2%的職初教師采用該策略。

（3）其他策略。顯然，只有第一種比例推理策略才可能是正確的（上述對于問題b的解決方法是錯(cuò)誤的），這也是浙教版初中數(shù)學(xué)教材上常見的策略。研究人員得出結(jié)論：職初教師的概率知識水平低，對采樣估計(jì)、樣本容量和總體等知識間存在混淆；對比例推理也有錯(cuò)誤的直覺；這可能也常見于西班牙的職初教師。推廣開來，我國的數(shù)學(xué)職初教師可能也存在同樣的問題。

（三）優(yōu)化概率教學(xué)

英國的Bryant等人匯報(bào)了一項(xiàng)關(guān)于如何教9～10歲學(xué)生隨機(jī)性的實(shí)驗(yàn)。他們將3所學(xué)校的75個(gè)學(xué)生隨機(jī)分成3組，即實(shí)驗(yàn)組、數(shù)字組和對照組。實(shí)驗(yàn)組教隨機(jī)性方面的知識；數(shù)字組學(xué)習(xí)有符號的數(shù)，不學(xué)習(xí)任何隨機(jī)性與概率的知識；對照組不進(jìn)行任何干預(yù)。在實(shí)驗(yàn)開始前，給所有學(xué)生進(jìn)行了前測，在實(shí)驗(yàn)之后，進(jìn)行了即時(shí)后測與延遲后測。

對實(shí)驗(yàn)組的隨機(jī)性知識教學(xué)主要分為五個(gè)環(huán)節(jié)。

第一環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生體驗(yàn)隨機(jī)性。隨機(jī)給學(xué)生不同的家庭角色牌，按照相同的順序進(jìn)行排列——爸爸、媽媽、小朋友等。先讓學(xué)生自定義牌的排列順序，進(jìn)行一次練習(xí)后（確保學(xué)生熟悉規(guī)則），再讓學(xué)生分別回答從洗過牌和未洗過牌的兩堆中，翻看第一張牌，回答在下一張牌中各個(gè)角色的可能性。

第二環(huán)節(jié)是先給2個(gè)學(xué)生每人2個(gè)籌碼，其中一個(gè)人可以再拿1或2個(gè)籌碼，讓另一個(gè)人猜同伴手中的總籌碼數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)。

第三環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生進(jìn)行拋硬幣和擲骰子游戲，反復(fù)投擲骰子，并記錄每次投擲的結(jié)果。最后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析，體驗(yàn)事件的頻率與概率的關(guān)系。

第四環(huán)節(jié)是教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)區(qū)分不太可能但還是可能發(fā)生的事件與不可能事件。例如，組織學(xué)生討論事件“用玻璃能夠造雨傘”和“用空氣能夠造雨傘”會(huì)不會(huì)發(fā)生。其中，制作玻璃傘是不太可能但還是有可能發(fā)生的事件，制作空氣傘則是不可能事件。

最后一個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)內(nèi)容是在一個(gè)袋子中放兩種不同顏色的彈珠，摸出一個(gè)后，放回與不放回，討論下一次摸出彈珠的顏色。

教學(xué)干預(yù)前后，對學(xué)生進(jìn)行測試，測試問題采用的是Chiesi和Primi設(shè)計(jì)的問題。雖然前測時(shí)，對照組的學(xué)生平均成績高于實(shí)驗(yàn)組。但是后測表明，不管是即時(shí)后測還是延遲后測，實(shí)驗(yàn)組學(xué)生的成績均高于對照組，如表2所示。

兩組學(xué)生在前測、即時(shí)后測和延遲后測中保持著高正確率，由此，可以發(fā)現(xiàn)，9～10歲兒童對隨機(jī)序列有很好的理解能力。此外，因?yàn)榘凑沼＝虼髮W(xué)教育學(xué)院的Bryant等人的教學(xué)設(shè)計(jì)，在教學(xué)生隨機(jī)性后，實(shí)驗(yàn)組的得分明顯大于其他組，所以上述教學(xué)方式能提高小學(xué)生對隨機(jī)序列和連續(xù)事件的獨(dú)立性的理解。可供小學(xué)數(shù)學(xué)教師參考。

二、聚焦學(xué)生認(rèn)知

除了在教師教學(xué)的維度上多層次地展開討論外，專題研究小組對學(xué)生如何理解概率（隨機(jī)性）問題也進(jìn)行了調(diào)查。重點(diǎn)討論了小學(xué)生（9～10歲）對隨機(jī)性的理解情況。

為了更深層次地探索小學(xué)生對隨機(jī)性的理解情況，Bryant等人對不同學(xué)校的75個(gè)學(xué)生進(jìn)行訪談。

訪談主要有三類情境。情境一：一個(gè)袋子里有紅球和綠球，紅球和綠球一樣多。情境二：一個(gè)袋子里有紅球和綠球，紅球比綠球多。情境三：一個(gè)袋子里有紅球和綠球，綠球比紅球多。從袋子里摸出一個(gè)球，然后重復(fù)四次，每次都摸到紅球。在各個(gè)情境下，問第五次可能摸到什么球？說明你的理由。對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，如表3所示，學(xué)生對隨機(jī)性理解主要包含以下四個(gè)方面。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對于摸球?qū)嶒?yàn)，9～10歲的小學(xué)生能初步感知事件的隨機(jī)性；能夠判斷在不同的初始條件下，事件發(fā)生的可能性大小；初步理解放回與不放回對結(jié)果的影響?？偟膩碚f，大多數(shù)9～10歲的學(xué)生對隨機(jī)序列中連續(xù)事件的獨(dú)立性也有很好的理解。

三、基于師生理解，開展概率教學(xué)

（一）給教師的教學(xué)建議

對于隨機(jī)性的教學(xué)，教師可以設(shè)計(jì)多樣的游戲或情境來輔助教學(xué)。例如，一開始的情境可以先讓學(xué)生體驗(yàn)事件的隨機(jī)性；接著對游戲或情境補(bǔ)充數(shù)據(jù)，擴(kuò)展學(xué)生對隨機(jī)序列的理解；然后，慢慢地對學(xué)生提高要求，感受事件的可能性大小，體會(huì)頻率與概率的區(qū)別等；最后，可利用摸球游戲，初步領(lǐng)悟放回和不放回小球?qū)Y(jié)果的影響。

另外，Gómez-Torres等人在概率和抽樣知識教學(xué)上，也給出了以下建議。首先，教師可利用一些小程序進(jìn)行模擬活動(dòng)使得情境更加具體化；其次，教師要引導(dǎo)學(xué)生列出用于解決每個(gè)問題的概念和屬性，并且在解決每個(gè)問題時(shí)要清楚學(xué)生可能存在的困難。學(xué)生可能會(huì)考慮到事件的隨機(jī)性，但是不可能對總體進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測；接著，在活動(dòng)結(jié)束之后，教師可以寫一個(gè)教學(xué)活動(dòng)的總結(jié)，包括每個(gè)問題的正確和不正確的答案，模擬活動(dòng)的總結(jié)和教學(xué)分析。這種做法有助于教師對后續(xù)概率和抽樣知識的教學(xué)。

（二）給學(xué)生的學(xué)習(xí)建議

對于學(xué)生的學(xué)，一方面，教師講授概率內(nèi)容的直觀性會(huì)影響學(xué)生對概率概念、公式的理解。所以教師需要從不同角度、不同方式進(jìn)行多元表征，用多種數(shù)學(xué)語言表達(dá)同一個(gè)概念和公式，突出概念、公式的本質(zhì)屬性；另一方面，概率中的概念、公式眾多、零散，并且多數(shù)概念表面上差異不明顯，容易混淆，同時(shí)概念之間或多或少存在內(nèi)在聯(lián)系。這就要求學(xué)生不僅要善于用文字語言、圖像語言和符號語言對概率知識進(jìn)行表征，而且要善于對概念、公式進(jìn)行比較、歸納和概括，形成清晰的網(wǎng)絡(luò)圖示或知識網(wǎng)絡(luò)。

為了促進(jìn)自己對概率問題的理解能力，學(xué)生也可經(jīng)常反思。比如在概念學(xué)習(xí)中，一般可提以下問題：這個(gè)概念老師設(shè)計(jì)了什么情境引入？我能用自己的語言進(jìn)行概括嗎？這個(gè)題目中哪些是關(guān)鍵字？要特別注意什么？在運(yùn)用這個(gè)概率公式時(shí)可能容易忽略什么而出現(xiàn)錯(cuò)誤？這個(gè)題目要求的是什么？與已經(jīng)學(xué)過的哪個(gè)概念有點(diǎn)相似，易混淆，它們的區(qū)別是什么？怎樣區(qū)分這兩個(gè)概念？等等。

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（浙江省杭州師范大學(xué)理學(xué)院 310036）