直觀：催化數(shù)學(xué)的理解與表達(dá)

王倩

[摘 要]小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直重視直觀手段的運(yùn)用。從兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度來(lái)看，“直觀”可以孕育數(shù)學(xué)理解，催動(dòng)思維發(fā)展，促進(jìn)數(shù)學(xué)表達(dá)。這種價(jià)值，既貫通在學(xué)生整個(gè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中，也落實(shí)到了具體課堂之中?，F(xiàn)以“認(rèn)識(shí)乘法”教學(xué)為例，對(duì)此做簡(jiǎn)要的闡釋。

[關(guān)鍵詞]直觀 數(shù)學(xué)理解 兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)表達(dá)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）05-005

近日，我上了一節(jié)“認(rèn)識(shí)乘法”的公開課，幾次磨課的經(jīng)歷，讓我對(duì)“直觀”地學(xué)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了新的思考。

第一次試教前，我研究了乘法概念的核心——幾個(gè)相同加數(shù)相加。在教學(xué)中，我直指知識(shí)本質(zhì)，設(shè)計(jì)了一組算式，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算算式并分類，引出加數(shù)都相同的算式，并在充分觀察、交流認(rèn)識(shí)這類算式特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到像這樣“具有相同加數(shù)的算式”，需要引入新的定義方式——乘法。

幾次實(shí)踐之后，我發(fā)現(xiàn)這樣的設(shè)計(jì)至少存在兩個(gè)問(wèn)題：一是開放度太大，學(xué)生分類的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)于發(fā)散——有按照得數(shù)是否大于10來(lái)分類，有按照能否用湊十法來(lái)分類，有按照加數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分類，等等，花費(fèi)了大量時(shí)間卻沒(méi)聚焦到“相同加數(shù)相加”這一核心。二是抽象度太高，直接呈現(xiàn)較為抽象的算式，不符合了二年級(jí)學(xué)生的思維特征，由于缺少了直觀形象作支撐，學(xué)生經(jīng)歷的“過(guò)程”是簡(jiǎn)單的模仿與記憶，經(jīng)歷的觀察與發(fā)現(xiàn)都是形式上的觀察與發(fā)現(xiàn)，學(xué)生所獲得的關(guān)于“乘法”的知識(shí)可以說(shuō)是教師一廂情愿的“告之”。

有了這樣的認(rèn)識(shí)，我們開始了新一輪嘗試，從觀察直觀的實(shí)物圖開始（如圖1），讓學(xué)生在觀察、交流、解答的過(guò)程中一步一步加深對(duì)“相同加數(shù)相加”這一種現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)乘法內(nèi)涵更為深刻的理解。

【片斷一：直觀素材孕育深刻理解】

師：梨一共有多少個(gè)，你會(huì)求嗎？

生1：我的算式是3+3+3+3+…

師（生邊匯報(bào)，師邊板書，并不斷地說(shuō)）：你說(shuō)慢點(diǎn)哦，我跟不上了。

師（故意寫了9個(gè)3）：這個(gè)算式對(duì)嗎？

生2：不對(duì)，老師少寫了一個(gè)3。

師：哎呀，我都糊涂了，到底有多少個(gè)3？誰(shuí)能把算式說(shuō)得更清楚。

生3：這里一共有10盤梨，每盤梨有3個(gè)，所以應(yīng)該是10個(gè)3相加。

生4：我們寫的時(shí)候要特別細(xì)心，因?yàn)檫@里的3太多了，很容易寫著寫著就多寫1個(gè)3或者少寫1個(gè)3。我要提醒大家寫完之后還要再數(shù)一數(shù)。

生5：這樣寫太浪費(fèi)時(shí)間了，我有一種新的寫法。

師：你真有想法，同學(xué)們看得懂他的意思嗎？

生6：對(duì)的，我同意他的寫法，這就表示10個(gè)3相加了。

生7：我還有比他更簡(jiǎn)便的，我還會(huì)寫乘法呢！

師：乘法！誰(shuí)聽說(shuō)過(guò)嗎？誰(shuí)來(lái)寫一寫？（生板書：3×10=30）

師：我們的古人也發(fā)現(xiàn)，像這樣好多個(gè)相同加數(shù)相加的算式寫起來(lái)太麻煩了，于是就創(chuàng)造出了“乘法”，像這樣“幾個(gè)幾相加是多少的問(wèn)題”，就可以寫成“幾乘幾”。大家還有什么想說(shuō)的嗎？

生8：我知道這里有10個(gè)盤子，每個(gè)盤子都是3個(gè)梨，就是3×10。

生9：乘就是加，把長(zhǎng)的加法變成了簡(jiǎn)單的乘法。

生10：我感覺(jué)乘法和加法有關(guān)系，“×”就是把“+”斜過(guò)來(lái)看，說(shuō)明有好多相同的加數(shù)。

師：有意思的發(fā)現(xiàn)！

【我的思考】

直觀素材是揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系的有力工具。人們?cè)谡J(rèn)識(shí)和理解抽象數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中往往要使用視覺(jué)形象來(lái)表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而更加直觀、清晰地了解知識(shí)的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵，從而達(dá)到理解和接受抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法的目的。

這里10盤梨的呈現(xiàn)，沖擊了學(xué)生的感官，讓學(xué)生首先直觀地感受到每一盤的梨都是同樣多的；其次，盤子的數(shù)量非常多；然后，在寫加法算式的時(shí)候，教師通過(guò)“慢一點(diǎn)我都來(lái)不及寫了”和“佯裝漏寫了一個(gè)3”這樣的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生再次直觀感受到這樣的算式有加數(shù)相同和加數(shù)多的特點(diǎn)，讓學(xué)生親身體會(huì)到乘法產(chǎn)生的必要性，迫使學(xué)生自己去“發(fā)現(xiàn)”“說(shuō)一個(gè)一個(gè)地相加，不如說(shuō)幾個(gè)幾相加”，讓學(xué)生自己創(chuàng)造出一種新的運(yùn)算“幾個(gè)幾相加用乘法”，很自然地引入新的乘法運(yùn)算與符號(hào)表示。

直觀素材的呈現(xiàn)與現(xiàn)實(shí)活動(dòng)的卷入，使得學(xué)生對(duì)于乘法本質(zhì)的揭示不再是教師的“告之”，而是學(xué)生自己產(chǎn)生的主觀需求，學(xué)生對(duì)“乘法”的理解達(dá)到了“概念性水平”，是對(duì)概念本質(zhì)的把握，是在沖突、心里不舒服的狀態(tài)下，迫切需要產(chǎn)生一種新的運(yùn)算方法的情況。而學(xué)生“相同加數(shù)加得特別多的時(shí)候就可以把加號(hào)斜過(guò)來(lái)寫成幾乘幾”的說(shuō)法雖然語(yǔ)言不夠規(guī)范，但是意義卻非常深刻，可以說(shuō)是有效地溝通了新知識(shí)和已有舊識(shí)知之間的本質(zhì)聯(lián)系。

【片斷二：直觀素材推動(dòng)思維發(fā)展】

師：回顧剛剛解決的求總和問(wèn)題，你還有什么想法嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)這里有好幾道算式都可以變成乘法算式！

師：是嗎？比如呢？

生2：我發(fā)現(xiàn)蘋果的問(wèn)題是4+4+4，一共有3盤，每一盤都是4個(gè)蘋果，也就是3個(gè)4相加，可以寫成乘法算式3×4=12。

生3：我有補(bǔ)充，蘋果的算式也可以寫成4×3。

生4：橘子也可以用乘法，因?yàn)槊總€(gè)盤子里的個(gè)數(shù)都是一樣的，都是2個(gè)，相同的加數(shù)相加就可以了，一共有5盤，就是5個(gè)2相加，可以寫成5×2或者2×5，都等于10個(gè)橘子。

師：桃子的這一題可以嗎？

生5：桃子不行，因?yàn)榈谝槐P桃子是1個(gè)，第二盤是5個(gè)，第三排是3個(gè)，每一盤的數(shù)量都不一樣，不一樣就不能用乘法了。

生6：我也覺(jué)得不行，因?yàn)橹挥邢嗤募訑?shù)才可以。

生7：我覺(jué)得也可以，可以用3×3。

生8：對(duì)，對(duì)，只要把第二盤移兩個(gè)到第一盤去就可以了。

師：同學(xué)們聽懂了嗎？想一想，咱們干嗎要移呢？

生9：從第二盤移兩個(gè)到第一盤，這樣第一盤也是3個(gè)，第二盤也是3個(gè)，第三盤也是3個(gè)，每一盤的數(shù)量就都一樣了。

師：非常有意思的發(fā)現(xiàn)！看來(lái)想要寫成乘法，必須要怎么樣？

生：每一盤都是一樣的。

師：真棒！加數(shù)如果相同我們就可以用乘法來(lái)寫，有幾個(gè)幾相加，我們就寫成幾乘幾。

師：草莓行嗎？

生10：不行。因?yàn)殡m然草莓前面4盤都是一樣的，但是第五盤只有1個(gè)，加數(shù)不都是一樣的，所以不行。

師：很有道理！

生11：這個(gè)可以把部分寫成乘法，先算前面相同的4盤，用4×5，然后再把后面的1個(gè)草莓加上去就可以了。

師：你真有想法！這說(shuō)明只要怎么樣就能用乘法呢？

生：加數(shù)相同的情況下就可以了。

【我的思考】

直觀素材是推動(dòng)學(xué)生思維發(fā)展和深刻性的有利工具。小學(xué)生由于生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平的局限更易于接受直觀的實(shí)物和實(shí)物圖，直觀素材有利于學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、分析和想象，并在此基礎(chǔ)上展開更豐富多彩的直觀推理，進(jìn)而洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。

這里學(xué)生通過(guò)想象和推理把“1+5+3”轉(zhuǎn)變成“3×3”更可以說(shuō)是直觀素材引入的勝利！在新授課上，學(xué)生能夠通過(guò)對(duì)直觀材料的觀察，在自主探索和合作交流中發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)，用移一移的方法把不相同的加數(shù)轉(zhuǎn)變成相同加數(shù)，并成功地轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?，獲得了對(duì)乘法知識(shí)內(nèi)涵更深刻的理解。同樣把“5+5+5+5+2”轉(zhuǎn)變?yōu)椤俺思铀闶健币脖磉_(dá)了學(xué)生對(duì)乘法和加法聯(lián)系與區(qū)別的把握。

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，很多時(shí)候解題的靈感來(lái)源于對(duì)直觀素材的觀察，直觀素材的提供使得學(xué)生展開想象和創(chuàng)造性的探求活動(dòng)成為可能?？梢哉f(shuō)，直觀素材啟迪了學(xué)生的思維，不但豐富了學(xué)生對(duì)乘法的核心是“相同加數(shù)相加的運(yùn)算”的理解，也促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。

【片斷三：直觀素材助力數(shù)學(xué)表達(dá)】

師：同學(xué)們都對(duì)乘法都有了一定認(rèn)識(shí)，我們來(lái)放松一下，用耳朵聽一聽。 （敲打節(jié)拍器：啪啪啪 啪啪啪）我剛剛拍了幾下？你是怎么聽出來(lái)的？

生1：拍了2次，每次拍了3下，2個(gè)3相加可以寫成“2×3”。

師：聲音里還藏著乘法，其他運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中也有——瞧，王老師是拍球高手，看看我拍了幾下足球。（師拍球：每次拍4下，拍兩組）

生2：每次拍4下，拍了2次，也就是2個(gè)4相加，可以用乘法2×4或者4×2。

師：這幅圖你看出了什么？（如圖2）可以橫著看，可以豎著看，表示的幾個(gè)幾不同，但我們可以用相同的乘法算式3×5來(lái)表示。你能用自己的方法來(lái)表示3×5嗎？大家可以畫圖，也可以想其他的表示方法。先自己獨(dú)立思考、準(zhǔn)備，然后小組內(nèi)交流。

學(xué)生作品：

生3：我是拍手的。啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪 啪啪啪

生4：我也是拍手的，不過(guò)和他拍得不一樣，啪啪啪啪啪 啪啪啪啪啪 啪啪啪啪啪

師：兩位同學(xué)拍得都對(duì)嗎？

生5：都是對(duì)的，第一個(gè)同學(xué)拍了5個(gè)3相加，第二個(gè)同學(xué)拍了3個(gè)5相加，都可以用3×5來(lái)表示。

生6：我還可以跳繩。每次跳3個(gè)，跳5次，或者每次跳5個(gè)，跳3次都可以。

……

【我的思考】

直觀素材幫助學(xué)生表達(dá)了自己的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)抽象地反映了客觀世界，客觀世界的數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)的代數(shù)結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生由于受到知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的限制，經(jīng)常會(huì)遇到一些很難用語(yǔ)言解釋清楚的概念或者性質(zhì)，這時(shí)候直觀圖形或者直觀模型就能夠給學(xué)生提供形象的自主思考和表達(dá)的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生把頭腦里的“數(shù)學(xué)事實(shí)”外顯化。

這里為了讓學(xué)生在初步理解了乘法含義的基礎(chǔ)上，通過(guò)交流和碰撞把自己對(duì)乘法意義的理解表達(dá)出來(lái)，教師創(chuàng)設(shè)了“我來(lái)表示3×5”這個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生借助具體形象的圖形、聲音、動(dòng)作直觀建立了多種多樣的乘法意義模型，并且通過(guò)自己的創(chuàng)造體現(xiàn)出了“3×5”既可以表示為“3個(gè)5相加”，也可以表示為“5個(gè)3相加”，極大地豐富了乘法的內(nèi)涵，激發(fā)了學(xué)生極大的創(chuàng)造性，讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)了乘法的意義，從不同角度深刻體會(huì)了乘法的意義，初步獲得了利用直觀描述數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)。

總體說(shuō)來(lái)，直觀感受和直觀表達(dá)是“直觀”學(xué)習(xí)的兩個(gè)重要方面。在小學(xué)的概念學(xué)習(xí)中化抽象為直觀有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和記憶，積累概念建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也為問(wèn)題解決過(guò)程中表象的遷移提供了潛在的可能性，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。同時(shí)，數(shù)學(xué)的高度抽象性使得這個(gè)年齡段的學(xué)生很難用自己的語(yǔ)言表達(dá)出內(nèi)心深處對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，不利于相互之間的交流和碰撞。教師在教學(xué)的過(guò)程中可以充分利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料數(shù)與行統(tǒng)一的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)的言語(yǔ)表征轉(zhuǎn)化為形象表征，將對(duì)于抽象知識(shí)的理解外顯為具體形象的圖像或者模型，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

理解與表達(dá)，是兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩翼，直觀的加盟，可以讓這兩翼更加豐滿，更加有力，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的天地里自由翱翔！

（責(zé)編 金 鈴）